第二章 第二节 品数的求导法则 (The Rule of Derivation) 一、问题的提出 二、函数的和、差、积、商的求导法则 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则 五、小结与思考题 2009年7月3日星期五 1 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第二节 函数的求导法则 第二章 三、反函数的求导法则 二、函数的和、差、积、商的求导法则 一、问题的提出 四、复合函数的求导法则 五、小结与思考题 （The Rule of Derivation ）
一、问题的提出(Introduction) 1.导数的定义 f()=lim f(x)-f( △y=f(x)-f(x) X→x0 x-Xo △x=X-X0 lim 4 △x→0△X lim f(xo+Ax)-f(xo) △x→0 △x =lim-f(xo) h-→0 h 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、问题的提出 （Introduction ） 1. 导数的定义 0xx y = ′ )( 0 = f ′ x 0 0 0 () ( ) lim x x f x fx → x x − = − )()( 0 Δ = − xfxfy 0 Δ = − xxx 0 limx y Δ → x Δ = Δ 0 0 0 ( ) () limx f x x fx Δ → x + Δ − = Δ 0 0 0 ( ) () limh f x h f x → h + − =
2.利用导数的定义得出以下导数公式： (1)(C)'=0 (2)(x)'=-sinx (3)(sinx)'=cosx (4)(cosx)'=-sinx (5)(a)'=alna(a>0,a≠1) (6)(e)'=e (7)(h (8)(nx'= X 2009年7月3日星期五 3 目录○ 上页)下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 2. 利用导数的定义得出以下导数公式： （3） (sin ) cos x ′ = x （4） (cos ) sin x ′ = − x ( ) ln ( 0, 1) x x （5） a aaa a ′ = >≠ (e ) e x x （6） ′ = 1 (log ) ( 0, 1) ln a x aa x a （7） ′ = > ≠ 1 (ln ) x x （8） ′ = （1） () 0 C ′ = ( ) sin x x μ （2） ′ = −
但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它 们的导数往往很困难. 例如，求下列函数的极限： (1)y=x3+a+2c0sx; (2)y=arctanx (3)y=e2x; (4)y=xa+a+a(a>0) 为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！ 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它 们的导数往往很困难. 例如，求下列函数的极限： （ 1 ） 3 2cos x yx a x =++ ； （ 2 ） y x = arctan ； （ 3 ） 1 2 e x y + = ； （ 4 ） ( 0) aax axa yx a a a = ++ > 为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！
二、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1函数W=u(x)及v=v(x)都在x具有导数 >u(x)及v(x)的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在，点x可导，且 (I)[u(x)±v(x)]'=t'(x)士v'(x) (2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) u(x)v(x)-u(x)v(x) (v(x)≠0) v2(x) 下面分三部分加以证明，并同时给出相应的推论和 例题 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 二、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1 函数 = 及 = )()( 都在 xxvvxuu 具有导数 及 xvxu )()( 的和、差、积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 ± ′ = ′ ± ′ xvxuxvxu )()(])()([)1( ′ = ′ + ′ xvxuxvxuxvxu )()()()(])()([)2( )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu ′ − ′ =′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . xv ≠ )0)((
(1)(u±v)'=w'±v' 证：设f(x)=u(x)士v(x),则 f(x)=lim f(x+h)-f(x) h->0 h lim [u(x+h)±v(x+h)]-[u(x)±v(x)] h-→0 h lim Cx+)-u0±1imCx+hm）-() h-→0 h h-→0 h =W'(x)±v'(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形例如， (u+v-w)}'=u+v'-w 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 此法则可推广到任意有限项的情形. 设 , 则 ± )()1( ′ = ′ ± vuvu ′ = ± xvxuxf )()()( h xfhxf xf h )()( lim)( 0 + − ′ = → h xvxuhxvhxu h ])()([])()([ lim0 + ± + − ± = → h xuhxu h )()( lim0 + − = → h xvhxv h )()( lim0 + − ± → = ′ ± ′ xvxu )()( 故结论成立. 例如 , 证: （ 1 ） ( ) uvw u v w + − = +− ′ ′′ ′
