第五章定积分及其应用 A级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.若函数fx)在区间[a,1上()，则f(x)在[a,上一定不可积 A.不可微.B.不连续.C.非负.D.无界. 2极限细行n2++示4行等于（》 Ah2.B.}n2.C.n2. D.2In2 3 3.若商数连线，则名U0山等于（入 A.2x-[f(x).B.2x-If('). C.x().D.If(x) 4.下列定积分的值为0的是(). A.∫re.B.simx,C.∫xd,D.xcos.xds. 5.下列反常积分收敛的是(). A广a,B广，C广，D广2 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.若fx)=x2,则fx)在区间0，)上的平均值为 2= 3.若闲=+F恤，则e达— 4.0e5k=_ 5.曲线r=asim号在0≤0≤3x一段的弧长5= 三、计算题（每小题5分，共40分） L.求楼限mn海. n 2求极限回广号在
1 第五章 定积分及其应用 A 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．若函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上（ ），则 f x( ) 在 [ , ] a b 上一定不可积． A．不可微． B．不连续． C．非负． D．无界． 2．极限 2 2 2 2 2 1 2 lim( ) n 1 2 n → n n n n + + + + + + 等于（ ）． A． 1 ln 2 2 ． B． 1 ln 2 3 ． C．ln 2 ． D．2ln 2 ． 3．若函数 f x( ) 连续，则 2 2 0 [ ( )] d x f t dt dx 等于（ ）． A． 2 2 [ ( )] x f x ． B． 2 2 2 [ ( )] x f x ． C． 2 2 x f x [ ( )] ． D． 2 [ ( )] f x ． 4．下列定积分的值为 0 的是（ ）． A． 1 2 1 x x e dx − ． B． 0 sin xdx ． C． 1 4 1 x dx − ． D． 1 1 x xdx cos − ． 5．下列反常积分收敛的是（ ）． A． 2 ln xdx + ． B． 1 1 dx x + ． C． 3 1 1 dx x + ． D． ln e x dx x + ． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1． 若 2 f x x ( ) = ，则 f x( ) 在区间 [0,1] 上的平均值为_． 2． 1 2 1 | | 1 x x dx x − + + =_． 3．若 1 2 2 0 1 ( ) 1 ( ) 1 f x x f x dx x = + − + ，则 1 0 f x dx ( ) =_． 4． 4 0 x e dx =_． 5．曲线 3 sin 3 r a = 在 0 3 一段的弧长 s ＝_． 三、计算题（每小题 5 分，共 40 分） 1．求极限 ! lim ln n n n → n ． 2．求极限 2 2 2 lim n n n x x dx e + → ．
1 P 3常数a,6、6取何值时才能使四m-a行山=6皮立 ©osx,0≤x≤2求(x)=[f0d,并讨论其在0，上的连续性。一 4.设f(x)={ 5.计算 dx ”(2x2+10N1+x7 6计血， 1.计acm女。 8计第广后血 四、应用题（每小题8分，共24分） 1.求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0，-3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面 积 2.求由曲线y=a与直线x=a,x=2a(a>0)及y=0所围成的图形分别绕x轴 与y轴及y=1旋转一周所生成的旋转体的体积. 3.在摆线x=a1-sin),y=al-cos)上求分摆线第一拱的长成1：3的点的坐标. 五、若f(x)是区间0，上单调减少的正值连续函数.证明：fx)d>afx)d, 其中0<a<b<1.(6分) B级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.函数g)=cosd的驻点个数为（)。 A.1.B.2. C.3. D.无穷多. 2设M-值0od,N-值omx+oa,P=值-osa 则()
2 3．常数 a ，b ， c 取何值时才能使 2 0 2 1 lim sin 1 x x b t dt c x ax t → = − + 成立． 4．设 cos ,0 2 ( ) , 2 x x f x c x = ．求 0 ( ) ( ) x = x f t dt ，并讨论其在 [0, ] 上的连续性． 5．计算 1 3 0 2 2 (2 1) 1 dx x x + + ． 6．计算 1 2 0 (1 ) x xe dx + x ． 7．计算 0 arctan a a x dx a x − + ． 8．计算 1 1 1 dx x x + − ． 四、应用题（每小题 8 分，共 24 分） 1．求抛物线 2 y x x = − + − 4 3 及其在点 (0, 3) − 和点 (3,0) 处的切线所围成的图形的面 积． 2．求由曲线 xy a = 与直线 x a = ， x a = 2 （ a 0 ）及 y = 0 所围成的图形分别绕 x 轴 与 y 轴及 y =1 旋转一周所生成的旋转体的体积． 3．在摆线 x a t t = − ( sin ) ， y a t = − (1 cos ) 上求分摆线第一拱的长成 1: 3 的点的坐标． 五、若 f x( ) 是区间 [0,1] 上单调减少的正值连续函数．证明： 0 ( ) a b f x dx ( ) b a a f x dx ， 其中 0 1 a b ．（6 分） B 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．函数 2 0 ( ) cos x t g x e tdt = 的驻点个数为（ ）． A．1． B． 2 ． C．3． D．无穷多． 2．设 M = 2 4 2 2 sin cos 1 x xdx x − + ， N = 2 3 4 2 (sin cos ) x x dx − + ， P = 2 2 3 4 2 ( sin cos ) x x x dx − − ， 则（ ）．
