第三章 第七节曲车(Curvature) 一、孤微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率半径与曲率圆 四、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第七节 曲 率 第三章 二、曲率及其计算公式 （Curvature） 四、小结与思考练习 三、曲率半径与曲率圆 一、弧微分
一、孤微分Element of Length or Differential of Arc 设函数y=f(x)在区间 (a,b)内具有连续的导数， 在曲线y=f(x)上取固定点 M A(x,y)作为度量孤长的基点 对曲线上任一点M(x,y),规定： (1)依x增大的方向作为曲线的正向. (2)M=5,当有句孤段1的方向与曲线的正向 一致时s>0,相反时s<0: 显然，s=s(x)是是x的单调增加函数 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、弧微分（ Element of Length or Differential of Arc ） A 0 x M x x y o 设函数 y fx = ( ) 在区间 (,) a b 内具有连续的导数， 在曲线 y f = ( ) x 上 取固定 点 0 0 A(, ) x y 作为度量弧长的基点 对曲线上任一点 M (, ) x y ，规定： （1）依 x 增大的方向作为曲线的正向． （2） q AM s = ，当有向弧段 q AM 的方向与曲线的正向 一致时 s >0，相反时s <0． 显然， s = s x( )是是 x 的单调增加函数．
下面来求s(x)的导数及微分. 设N(x+△x,y+△y)为曲线 上的另一点，△= x+△x (-(】 -等+ 如-中】 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 下面来求 s( ) x 的导数及微分． 设 Nx xy y (, ) +Δ +Δ 为曲线 上的另一点， A 0 x M x x y O N + Δxx Δ = MNs j 2 2 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ΔΔ x MN xs j 2 2 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ Δ • ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = x MN MN MNj ( )2 2 2 2 )()( x yx MN MN Δ Δ+Δ • ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = j ( ) ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ΔΔ +• ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 22 2 )( 1 xy MN MN j ( ) ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ΔΔ +• ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ±= ΔΔ 22 2 )( 1 xy MN MN xs j
当△x→0时，N→M, x+△xx N lim Ay=y' Ax→0△X 故s=±+y dx 由于s=()是单调增函数，故孤的导数为 =1+y x 孤s的微分为ds=V1+ydx.这就是弧微分公式 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 q ( ) 2 2 2 ( ) 1 s MN y x MN x Δ Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =± ⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ Δ ⎝ ⎠ A 0 x M x x y O N + Δxx 当 Δx → 0 时， N M → ， lim 1 2 = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ → MN MN MN j y xy x = ′ ΔΔ →Δ 0 lim 故 d 2 1 d s y x =± + ′ 由于 s = s x( )是单调增函数，故弧 s 的导数为 d 2 1 ds y x = + ′ 弧 s 的微分为 2 d 1 d. s y = + ′ x 这就是弧微分公式．
二、曲率及其计算公式(Curvature and Formula) 1曲率的定义 -描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 Aa. △S M M 1)孤段弯曲程度越大转角越大， 2)转角相同孤段越短弯曲程度越大。 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 二、曲率及其计算公式 (Curvature and Formula) -描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 )Δα2 M2 ΔS2 ΔS1 M M′ ΔS1 ΔS2 N N′ )Δα 1）弧段弯曲程度越大转角越大， αΔ 1 ) 2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。 1 曲率的定义
