第十章无穷级数 A级自测题 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.设有一个常数项级数∑a,若a>且ma,=0,则该级数（)。 A.条件收敛.B.绝对收敛.C.发散.D.可能收敛，也可能发散 2.正项级数∑a收敛是级数∑a,2收敛的(）. A.必要条件B.充分条件。C.充分必要条件。D.既非充分也非必要条件 3.若常数项级数4+（仙+4）+(，+西+%，)+.收敛，则() A.级数山++码+.必定收敛于原来级数的和 B.。级数山+山+码+.必定收敛，但不一定收敛于原来级数的和. C.级数4+山+4+.不一定收敛. D.级数山+码+码+.必定发散 4.级数∑(-)-n(p为常数)(. A.一定条件收敛.B.一定绝对收敛.C.一定发散.D.收敛性与常数p有关， 二、填空题（每小题4分，共16分） 1.级数空+（a>0)当0—时收敛 2.已知幂级数∑a,的收敛半径为R,和函数为s(),则级数 a+2ax+3ax2+4ax+. 的收敛半径为 ，和函数为 3.幂级数-《+少的收敛城为 n 1
1 第十章 无穷级数 A 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 1．设有一个常数项级数 1 n n a = ，若 n n 1 a a + 且 lim 0 n n a → = ，则该级数（ ）． A．条件收敛． B．绝对收敛． C．发散． D．可能收敛，也可能发散． 2．正项级数 1 n n a = 收敛是级数 2 1 n n a = 收敛的（ ）． A．必要条件． B．充分条件． C．充分必要条件． D．既非充分也非必要条件． 3．若常数项级数 1 2 3 4 5 6 u u u u u u + + + + + + ( ) ( ) 收敛，则（ ） A．级数 1 2 3 u u u + + + 必定收敛于原来级数的和． B．级数 1 2 3 u u u + + + 必定收敛，但不一定收敛于原来级数的和． C．级数 1 2 3 u u u + + + 不一定收敛． D．级数 1 2 3 u u u + + + 必定发散． 4．级数 1 1 ( 1)n p n n − = − （ p 为常数）（ ）． A．一定条件收敛． B．一定绝对收敛． C．一定发散． D．收敛性与常数 p 有关． 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 1．级数 1 1 1 n n a = + （ a 0 ）当 a _时收敛． 2．已知幂级数 1 n n n a x = 的收敛半径为 R ，和函数为 s x( ) ，则级数 2 3 1 1 1 1 a a x a x a x + + + + 2 3 4 的收敛半径为_，和函数为_． 3．幂级数 1 1 ( 1) ( 1) n n n x n − = + − 的收敛域为_．
4m-8C -0是否收敛 2.判别级数2 主对版空T是若效 4。判别级数2-一2如”工是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？ n 四、求下列幂级数的收敛域与和函数（每小题8分，共16分） 1,求幂级数22”+3”x的收敛域 台n 工求雪强题空二的收金选并求相函政 五、求解下列各题（每小题7分，共21分） L将函数国？++民开度(-)的第级数 将)开为的级数。，并求级数 备a+加的和。 3.设∫(x)是以2π为周期的周期函数，它在[-元，π)上的表达式为：fx)=3x2+1, (一π≤x<π)，试将它展开成傅里叶级数. 六，设级数三a,6都收敛，且a5%56（n=l23.小，求证级数云，也收 敛.(7分) B级自测题 一、选择题：（每小题4分，共16分） 1.(04研)设∑0，为正项级数.下列结论中正确的是（)
2 4．设 2 1, 0 ( ) 1 , 0 x f x x x − − = + ，则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x = 处 收敛于 ． 三、判别下列级数的收敛性（每小题 7 分，共 28 分） 1．判别级数 1 1 n (3 2)(3 1) n n = − + 的收敛性，若收敛，求其和； 2．判别级数 1 1 ( 0) 1 n n n a a a + = + 是否收敛． 3．判别级数 1 1 [ln( 1)]n n n = + 是否收敛． 4． 判别级数 2 1 1 2 sin ( 1) n n n n x n − = − 是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？ 四、求下列幂级数的收敛域与和函数（每小题 8 分，共 16 分） 1．求幂级数 1 2 3 n n n n x n = + 的收敛域； 2．求幂级数 1 2 n n n x n = 的收敛域，并求和函数． 五、求解下列各题（每小题 7 分，共 21 分） 1．将函数 2 1 ( ) 4 3 f x x x = + + 展开成（ x −1 ）的幂级数； 2．将 1 ( ) ( ) x d e f x dx x − = 展开为 x 的幂级数，并求级数 n 1 ( 1)! n n = + 的和； 3．设 f x( ) 是以 2 为周期的周期函数，它在 [ , ) − 上的表达式为： 2 f x x ( ) 3 1 = + , （ − x ）,试将它展开成傅里叶级数． 六、设级数 1 n n a = ， 1 n n b = 都收敛，且 n n n a u b （ n =1,2,3, ），求证级数 1 n n u = 也收 敛．（7 分） B 级自测题 一、选择题：（每小题 4 分，共 16 分） 1．（04 研）设 1 n n a = 为正项级数．下列结论中正确的是（ ）．
