第八章二重积分 A级自测题 一、填空题(2x5=10分) 1.若二重积分∬fc,本的被积函数fx,)是两个函数f)及0)的乘积，即 fx)=f()),D={x川a≤x≤b,c≤y≤d,则川f(x)0y= 2.设fx,y)在D上连续，其中D是由直线y=x,y=a及x=b(b>a)所围成的闭区域，则二 重积分∫d∫”x,)d少交换积分次序后等于 3.设区域D关于y轴对称，当f(x,y)为x的奇函数时，则[f(x,y)do=当fx,y)关于x 为偶函数时，川fx,)dG=kfx,yMo则k=_·(其中D,为D在y轴的右半部分) 4.后广cosx+y)= 5.估计川(x+y+1)do≤_其中D是矩形0sxs1,0sy≤2. 二、单选题(3×6=18分) 1.=.八++序ao.上=_++y示o,其中o连续且严格单调减 少，则有() (A)4(C)14=弘，D1,与，大小关系不确定 2.,广(cos2y+simx)do取值范围判断正确的是() A)-2,2B)0,8](C)[0,V]D)0,2]. 3.设D为xoy面上的半圆域：x2+y2≤R2,y20,则有川snxy等于（). (A)π (B)-π(C)0D)1 4.设1=[f(x,y),其中D:y=x,y=3x,x=1,x=3所围成的区域，则1可化为二次 积分(). (A)"(. B)∫'fx,y)d C)∫jfx D)时x 5.交换二次积分次序，则心f任达可化为(
1 第八章 二重积分 A 级自测题 一、填空题（2 5=10 分） 1．若二重积分 f x y dxdy D ( , ) 的被积函数 f (x, y) 是两个函数 ( ) 1 f x 及 ( ) 2 f y 的乘积，即 ( , ) ( ) ( ) 1 2 f x y = f x f y ， D = {( x, y) | a x b,c y d} ，则 ( ) ( ) _. 1 2 = f x f y dxdy D 2．设 f (x, y) 在 D 上连续，其中 D 是由直线 y x y a = = , 及 x = b (b a) 所围成的闭区域，则二 重积分 ( , ) b x a a dx f x y dy 交换积分次序后等于 _. 3．设区域 D 关于 y 轴对称，当 f x y ( , ) 为 x 的奇函数时，则 ( , ) D f x y d = _. 当 f x y ( , ) 关于 x 为偶函数时， ( , ) D f x y d = 1 ( , ) D k f x y d 则 k = _ . （其中 D1 为 D 在 y 轴的右半部分） 4． 1 8 0 1 dx y x y dy cos( ) _. − + = 5．估计 ( 1) _, D x y d + + 其中 D 是矩形 0 x 1, 0 y 2 ． 二、单选题（3 6=18 分） 1． 2 2 1 2 2 2 1 1 ( ) , 1 ( ) x y I f d x y + = + + 2 2 2 2 2 3 1 1 ( ) 1 ( ) x y I f d x y + = + + ，其中 f (u) 连续且严格单调减 少，则有（ ） (A) 1 2 I I (B) 1 2 I I (C) 1 2 3 2 I = I (D) 1 I 与 2 I 大小关系不确定 2． 2 2 2 2 4 (cos sin ) x y y x d + + 取值范围判断正确的是（ ） (A) [ 2, 2] − (B) [0, 8 ] (C) [0, 2] (D) [0, 2]． 3．设 D 为 xoy 面上的半圆域： , 0 2 2 2 x + y R y ，则有 D xy dxdy 2 sin 等于（ ）． (A) (B) − (C) 0 (D) 1 4．设 D I f ( x, y )dxdy = ，其中 D : y = x, y = 3x, x = 1, x = 3 所围成的区域，则 I 可化为二次 积分（ ）． (A) 3 3 1 ( , ) x x dx f x y dy (B) 3 1 1 ( , ) y dy f x y dx (C) 9 3 3 3 ( , ) dy f x y dx y (D) 9 1 3 ( , ) y dy f x y dx y 5．交换二次积分次序，则 1 0 ( , ) y y dy f x y dx 可化为（ ）．
(a)∫dfx) B)∫'dfxy)d (C)∫d∫fx,y)d4 D)fxm 6在极坐标系下，与=次积分广山二/少相等的足 (a)∫de"f(rcos0,rsin@)dr ()o s0.sin (C)∫df(rs0,.rsin)h(DJ度drs0,.rsin0)d 三、计算题(7×8=56分) 1.计算二重积分1-如o,其中D是由产一受与y=所围成的区线。 2 2.求积分=∬x+ydo与积分1=小x2+y2)dc之间的关系，其中D,是矩形 -1≤x≤1，-2≤y≤2，D,是矩形0≤x≤10≤y≤2 3.计算∬(3x+2ydo,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域。 4.计算∬x2+yd,其中D:x2+少2≤2。 5.将积分。fx,+∫。fxy交换积分次序 6.计算∬(x+6y)D:y=x,y=5x,x=1所围成的区域， 7.计算1=∬a2+r+y),其中D=x,l0sxsa,0sysa. 8.利用二重积分求圆柱体x2+y2≤a和y2+2≤a所围成的立体体积. 四、证明题(2×5=16分) 1.设f心x,)在D上连续，其中D是由曲线)=x,y=x所围成的区域.证明： ∫fx=fx 2.正明：广-厂0冰=广-厂心海，其中n为大于1的正整数， 自我测试题B 一、填空题(3×6=18分)》 》
