本节将讨论空间直线及其方程的问题 ■确定空间直线的条件： 空间不平行的两个平面，能且只能确定一条直 线； o 过空间一定点且与已知直线相平行，能且只能 确定一条直线； ■过空间的两个点，能且只能确定一条直线
本节将讨论空间直线及其方程的问题 ◼ 确定空间直线的条件： ◼ 空间不平行的两个平面，能且只能确定一条直 线； ◼ 过空间一定点且与已知直线相平行，能且只能 确定一条直线； ◼ 过空间的两个点，能且只能确定一条直线
§6.4空间直线及其方程 一、 空间直线的一般方程 空间不平行的两个平面必然相交于一条直线，因 此，空间直线可看成两平面的交线。 Π1：A1x+By+C1z+D1=0 Π2：A2x+B2Jy+C23+D2=0 Ax+By+C+D=0 () Ax+B2y+C2+D2=0 空间直线的一般方程
§6.4 空间直线及其方程 x y z o 1 2 空间不平行的两个平面必然相交于一条直线，因 此，空间直线可看成两平面的交线。 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 : 0 2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 1 0 + + + = + + + = A x B y C z D A x B y C z D 空间直线的一般方程 L 一、空间直线的一般方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量. Mo(xo2 Fozo), M(x,v,), VM∈L,M,M∥s s={m,n,p),MoM={x-xo,y-yo,-zo}
x y z o 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． s L ( , , ), 0 0 0 0 M x y z M0 M M L, M(x, y,z), M M s 0 // s = {m, n, p}, { , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z 二、空间直线的对称式方程与参数方程
水-=y-0=-0 直线的对称式方程 m n 卫 令x-x0=y-h=-0=t m 直线的一组方向数 x=xo+mt y=yo+nt (3) 方向向量的余弦称为 =Zo+pt 直线的方向余弦 直线的参数方程
0 0 0 2 x x y y z z m n p − − − = = （） 直线的对称式方程 t p z z n y y m x x = − = − = 令 − 0 0 0 ( ) 0 0 0 3 x x mt y y nt z z pt = + = + = + 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦. 直线的参数方程
例1把直线L的一般方程 2x+y+z-5=0 2x+y-3z-1=0 化为对称式方程和参数式方程。 例2求经过M,(x,乃，)，M2(X2,2,2)两点的 直线方程。 例3一直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直 相交，求其方程
例1 把直线 L 的一般方程 2 5 0 2 3 1 0 x y z x y z + + − = + − − = 化为对称式方程和参数式方程。 例2 求经过 1 1 1 1 2 2 2 2 M x y z M x y z ( , , ), ( , , ) 两点的 直线方程。 例3 一直线过点 ，且和 y 轴垂直 相交，求其方程。 A(2, 3, 4) −
例4 求直线 x-2_y-3 =z-4 12 与平面2x+y+z-6=0的交点。 解： 所给直线的参数方程为 x=2+t y=3+t 代入平面方程，得 z=4+2t 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0 解得t=-1 代入直线的参数方程，即得： X=1,y=2,z=2 即交点为M(1,2,2)
解： 所给直线的参数方程为 x = 2 + t y = 3 + t z = 4 + 2t 代入平面方程，得 2(2 + t) + (3 + t) + (4 + 2t) − 6 = 0 解得 t = −1 代入直线的参数方程，即得： x = 1, y = 2,z = 2 即交点为 例4 求直线 4 12 3 1 2 = − − = − z x y 与平面 2x + y + z − 6 = 0 的交点。 M(1,2,2)
三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角称作两直线的夹角。 直线L: x-七1=y-y=- m 卫1 直线L,:七-飞=y少=名-名， m2 P2 cos(LL2)= mmz+nn+pip2 Vm2+n2+pn12Vm,2+n,2+p2 两直线的夹角公式
直线 : L1 , 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x − = − = − 直线 : L2 , 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 | | cos( , ) m n p m n p m m n n p p L L + + + + + + ^ = 两直线的方向向量的夹角称作两直线的夹角。 两直线的夹角公式 三、两直线的夹角
两直线的位置关系： (1)L1⊥L2=→m,m2+n,n2+P1P2=0, m==卫， (2)L∥L,←→m,i,p, 例如，直线L:方向向量为5，={1，-4,0}， 直线L2：方向向量为52={0,0,1}， ·52=0,132,即LLL2
两直线的位置关系： 1 2 (1) L ⊥ L 0, m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 1 2 (2) L // L , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 直线 : L1 直线 : L2 {1, 4, 0}, s1 = − {0,0,1}, s2 = 0, s1 s2 = , 1 2 s s ⊥ 例如， . 即 L1⊥L2 方向向量为 方向向量为
例5求过点(-3,2,5)且与两平面x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为3={m,n,p}, 根据题意知3⊥元，⊥元2， 取5=i1×i2={-4,-3,-1, 所求直线的方程 x+3_y-2_z-5 4 3
例 5 求过点(−3,2,5)且与两平面x − 4z = 3和 2x − y − 5z = 1的交线平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为 s = {m, n, p}, 根据题意知 , n1 s ⊥ , n2 s ⊥ 取 n1 n2 s = = {−4,−3,−1}, . 1 5 3 2 4 3 − = − = x + y z 所求直线的方程
四、直线与平面的夹角 直线和它在平面上的投影直线的夹角0称为直线 与平面的夹角. 0≤p≤ 2 L: x-x=y-y=名-，5=m,h,p, Π：Ax+By+Cz+D=0,i={A,B,C}
直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线 与平面的夹角． : , 0 0 0 p z z n y y m x x L − = − = − : Ax + By + Cz + D = 0, s = {m, n, p}, n = {A,B,C}, = + 2 (s,n) ^ = − 2 (s,n) ^ 四、直线与平面的夹角 0 . 2