上次内容复习： 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、第一类换元积分法
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 上次内容复习： 四、第一类换元积分法
常用的几种凑微分的形式： ④jfa+bir=∫f(ar+b)dax+b (2)Jdx-")dx" 万能 g)jfed-j/ear 凑幂法 (4)∫f(sinxcosxd=∫f(sinx)dsinx (⑤)∫f(cosx)sinxx=-∫f(cosx)dcosx
常用的几种凑微分的形式: + = (1) f (ax b)dx d(ax + b) a 1 = − f x x x n n (2) ( ) d 1 n dx n 1 = x x f x n d 1 (3) ( ) n dx n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 = (4) f (sin x)cos xdx dsin x = (5) f (cos x)sin xdx − dcos x
(6)∫(tan x)sec2xdr=∫f(tanx)dtanx (7)∫fe*)e*dr=∫fe*)de ⑧jfnx)'dx=jfna)dnx s求∫dk 解原式=2e3dx引e2d3d
= (6) f (tan x)sec xdx 2 dtan x = f e e x x x (7) ( ) d x de = x x f x d 1 (8) (ln ) dln x 例8. 求 d . 3 x x e x 解: 原式 = e x x 2 d 3 d(3 ) 3 2 3 e x x = e C x = + 3 3 2
例9求「sin3xcos2xdx 例10求∫cos2xdk 提示：偶次利用倍角公式降低幂次 例11求 sin3xcos5xdx 解：∫sin5xcos3xdx=)∫(sin8x+sin2x)dx -Jixd()+Jsin2xd 1 16 os8x-cos2x+C
例9 求 3 2 sin cos d x x x . 例10 求 2 cos xdx 提示：偶次利用倍角公式降低幂次 sin 3 cos5 d x x x 1 sin 5 cos3 d (sin8 sin 2 )d 2 x x x x x x = + 1 1 1 sin8 d(8 ) sin 2 d(2 ) 2 8 2 1 1 cos8 cos 2 . 16 4 x x x x x x C = + = − − + 例11 求 解:
例12.求「sec xdx. 解法1 od dsinx -2ti dsinx [1+sin x -In|1-sinx]+C 1,1+sinx 2In1-sinx +C
− + + x 1 sin x 1 1 sin 1 2 1 例12. 求 解法1 = x x x d cos cos 2 − = x x 2 1 sin dsin d sin x = ln 1 sin x 2 1 = + − ln 1− sin x +C C x x + − + = 1 sin 1 sin ln 2 1
解法2 ∫secxx=∫ secx(secx+tanx) dx secx+tanx =∫Scf+secxtanx secx+tanx d(secx+tanx) secx+tanx =In secx+tanx +C 同样可证 csc xdx Incscx-cot x+C 或 ∫cd=lnam2+C
+ = sec x tan x 解法 2 sec x + tan x (sec x + tan x) x x x x x x d sec tan sec sec tan 2 + + = d(sec x + tan x) 同样可证 csc xdx = ln csc x − cot x +C 或 C x = + 2 ln tan
例13求∫tan3xsec3xdx 例14求「tanxdx. 例15设∫f(x)dx=arccosx+C,则 dc
例13 求 5 3 tan sec d x x x 例14 求 4 tan dx x . xf x x x C ( )d arccos = + 1 d ( ) x f x = 例15 设 ，则 . 3 2 2 1 (1 ) 3 − + x C
1求[得9 f3(x) d x. 解赋=1四山 -得1a, f2(x) =得 c
例16. 求 解: 原式 = ( ) ( ) f x f x x f x f x f x f x f x d ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 − = x f x f x f x f x d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 − C f x f x + = 2 ( ) ( ) 2 1 ) ( ) ( ) d( f x f x = ( ) ( ) f x f x
思考与练习 1.下列各题求积方法有何不同？ 4+x 20 山= (lds j422+ o2- d(x-2)
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同? + x x 4 d (1) + 2 4 d (2) x x x x x d 4 (3) 2 + x x x d 4 (4) 2 2 + − 2 4 d (5) x x − 2 4 d (6) x x x + + = 2 2 2 1 4 d(4 ) x x x + x + − 2 1 2 1
二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 [f=f(uduu=(x) 难求 易求 若所求积分∫f(u)d难求， 「f[p(x】p'(x)dr易求， 则得第二类换元积分法
二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 f [(x)](x)dx = f u u ( )d u = (x) 若所求积分 f [(x)](x)dx 易求, 则得第二类换元积分法 . f u u ( )d 难求，