函数、极限部分第一次习题课 内容复习： 函数的定义 函 单调性 奇偶性 函数的几种特性 有界性 周期性 数 反函数与复合函数 初等函数 定义 8-W定义 8-X定义8一6定义 极 性质 唯一性有界性 保号性 限 运算 和 差 积商
函数、极限部分第一次习题课 内容复习： 函 数 函数的定义 函数的几种特性 反函数与复合函数 初等函数 单调性 奇偶性 有界性 周期性 极 限 定义 −N 定义 − X 定义 − 定义 性质 唯一性 有界性 保号性 运算 和 差 积 商
一、习题中的问题 1.(p10EX1-1)讨论函数的奇偶性并求反函数 y=lg(x+√x2+1) 2.下列函数是否为初等函数？为什么？ 2 x≤0 -1x ②= x0 x≠0 X
一、习题中的问题 1. (p10 EX1-1) 讨论函数的奇偶性并求反函数 2 y x x = + + lg( 1) x 0 − = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x , 2 x x = O x y 1 −1 ⑵ 2. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ? − = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x
-{会：-3+{ x1 =3+x-1x≠1 3) 4 x-1 以上各函数都是初等函数
+ − = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x x y O 4 2 1 ⑶ − = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x x 1 xR 以上各函数都是初等函数
3.证明： (1)函数f(x)在L上有界的充分必要条件是：函数 在L上既有上界又有下界。 (2)limf(x)=A台1imf(x)=A且limf(x)=A. X+00 (3)limf(x)=A台limf(x)=A且limf(x)=A. x-→X0 x→X0 x→x0 4.用8-X或8-8语言，写出下列各式的定义： (1)lim f(x)=3 (2) lim f(x)=-1 X-00 (3)lim f(x)=b (4) lim f(x)=-8 x->a x)3
3. 证明： （1）函数 在I上有界的充分必要条件是：函数 在I上既有上界又有下界。 （2） （3） f x( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x f x A f x A f x A → →− →+ = = = 且 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x A f x A f x A → → → − + = = = 且 − X − lim ( ) 3 x f x →− = lim ( ) 1 x f x → = − lim ( ) x a f x b → + = 3 lim ( ) 8 x f x → − = − 4．用 或 语言，写出下列各式的定义： （2） （3） （4） （1）
5.根据函数极限的定义证明： 1.lim 5=3 3x+ 2. lim x2-4 x→0X x→-2X+2 6.设函数f(x)有界，又Iimg(x)=0,证明： lim f(x)g(x)=0 X>0
5．根据函数极限的定义证明： 3 5 lim 3 x x → x + = 2 2 4 lim 4 x 2 x →− x − = − + 1. 2. f x( ) lim ( ) 0 x g x → = lim ( ) ( ) 0 x f x g x → = 6．设函数 有界，又 ，证明：
7.试问函数 1 xsin-,x>0, X f(x)=10, x=0, 5+x2,x<0. 在x=0处的左、右极限是否存在？当x→0 时，f(x)的极限是否存在？ 2x+ax≥0’问当a为何值时， e* x<0 8.设f(x)= imf(x)存在. x0
2 1 sin , 0 , 10 , 0, ( ) 5 , 0 . x x x f x x x x = = + x = 0 x →0 f (x) 7．试问函数 在 处的左、右极限是否存在？当 时， 的极限是否存在？ e 0 ( ) 2 0 x x f x x a x = + a lim ( ) 0 f x x→ 8．设 ，问当 为何值时， 存在．
9试讨论当x→1时，函数-1e 的极限是否存 在？为什么？ x-1 10.己知lim(5x-Vax2-bx+c)=1,其中 X)+00 a,b,c为常数，求a和b的值
和 2 lim (5 ) 1 x x ax bx c →+ − − + = abc , , a b 10．已知 ，其中 为常数，求 的值． 2 1 1 1 1 x x e x − − − 9. 试讨论当 时，函数 的极限是否存 在？为什么？ x →1
11.求下列极限： 11 1.lim 1 x2-1 2.lim- n→0122.3 n(n+1) x1x2-5x+4 3.lim (Vx2+x-Vx2+1) 4. lim (x+h)3-x3 h->0 h 6.lim- 1+x-v1-x 1+x-1-x
11. 求下列极限： 5 4 1 lim 2 2 1 − + − → x x x x lim ( 1) 2 2 + − + →+ x x x x 3 3 0 ( ) lim h x h x → h + − 3 1 3 1 lim x→ 1 1 x x − − − 1 1 1 lim 1 2 2 3 ( 1) n→ n n + + + + 1 3 3 1 1 lim 1 1 x x x → x x + − − + − − 4. 1. 2. 3. 5. 6
二、典型例题 例1设数列{f(n)},{g(n}收敛，且n,都有 f(n)x limg(x)必存在。 (88.2) x→x0
二、典型例题 例1 设数列 收敛，且 ，都有 ，如果 ，试证明 f n g n ( ) , ( ) n f n g n ( ) ( ) lim ( ) 3 n g n → = 3 lim ( ) 3 n f n → − 。 例2 是非题 （1） 1 0 lim ex x→ = （87.2） （2） 若 与 均存在，则 必存在。 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) ( ) x x f x g x → 0 lim ( ) x x g x → （88.2）
例3计算题 (1)求极限lim(Wn+3√n-Vn-√n) (90.3) (2)求极限1im(N1+2+3+.+n-√1+2++(n-) (93.3) (3) 设函数f(x)=a(a>0,a≠1)，试求 imn[( (99.3)
例3 计算题 lim( 3 ) n n n n n → （1）求极限 + − − (90.3) lim 1 2 3 1 2 ( 1) ( ) n n n → （2）求极限 + + + + − + + + − (93.3) （3) 设函数 ( ) ( 0, 1) x f x a a a = ，试求 2 1 lim ln (1) (2) ( ) n f f f n → n (99.3)