第四章 第二节换元积分法(2) (Integration by Substitution) 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 三、小结与思考题 2009年7月3日星期五 1 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第二节 换元积分法(2) 第四章 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 （Integration by Substitution ） 三、小结与思考题
二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 ∫fl(xl'xh=∫/6wdwu=o() 难求 易求 若所求积分∫f(w)du难求， f[p(x】p'(x)dx易求， 则用第二类换元积分法 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 ϕϕ ′ d)()]([ xxxf ∫ ∫ = d)( uuf = ϕ xu )( 若所求积分 ϕϕ ′ d)()]([ xxxf ∫ 易求, 则用第二类换元积分法 . ∫ d)( uuf 难求
定理2设x=yW(t)是单调可导函数，且W(t)≠0， f[w(t]小wW(t)具有原函数，则有换元公式 f(dx=fdi 其中t=y(x)是x=必()的反函数， 证：设fLyw(t)]w(t)的原函数为①(t),令 F(x)=[y'] 则 ra-0业/心o0=w -.f(x)dx=F(x)+C=W(x)]+C =∫fww')dt-wax 2009年7月3日星期五 3 目录○上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 = )( +CxF Φ′ t = f ψ t ψ′ t)()]([)( x = ψ t)( 是单调可导函数 , 且 ψ′ t ≠ ,0)( f ψ t ψ′ t)()]([ 具有原函数 , )( d)()]([d)( 1 xt tttfxxf − = = ′ ∫∫ ψ ψψ .)()( 其中 = ψ − 1 是 = ψ txxt 的反函数 证 : 设 ψ ψ′ ttf )()]([ 的原函数为 Φ t ,)( ])([)( 1 xF x 令 − Φ= ψ 则 ′ xF )( = d t d Φ x t d d ⋅ = f ψ t ψ′ t)()]([ )( 1 ψ′ t ⋅ = f x)( d)( xxf ∴ ∫ +Φ= Cx − )]([ 1 ψ = Φ t][ + C )( 1 xt − = ψ )( d)()]([ 1 xt tttf − = = ′ ∫ ψ ψψ 则有换元公式 定理2 设
例1（课本例21）求∫Na2-x2dx(a>0). 解：令x=asint,t∈(-受，)，则 Va2-x2=Va2-a2 sin2t=acost dx acostdt X 原式=∫acostac0s1dt=a2cos21di -2(2m2)c sin21=2sintcost=2.a2-x a a arcsin-+ xVa2-x2+C 2 a 2 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 .)0(d22 − > ∫ axxa 解 : 令 ,),(,sin 22π π = ttax ∈ − 则 a x aa t 22222 − = − sin = a cos t = ax t dcosd t ∴ 原式 costa ∫ = ⋅ a t dcos t dcos tta 22 ∫ = = a ( ) + C 2 4 2sin 2 t t + a x 22 − xa t a x arcsin +−+ Cxax 22 2 1 2 2 a = t = t cossin22sin t = 2 a x ⋅ a xa 22 − ⋅ 例 1（课本 例21 ） 求
2(课本创2)本∫、+云 dx (a>0) 解：令x=atant,t∈(-受，罗)，则 Vx2+a2 =Va2tan21+a2 =asect dx asec-idt 原式=8d1=jd x2+a In sect+tant+C =20+a]+C =In[x+Vx2+a2]+C (C=C]-Ina) 2009年7月3日星期五 5 目录○ (上页> 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 .)0( d 22 > + ∫ a ax x 解 : 令 ,),(,tan 22π π = ttax ∈ − 则 22222 + = aax tan t + a = asec t dsecd ttax 2 = ∴ 原式 ∫ = a t 2 sec asec t d t dsec tt ∫ = 1 = + tansecln +Ctt a x 22 + ax t = ln [ 22 x + a a )ln( 1 [ ]+++= Caxx C = C − a 22 ln + x a ] + C1 例2 （课本 例22 ） 求
妇（绿本23) dx (a>0) 解：当x>a时，令x=asect,.t∈(0，)，则 Vx2-a2 -va2sec21-a2 =atant dx asecttantd t 8式-j2md-1 Nx2-a In sect+tant+C a =Inlx+Vx2-a2+C (C=C]-Ina) 2009年7月3日星期五 6 人目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 .)0( d 22 > − ∫ a ax x 解 : 当 > ax 时, 令 ,),0(,sec 2 ∈ π = ttax 则 22222 − = aax sec t − a = a tan t dx = a t t dtansec t ∴ 原式 t ∫ = d a t tansec t a tan t dsec tt ∫ = 1 = + tansecln + Ctt a x 22 − ax t 1 = ln + C +−+= Caxx 22 ln )ln( 1 = − aCC 22 − ax a + x a 例3 （课本 例23 ） 求
当xa,于是 dx du +CI =-ln-x+Vx2-a2+Cj a2 =-In -x-Vx2-a2 +CI =nx+Vx2-a2 +C (C=C-2Ina) xa叶jg”a=n-ac dx 2009年7月3日星期五 7 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 当 au ,于是 ∫ − 22 d x a x ∫ − −= 22 d au u +−+= Caxx 22 ln ∫ − 22 d x a x > ax 时， 1 22 ln +−+−= Cauu 1 22 ln +−+−−= Caxx 1 22 2 ln C x x a a + − − − −= )ln2( 1 +−+= Caxx C = C − a 22 ln
说明：被积函数含有Vx2+a2或Vx2-a2时，除采用 三角代换外，还可利用公 ch2t-sh2t=1 柔用双曲代换：x=asht或x=acht 消去根式，所得结果一致 肉如，。a>0中，令x=urd故=cih Imb dc +c 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 被积函数含有 22 x + a 时, 除采用 1shch 22 t − t = 采用双曲代换： = ax sh t 消去根式 , 所得结果一致 . 例如， 或 = ax ch t 22 或 x − a 三角代换外, 还可利用公 式： 说明 : 2 2 中, 令 1 d ( x 0 ) x a a > + ∫ x = ash t 2 2 1 dx x a + ∫ ch d ch a t t a t = ∫ = dttC = + ∫ arsh C x a = + 2 ln 1 . x x a a C ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ + d d x = a t c h t 2 2 ln . x xa C a a ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
例4（补完题）求a:dn x4 解：令x=,则dx=dt 1S时 当x>0时， 原式=-2da22-2da2-0 (a2t2-1)2 +c-a- 3a2 3a2x3 +C 当x<0时，类似可得同样结果， 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 原式 ∫ −= − 2 1 )1( 22 2 ta 2 1 a .d 4 22 ∫ − x x xa 解 : 令 , 1 t x = 则 tx t dd 2 − 1 = 原式 ∫ = t t d 1 2 − ⋅ 1 2 2 2 =− − ( 1) d a t t t ∫ 当 x > 时,0 4 2 1 2 1 t t a − C a ta + − −= 2 22 3 )1( 2 3 当 x < 0 时, 类似可得同样结果 . C xa xa + − −= 32 22 3 )( 2 3 )1(d 22ta − 例4 （补充题） 求
5(补充通）*0+n 解：令x=}=d-业 1康.E =-nl1+P1+C n c -iit 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 例 5（补充题） 求 1 d ( 1) n x x x + ∫ 令 t x 1 = 2 1 d d, x t t ⇒ =− 1 ( 1) d n x x x + ∫ 2 1 1 1 1 1 d n t t t t = ⋅ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎜− ⎝ ⎦ ⎟ ⎠ ⎣ ∫ 1 d 1 n n t t t − = − + ∫ 1 ln |1 | n t C n = − ++ 1 ln 1 1 . n C n x = − ++ 解：