A.若mm,=0,则级数∑a,收敛。 B。若存在非零常数2，使得mna,=,则级数∑a,发散。 C.若级数∑a.收敛，则im㎡a,=0 D若级数立a,发散，则存在非零常数2，使得mna,=2 2.已知级数2-a,=2,立a=5,则级数2a.等于() A.3. B.7. C.8. D.9. 3.若m,=o,则级数2(1-L)(. A.发散. B.收敛于0.C.收敛于1 D.收敛性不确定。 4.若级数2a,(a,20)收敛，则有（). 人立a发数。B宫做做。心三品发能D各发数 二、填空题：（每小题4分，共16分） 1.若级数中收敛，则口应满足 2.设幂级数Q,:+少在x=3处条件收敛，则该帮级数的收敛半径为R=— 3.函数fx)=x2+2x+1展开成(x-1)的幂级数为 4.设函数fx)=πx+x2(一π<x<)的傅里叶级数展开式为 2 则其中系数，的值为 三、讨论级数2行0+习的收性.（分) 1 3
3 A．若 lim 0 n n na → = ，则级数 1 n n a = 收敛． B．若存在非零常数 ，使得 lim n n na → = ，则级数 1 n n a = 发散． C．若级数 1 n n a = 收敛，则 2 lim 0 n n n a → = ． D 若级数 1 n n a = 发散，则存在非零常数 ，使得 lim n n na → = ． 2．已知级数 1 2 1 1 1 ( 1) 2, 5 n n n n n a a − − = = − = = ，则级数 1 n n a = 等于（ ）． A．3． B．7． C．8． D．9． 3．若 lim n x u → = +， 则级数 1 1 1 1 ) n n n u u = + （ − （ ）． A．发散． B．收敛于 0． C．收敛于 1 1 u ． D．收敛性不确定． 4．若级数 1 ( 0) n n n a a = 收敛，则有（ ）． A． 2 1 ( ) n n a = 发散． B． 1 n n a n = 收敛． C． 1 1 n n n a a = + 发散． D． n n k a n = 发散． 二、填空题：（每小题 4 分，共 16 分） 1．若级数 1 1 a n n n = + 收敛，则 a 应满足_． 2．设幂级数 1 ( 1)n n n a x = + 在 x = 3 处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为 R = _． 3．函数 2 f x x x ( ) 2 1 = + + 展开成（ x −1 ）的幂级数为_． 4．设函数 2 f x x x x ( ) ( ) = + − 的傅里叶级数展开式为 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a n b n = + + ， 则其中系数 3 b 的值为_． 三、讨论级数 1 1 1 [ ln(1 )] n n n = − + 的收敛性．（8 分）
面应邦0品泛a,且2，何级数交-r化+是香收 敛？若收敛， 是绝种收敛还是条件收敛？(8分) 五、求幂级数∑(-1)一mx”的和函数.(8分) 】 六，求级数2的和.(8分) 七、(06研)将函数)2+一子展开度x的幂级数。(8分) 八、将函数fx)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.(8分) 九、证明题： 1.(04研)设有方程x+-1=0,其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根x, 并证明当a>1时，级数∑x收敛.(9分) 2。设在=0的某邻域内具有二阶连续导数且吗/国=0，证明级 数空得绝对收效Ⅲ分)
4 四、（02 研）设 0 ( 1,2,3, ) n u n = ，且 lim 1 n n n → u = ，问级数 1 1 1 1 1 ( 1)n n n n u u + = + − + 是否收 敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（8 分） 五、求幂级数 1 2 1 ( 1)n n n n x − = − 的和函数．（8 分） 六、求级数 2 2 1 ( 1)2n n n = − 的和．（8 分） 七、（06 研）将函数 ( ) 2 2 x f x x x = + − 展开成 x 的幂级数．（8 分） 八、将函数 f x x x ( ) 1 (0 2) = − 展开成周期为 4 的余弦级数．（8 分） 九、证明题： 1．（04 研）设有方程 1 0 n x nx + − = ，其中 n 为正整数，证明此方程存在唯一正实根 n x ， 并证明当 1 时，级数 1 n n x = 收敛．（9 分） 2．设 f x( ) 在 x = 0 的某邻域内具有二阶连续导数且 0 ( ) lim 0 x f x → x = ，证明级 数 1 1 n f n = 绝对收敛．（11 分） −2 − −h 0 h 2 1 − + 2 h 2−h x y 图（10-4）