(2)(uv)'=u'y+uv' 证：设f(x)=u(x)v(x),则有 f)=lmfx+-f田-=lm《x+(x+)-)() h-→0 h h-→0 h lim ux+-u四(+h)+x)(x+)-) h-→0 h h =u'(x)v(x)+u(x)p'(x) 故结论成立， 推论：1)(Cw)'=CW(C为常数) 2)(w)）'='w+uw'w+uww' 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 )( ′ = ′ + vuvuvu ′ 证 : 设 f = xvxux ,)()()( 则有 h f x h f x xf h )()( lim)( 0 + − ′ = → h u x vh x uh x v x h )()()()( lim0 + + − = → = ′ + ′ xvxuxvxu )()()()( 故结论成立. ⎢ ⎣ ⎡ + − = → h u x h h )( lim0 u x)( v x + h)( ⎥ ⎦ − ⎤ + h v x)( u x)( v x + h)( 推论 : C u )()1 ′ = wvu )()2 ′ = C u′ ′ + ′ + wvuwvuwvu ′ ( C为常数 ) （ 2 ）
(3) uv-uv' 2 证：设了x)=,则有 u(x+h)u(x) f(x)=lim-f()=lim v(x+h) v(x) h→0 h -→0 h x+)）-uM田)-)C+月-) h lim h h-→0 v(x+h)v(x) u'(x)v(x)-u(x)v(x) 故结论成立. v2(x) 推论： (C为常数) 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = → )()( lim h 0 xvhxv )()( )()()()( xvhxv hxvxuxvhxu + + − + h ± xvxu )()( ( ) 2 u uv uv v v ′ ′ − ′ = 证: 设 f x)( = 则有 h f hx f x xf h )()( lim)( 0 + − ′ = → h h lim → 0 = , )( )( xv xu )( )( hxv u x h + + )( )( xv u x − h u x + h − u )( x)( v x)( h v x + h )( − u x)( − v x)( 故结论成立. )( )()()()( 2 xv ′ − ′ xvxuxvxu = 推论 : 2 C Cv v v ′ ⎛ ⎞ − ′ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ( C为常数 ) （ 3 ）
例1求函数y=x3+a+2cosx的导数 答案：y'=3x2+alna-2sinx 例2求函数y=tanx和y=cotx的导数， 答案：(tanx)'=sec2x(cotx'=-csc2x 例3求函数y=Secx和y=cScx的导数 答案：(secx)'=secxtanx (cscx)'=-csccotx 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 3 2cos x 例 1 求函数 yx a x =++ 2 3 ln 2sin x y xaa x ′ = + − 的导数. 答案： 例 2 求函数 y x = tan 和 y x = cot 的导数. 2 答案： (tan ) sec x x ′ = 2 (cot ) csc x x ′ = − 例 3 求函数 y x = sec 和 的导数. y x = csc 答案： (sec ) sec tan x xx ′ = 2 (csc ) csc cot x x ′ = −
三、反函数的求导法则 定理2设y=f(x)为x=∫(y)的反函数，∫(y)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)]川'≠0 f'6x)=f产o 1 或 dy 1 d x d y 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 Ay=fx+Ax)-f)≠0，Ay=1 △x △y 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y→0，因此 f(x)=lim Ay lim 1 1 △x→0△x △y→0 △y [f(y)] 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 三、反函数的求导法则 ′ xf )( = y 的某邻域内单调可导, 定理 2 证 : 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 ,)()( 设 为 1 yfxxfy 的反函数 因此 − = = − 1 yf )( 在 0])([ 1 ′ ≠ − 且 yf d d = x y 或 Δx ≠ ,0 Δy = f x + Δx − f x)()( ≠ ,0 = Δ Δ ∴ x y y x Δ Δ Δx → 0时必有 Δy → ,0 x y xf x Δ Δ ′ = →Δ 0 lim)( lim→Δ 0 = y y x Δ Δ y x d d = 1 ])([ 1 ′ − yf 1 1 ])([ 1 ′ − yf 1 1