设平面曲线C是光滑曲线 y (即曲线C上每一点处都有切 线，且切线随切点的移动而连续 转动，M,是基点，MM=As, 价SM △0 0+△ M→M'切线转角为△ 定义 弧收预的华均商率为双A △O 曲线C在点M处的曲率为K=lim △S→0 △S △ 在lim 义=dC存在的条件下，K da △s-→0△S ds ds 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 设平面曲线 C 是光滑曲线 （即曲线 C 上每一点处都有切 线，且切线随切点的移动而连续 转动）， y o x M C M0 M0 是基点， )α. M′. S ΔS M q M s ′ = Δ , M → M ′ 切线转角为 Δα . ) α+Δα Δα 定义 弧段M q M ′的平均曲率为 K . s Δα = Δ 曲线 C 在点 M 处的曲率为 0 lim s K s α Δ → Δ = Δ 在 0 d lim s s sd α α Δ → Δ = Δ 存在的条件下， d . d K sα =
例如，直线的曲率处处为零 事实上，△x=0,K= 又如，圆上各，点处的曲率等于半径的倒数，且半径越 小曲率越大 事实上， 设圆的半径为“，则由弧长、圆心角和半径的关系有 4a= △S 即4a 1 △S 故K= 2009年7月3日星期五 7 上页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 事实上，Δ = α 0, 例如，直线的曲率处处为零. K 0 s Δα = = Δ 又如， 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越 小曲率越大. 事实上， 设圆的半径为r ，则由弧长、圆心角和半径的关系有 s r α Δ Δ = 即 1 s r Δα = Δ 故 1 K s r Δα = = Δ
2曲率的计算公式 设曲线的方程为y=f(x),且f(x)具有二阶导数， 由tan=y',有a=arctany'.从而 da =y” dx 1+y2 即d女十dx.另一方面，由弧分公式细 ds=V1+ydx.得曲率计算公式为K= da 若曲线由参数方程二给出，则曲率计算公式为 y=w(t) k-"-p"w( [020+w(0]月 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 、返回
2009 年 7 月 3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 2 曲率的计算公式 设曲线的方程为 y fx = ( ) ，且 f x( ) 具有二阶导数． 由 tan α = y′ ，有 α = arctan . y′ 从而 2 d d 1 y x y α ′′ = + ′ ． 即 2 d 1 d y x y α ′′ = + ′ ． 另一方面，由弧微分公式知， 2 d s = +1 y x ′ d ．得曲率计算公式为 d d K s α = 3 2 2 . (1 ) y y ′′ = + ′ 若曲线由参数方程 ( ), ( ) x t y t ϕ ψ ⎧ = ⎨ ⎩ = 给出，则曲率计算公式为 3 2 2 2 () () () () . () () tt tt K t t ϕψ ϕψ ϕ ψ ′ ′′ ′′ ′ − = ⎡ ⎤ ′ ′ + ⎣ ⎦
例1求抛物线y=ax2+bx+c上任意一，点处的曲率， 并问那一点的曲率最大？ 解：易知，y=2ax+b,y”=2a,由曲率计算公式知， K= y 2a 0+1+(2ax+b}]月 因为当x= b时，K有最大值2a, 2a 而X= 所对应的点为抛物线的顶点， 2a 因此，抛物线在顶点处的曲率最大 2009年7月3日星期五 9 日录 上页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 例 1 求抛物线 2 y ax bx c = + + 上任意一点处的曲率， 并问那一点的曲率最大？ 解：易知， y ax b ′ = 2 + ， y a ′′ = 2 ，由曲率计算公式知， 3 2 2 (1 ) y K y ′′ = + ′ ( ) 3 2 2 2 1 2 a ax b + = ⎡ + ⎤ ⎣ ⎦ 因为当 2 b x a = − 时，K 有最大值 2a ， 而 2 b x a = − 所对应的点为抛物线的顶点， 因此，抛物线在顶点处的曲率最大．
例2求摆线 〔x=at-sn以在t=处的曲率 y=a(1-cost) 2 解：因为 少 sint dy 1 dx 1-cost dx2 a(1-c0st)2 所以由曲率计算公式知， k =-ly"l 1 3 (1+y2)2 2v2av1-cost 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 例 2 求摆线 ( sin ), (1 cos ) x at t ya t ⎧ = − ⎨⎩ = − 在 π2 t = 处的曲率. 解： 因为 sin d 1 co d s y x t t = − ， 2 2 2 1 . (1 cos d d ) y x a t = − − 所以由曲率计算公式知， 3 2 2 (1 ) y K y ′′ = + ′ 1 2 2 1 cos a t = − 令 π , 2 t = 得 π2 24 t K a = = ．