§9.4幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛区间 三、幂级数的运算
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛区间 三、幂级数的运算 §9.4 幂级数
§9.4函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,.)为定义在区间L上的函数， 00 称 ∑4n(x)=41(x)+42(x)+.+4n(x)+. n=1 为定义在区间上的函数项级数 0∞ 对∈I,若常数项级数∑4n(xo)收敛，称x0 n=1 为其收敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域： 若常数项级数4n(xo)发散，称X为其发散点， n=1 所有发散点的全体称为其发散域
§9.4 函数项级数的概念 设 为定义在区间I上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间I上的函数， 收敛, 发散 , 为其收 为其发散点, u (x) (n =1,2, ) n 所有发散点的全体称为其发散域 . 称 0 称 x 0 称 x
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 00 S(x)=∑4.(x) n=1 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和，即 Sn(x)=∑4() k=1 令余项n(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim S,(x)=S(x),lim r (x)=0 n>00 n→0
为级数的和函数,并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前n项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数 称它
0● 例如，等比级数 ∑x”=1+x+x2+.+xm+ n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 00 1 n=0 1-x 它的发散域是(-0，-1]及[1，+0)，或写作x≥1. 又如，级数 之+”0，当x=1时收致 n=0 但当0<x≠1时，1imwn(x)=oo,级数发散， 所以级数的收敛域仅为x=1
例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (− , −1]及[1，+ ）, 或写作 x 1. 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数
二、幂级数及其收敛区间 形如∑an(x-o)”=a0+a4(x-x0)+a2(0x-xo)2+ n=0 .+an(x-xo)”+. 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,l,称 为幂级数的系数 下面着重讨论x=0的情形，即 ∑anx=a,+ax+a,r2+.+a,+.(①） n=0 例如，幂级数 ,x<1即是此种情形
二、幂级数及其收敛区间 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 − = = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称
问题1级数(1)的收敛域如何求得？ 问题2级数(1)的收敛域有何特点？ anr”=a+ax+a,r2+.+a,r"+ (1) n=0 ∑la|=la+la+.+la,x+. (2) 若级数(2)收敛，则级数()必收敛，称(1)绝对收敛； 若级数(1)收敛，则级数(2)未必收敛； 若级数(2)依比值法或根值法判定发散，则级数(1)必 发散
问题1 级数（1）的收敛域如何求得？ 问题2 级数（1）的收敛域有何特点？ 若级数(2)收敛，则级数(1)必收敛，称(1)绝对收敛； 若级数(1)收敛，则级数(2)未必收敛； 若级数(2)依比值法或根值法判定发散，则级数(1)必 发散
●人● 定理1(Abel定理)若幂级数 ∑anx” n=0 在x=xo点收敛，则对满足不等式xxo的一切x,该幂级数也发散 证：设∑anx收敛，则必有1iman=0,于是存在 n=0 n→00 常数M>0,使anx≤M(n=1,2,.) 收敛发散 发 散 收0敛 发散X
发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 定理1(Abel定理) 若幂级数 n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切x幂级数都绝对收敛. 反之,若当 的一切x, 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散,则对满足不等式 证:设 收敛,则必有 于是存在 常数M > 0, 使
≤M xo 当xxo且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真.所以若当x=x,时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>x的x,原幂级数也发散，证毕
当 x x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之,若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法. 假设有一点 1 x 1 0 x x 0 x 满足不等式 0 x x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知,级数在点 故假设不真. 的x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = 证毕
由Abel定理可以看出，∑anx” 的收敛域是以原点 n=0 为中心的区间. 用土R表示幂级数收敛与发散的分界点，则 R=0时，幂级数仅在x=0收敛； R=oo时，幂级数在（一o0,+o)收敛； 0<R<o,幂级数在（一R,R)收敛；在[一R,R] 外发散；在x=±R可能收敛也可能发散· R称为收敛半径，（一R,R)称为收敛区间. (一R,R)加上收敛的端点称为收敛域
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, n=0 n n a x 为中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点 则 R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散;在 x = R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间
00 定理2.若∑anx”的系数满足1im a1=p,则 n=0 n->o0 an 1) 当p0时，R=6 2)当p=0时，R=0; 3)当p=∞时，R=0. 证：lim n>∞ ixi=pixl 1)若p≠0，则根据比值审敛法可知： 当px1,即x>时，原级数发散
x a a a x a x n n n n n n n n = + → + + → 1 1 1 lim lim 定理2.若 的系数满足 1 ; R = R = ; R = 0 . 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 x 1, 原级数收敛; 当 x 1, 原级数发散. 即 1 x 时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 即 时, 则 1 x