2 (A) 2 1 0 ( , ) x x dx f x y dy (B) 2 1 0 ( , ) y y dx f x y dy (C) 2 1 0 ( , ) x x dx f x y dy (D) 2 1 0 ( , ) y y dx f x y dy 6．在极坐标系下，与二次积分 2 2 2 2 0 ( , ) R x R R x dx f x y dy − − − − 相等的是 (A) 0 ( cos , sin ) R R d rf r r dr − (B) 3 2 2 ( cos , sin ) R R d rf r r dr − (C) 0 0 ( cos , sin ) R d rf r r dr (D) 3 2 0 2 ( cos , sin ) R d rf r r dr 三、计算题（7 8=56 分） 1．计算二重积分 1 sin D I yd y = ，其中 D 是由 y x 2 2 = 与 y = x 所围成的区域． 2．求 积分 I x y d D = + 1 2 2 3 1 ( ) 与积分 I x y d D = + 2 2 2 3 2 ( ) 之间 的关系 ，其 中 D1 是矩形 −1 x 1, − 2 y 2， D2 是矩形 0 x 1, 0 y 2． 3．计算 (3 2 ) D x y d + ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x + y = 2 所围成的闭区域． 4．计算 2 2 ( ) D x y dxdy + ，其中 2 2 2 D : x + y a ． 5．将积分 1 2 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy − + 交换积分次序． 6．计算 ( 6 ) : , 5 , 1 D x y dxdy D y x y x x + = = = 所围成的区域． 7．计算 3 2 2 2 2 ( ) D I a x y dxdy − = + + ，其中 D x y x a y a = {( , ) 0 ; 0 }． 8．利用二重积分求圆柱体 2 2 2 x y a + 和 2 2 2 y z a + 所围成的立体体积． 四、证明题（2 5=16 分） 1．设 f (x, y) 在 D 上连续，其中 D 是由曲线 2 1 , 2 y x y x = = 所围成的区域．证明 ： 2 2 2 4 0 0 2 ( , ) ( , ) y x x y dy f x y dx dx f x y dy = 2．证明 ： 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b x b n n a a a dx x y f y dy b y f y dy n − − − = − − ，其中 n 为大于 1 的正整数． 自我测试题 B 一、填空题（3 6=18 分）
1.交换积分次序：∫fx,)= 2.交换积分次序：。x= 3.设平面区域D满足：0≤y≤V2x-,0≤x≤1，则fx,do在极坐标系下的二次积分 为 4.设D为：|xs2Iys2,川xdo= 5.设D={(x,y)川xs1,0≤y≤2则0y-x+2)= 6.册记小e产co+h-一，其中积分区城D是以原点为中心，半径为r的圆域 二、选择题(3×6=18分) 1.设人=机八++6.4=机.作-o,共中四选续且单调猫加 则有（). (A)1>1®)1<山，（©1=D)1与1，大小关系不确定 之告计积分1一儿0+m+的值.则正确的是（》 ()<1<104(B)1.04<1<196(C)196<1<2D)2<1<214 3.设1=小x2+y-x6,其中D是由直线y=2y=x及y=2x所围成的闭区域，则1可 化为二次积分 x2+y-xhB)∫x+y-xw G)∫时ix2+y-xdD∫ax2+y广-x 4.1=∫x,)+x,)交换积分次序后等于（，其中fx)是积分 区域D上连续函数. (A B)∫fxd C)∫fxd D)∫fxyd 5.将厅xk化为极坐标系下的累次积分为（
3 1．交换积分次序： 2 2 0 ( , ) _ x x dx f x y dx = ． 2．交换积分次序： sin 0 sin 2 ( , ) _ x dx f x y dy x − = ． 3．设平面区域 D 满足： 0 2 , 0 1 2 y x − x x ，则 D f (x, y)d 在极坐标系下的二次积分 为_． 4．设 D 为： = D | x | 2; | y | 2, xyd _. 5．设 D x y x y = {( , ) | | 1,0 2} 则 2 (| | 2) D y x dxdy − + = _． 6． 2 2 2 0 1 lim cos( ) _ x y r D e x y dxdy r + → + = ，其中积分区域 D 是以原点为中心，半径为 r 的圆域． 二、选择题（3 6=18 分） 1． 设 2 2 1 2 2 1 1 ( ) , x y 1 I f d x y + = + + 2 2 2 3 2 2 1 1 ( ) , x y 1 I f d x y + = + + 其中 f (u) 连续且单调增加， 则有（ ）． (A) 1 2 I I (B) 1 2 I I (C) 1 2 3 2 I = I (D) 1 I 与 2 I 大小关系不确定 2．