§7.5隐函数的求导法则 一元函数微分学中隐函数求导回顾 本节讨论问题 1)方程在什么条件下才能确定隐函数. 例如，方程2+√少+C=0 当C0时，不能确定隐函数； 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微 性及求导方法问题·
§7.5 隐函数的求导法则 一元函数微分学中隐函数求导回顾 本节讨论问题 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微 性及求导方法问题
定理1.设函数F(x,y)在点P(x,y,的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②F(x0,y0)=0; ③F,(x,y0)≠0 则方程F(x,y)=0在点的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=fx),满足条件yo=f(xo),并有连续 导数 dy=_ (隐函数求导公式) dx 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
定理1. 设函数 ( , ) 0; F x0 y0 = 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 d d x y y F x F = − (隐函数求导公式) ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0 ② ③ 满足条件 导数 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)≡0 两边对x求导 oF oF dy=0 Ox Oy dx 在(x0,)的某邻域内F,≠0 dy_ d
两边对 x 求导 y x F F x y = − d d 0 在 的某邻域内 Fy 则
若F(x,y)的二阶偏导数也都连续，则还有 二阶导数： dy-0(-E)+ x y Fx dy dx2 8x F y F dx FxxFy-Eyx Fx F EFy-FyF3( F ExxEX2-2ExExEy+ExE2 F
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, = 2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F − F F = − 3 2 2 2 y xx y xy x y y y x F F F − F F F + F F = − y x F F − ( ) y x F F y − + ( ) 2 y x y xy y y y x F F F F F F F − − − 二阶导数 : ( ) y x F F x − x y x x y d d 则还有
例1验证方程 +y=1在点(2,0)的某个领域 内能够唯一确定一个有连续导数，且当=0时y=2的 隐函数y=f(x)，并求其一、二阶导数在x=0处的 值。 例2设方程lnvr2+y严=arctan-上确定y是x的函 数，求：y
例1 验证方程 在点(2,0)的某个领域 内能够唯一确定一个有连续导数，且当x=0时y=2的 隐函数 ，并求其一、二阶导数在x=0处的 值。 2 2 1 9 4 x y + = y f x = ( ) 例2 设方程 确定y是x的函 数，求： 。 2 2 ln arctan y x y x + = y
定理2.若函数F(x,y,z)满足： ①在点P(x0,o,z0)的某邻域内具有连续偏导数， ②F(x0,0,20)=0 ③F_(x0,y0,20)≠0 则方程F(x,y,z)=0在点(xo,yo)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f化，y),满足z0=f(x0,y0), 并有连续偏导数 Fx 8x F. ay F 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
定理2 . 若函数 F(x, y,z) z y z x F F y z F F x z = − = − , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ( , , ) 0 F x0 y0 z0 = ( , , ) 0 Fz x0 y0 z0 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确
设z=f(x,y)是方程F(x,y)=0所确定的隐函数， 则 F(x,y,f(x,y))=0 两边对x求偏导 Fx+F 0z 三0 8x 在(x0,0,z0)的某邻域内F2≠0 - F Ox F 02 同样可得 ay F
F(x, y , f (x, y ) ) 0 两边对 x 求偏导 Fx z x F F x z = − z y F F y z = − 同样可得 则 + Fz x z 0
例3设23-3xyz=a,求：02202z &x2 axoy 例4设z=f(x,y)是由方程z-y-x+x-yx=0 所确定的二元函数，求d2。 例5设u=f(x,y,z)具有连续的一阶偏导数， 又函数y=y(x)及z=z(x)分别由方程 e"-y=0,e-xz=0 所确定，求 du dx
例3 设 ，求： 3 3 z xyz a − = 3 2 2 2 , . z z x x y 例4 设 是由方程 所确定的二元函数，求 。 z f x y = ( , ) 0 z y x z y x xe − − − − + = dz 例5 设 具有连续的一阶偏导数， 又函数 及 分别由方程 所确定，求 。 u f x y z = ( , , ) y y x = ( ) z z x = ( ) 0, 0 xy z e y e xz − = − = du dx
备用题 1.设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数， 又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定 e9-y=2e-0nd, .(2001考研) dx 解：两个隐函数方程两边对x求导，得 〔e*y(y+xy-(y+xy)=0 e-sin(r-）a-z) 解得 y=-y,2'=1-ex-2) sin(x-z) 因此 =-+-sm1 d x sin(x-z）
e − xy = 2 , xy 备用题 又函数 分别由下列两式确定 : 1. 设 有连续的一阶偏导数 , 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 1 2 3 sin( ) ( ) 1 d d f x z e x z f x y f x u x − − = − + − u x y z x x sin( ) ( ) 1 x z e x z z x − − = − d , sin 0 t t t e x z x − = (2001考研) 解得 因此
本节内容小结 作业：EX7-5 1.隐函数存在定理 2.隐函数求导方法 方法1.利用复合函数求导法则直接计算； 方法2.利用微分形式不变性； 方法3.代公式 思考与练习 设z=0x+y+,xyg),求r,0x Ox'Oz'Oy
本节内容小结 1. 隐函数存在定理 2. 隐函数求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 思考与练习 设 求 作业：EX 7-5