估计积分 2 2 | | | | 10 1 100 sin sin x y I dxdy x y + = + + 的值，则正确的是（ ）． (A) 1.04 2 1 I (B) 1.04 I 1.96 (C) 1.96 I 2 (D) 2 I 2.14 3．设 = + − D I (x y x)d 2 2 ，其中 D 是由直线 y = 2, y = x 及 y = 2x 所围成的闭区域，则 I 可 化为二次积分 (A) 2 2 2 0 2 ( ) y dy x y x dx y + − (B) 2 2 2 0 2 ( ) y dx x y x dy y + − (C) 2 2 2 2 0 ( ) y y dy x y x dx + − (D) 2 2 2 0 2 ( ) x dx x y x dy x + − 4． 2 1 ( , ) x x I dx f x y dy = + 4 2 2 ( , ) x dx f x y dy 交换积分次序后等于（ ），其中 f (x, y) 是积分 区域 D 上连续函数． (A) 2 2 1 ( , ) x x dx f x y dy (B) 2 2 1 ( , ) y y dy f x y dx (C) 2 2 1 0 ( , ) y dy f x y dx (D) 2 2 1 ( , ) x x dx f x y dy − 5．将 2 1 0 0 ( , ) y y dy f x y dx − − 化为极坐标系下的累次积分为（ ）．
(A)fd0j。°f(pos0.psin0)pdpB)fgd0j。°f(ps0,psin0)pdp (C)Jd0。”f(pcos0.,psin0)pdpD)JEd0。°f(pcos0.psim0odp 6.(91研)设D是xoy上以(L,1),(-1,1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D是D在第一象限 的部分，则厂(y+cosxsiny)dd=(） (a)2 cossd小B)2∬gd(C)4∬y+-cosxsin yddy D)0 三、计算题(6×7=42分) 1.计算二重积分1=「一 +产+可其D=cr2s2x0sx≤2. 2计算二重积分1-学，其中D是由直线x-2y=与双曲线=1所国院的区线。 3.计算积分1=re 4.(95研)设函数f(x)在区间0，】上连续，并设∫。fx)d:=A,求二次积分 ∫fxfo. 5.（00)设=信，15：20蛇D=《川2+广22，/恤. 0, 6计京列小r,美中0自销与程我化0e1江所我 四、证明题（第1、2题各6分，第3题10分，共计22分） 1.证明1≤∬(eosy2+smx2do≤V,其中D=(x川0sxsL0sy≤. 2.设fx)在0，】上连续，证明：eded≥1. 3.设fx)为[0，]上的单调增加的连续函数，证明 ∫x、∫6fx达 ∫。fx∫6f产x达
4 (A) sin 0 2 d f d ( cos , sin ) − (B) sin 0 2 d f d ( cos , sin ) (C) sin 0 2 d f d ( cos , sin ) (D) sin 0 2 d f d ( cos , sin ) 6．（91 研）设 D 是 xoy 上以 (1, 1), ( 1, 1) − 和 ( 1, 1) − − 为顶点的三角形区域， D1 是 D 在第一象限 的部分，则 ( cos sin ) D xy x y dxdy + = ( ) (A) 1 2 cos sin D x ydxdy (B) 1 2 D xydxdy (C) 1 4 ( cos sin ) D xy x y dxdy + (D) 0 三、计算题（6 7=42 分） 1．计算二重积分 + + = D dxdy x y x I 2 2 1 ，其 {( , ) | 2 , 0 2} 2 D = x y y x x ． 2．计算二重积分 = D dxdy x y I 2 2 ，其中 D 是由直线 x = 2, y = x 与双曲线 xy = 1 所围成的区域． 3．计算积分 1 1 2 2 0 y x I dx x e dy − = ． 4．（95 研）设函数 f (x) 在区间 [0, 1] 上连续，并设 1 0 f x dx A ( ) = ，求二次积分 1 1 0 ( ) ( ) x dx f x f y dy ． 5．（00 研）设 2 , 1 2, 0 ( , ) 0 x y x y x f x y = ， 其它 ， {( , ) | 2 } 2 2 D = x y x + y x ，求 D f (x, y)dxdy ． 6．计算 D y dxdy 2 ，其中 D 由 x 轴与摆线 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 0 t 2 所围成． 四、证明题（第 1、2 题各 6 分，第 3 题 10 分，共计 22 分） 1．证明 1 (cos + sin ) 2 2 2 y x d ，其中 D = {( x, y) | 0 x 1, 0 y 1}． 2．设 f (x) 在 [0, 1] 上连续，证明： 1 1 ( ) ( ) 0 0 1 f x f y e dx e dy − ． 3．设 f (x) 为 [0, 1] 上的单调增加的连续函数，证明 1 1 3 3 0 0 1 1 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) xf x dx f x dx xf x dx f x dx ．