A.N0 3.设fx)=0,x=0,F)=f0t.则F)在x=0处（人. -1x2.B.p-1.D.p>1. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.若函数fx)连续，且[∫)d=x,则fx)= 2.若f0)=1,f0=3,f0=5,则xd=一 3.(sin'x+sin 2x)Isinxld= 4.设函数f)在[a,上连线，且f)>0,则m广r厂达= 5.曲线x=a(cos1+1sim),y=a(sin1-1cos),(a>0)从t=0到1=π的一段弧长为 三、计算题（每小题6分，共36分） 1计第到值m 2.计达，申产 3.设f(x)定义域为(-o,+o),而在[0，π)上f(x)=x且fx)=f(x-x)+sinx.试计 算fxd
3 A． N P M . B． M P N . C． N M P . D． P M N . 3．设 1, 0 ( ) 0, 0 1, 0 x f x x x = = − ， 0 ( ) ( ) x F x f t dt = ．则 F x( ) 在 x = 0 处（ ）． A．不连续． B．连续但不可导． C．可导且 F x f x ( ) ( ) = ． D．可导但 F x ( ) 未必等于 f x( ) ． 4．设函数 f x( ) 在 [ , ] − 上连续，当 2 F a f x a nx dx ( ) [ ( ) cos ] − = − 取到极小值时， a = （ ）． A． f x nxdx ( )cos − ． B． 1 f x nxdx ( )cos − ． C． 2 f x nxdx ( )cos − ． D． 1 ( )cos 2 f x nxdx − ． 5．设反常积分 1 cos 1 1 ( ) p x x e e dx + − − − 收敛，则 p 的取值范围是（ ）． A． p 2 ． B． p 1． C． p −1． D． p 1 ． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．若函数 f x( ) 连续，且 1 0 f tx dt x ( ) = ，则 f x( ) =_． 2．若 f (0) 1 = ， f (1) 3 = ， f (1) 5 = ，则 1 0 xf x dx ( ) ＝_． 3． 9 2 2 2 (sin sin 2 ) | sin | x x x dx + =_． 4．设函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，且 f x( ) 0 ，则 3 lim ( ) b n n a x f x dx → ＝_． 5．曲线 x a t t t y a t t t a = + = − (cos sin ), (sin cos ),( 0) 从 t = 0 到 t = 的一段弧长为 ． 三、计算题（每小题 6 分，共 36 分） 1．计算 2 4 2 sin 1 x x e xdx e − + ． 2．计算 1 2 0 x f x dx ( ) ，其中 1 4 ( ) 1 x dt f x t = + ． 3．设 f x( ) 定义域为 ( , ) − + ，而在 [0, ) 上 f x x ( ) = 且 f x f x x ( ) ( ) sin = − + ．试计 算 3 f x dx ( ) ．
4.计第京达 5.计算+x-产 6设=，其中0，求+ 四、应用题（每小题8分，共16分） 1.设抛物线y=a2+br+c过原点，当0≤xs1时y≥0，又抛物线与直线x=1及x轴 围成平面图形的面积为；求a,么，c使此图形绕x轴旋转一周而成旋转体的体积最小. 2.一无盖容器的侧面和底面分别由曲线弧段y=x2-1(1≤x≤2)和直线段y=0 (0≤x≤1)绕y轴旋转生成。若设坐标轴长度单位为米，现以每分钟2立方米的速度向 容器内加水。试求当水面高度达到容器深度一半时，水面上升的速度、 五、证明题（每小题6分，共18分） 1.设函数f)连续，证明f心+马变=fx+ x 2.若函数f(x)在闭区间[AB上连续，A<a<b<B.证明： ()-) h 3.若满足0=，国+网（21.证明：m国存在且有 ms1+好 4
4 4．计算 1 2 0 1 ln( ) 1 dx − x ． 5． 计算 1 1 1 2 1 (1 ) x x x e dx x + + − . 6．设 1 ln ( ) 1 x t f x dt t = + ，其中 x 0 ．求 1 f x f ( ) ( ) x + ． 四、应用题（每小题 8 分，共 16 分） 1．设抛物线 2 y ax bx c = + + 过原点，当 0 1 x 时 y 0 ，又抛物线与直线 x = 1 及 x 轴 围成平面图形的面积为 1 3 ．求 abc , , 使此图形绕 x 轴旋转一周而成旋转体的体积最小． 2．一无盖容器的侧面和底面分别由曲线弧段 2 y x = −1 （ 1 2 x ）和直线段 y = 0 （ 0 1 x ）绕 y 轴旋转生成．若设坐标轴长度单位为米，现以每分钟 2 立方米的速度向 容器内加水．试求当水面高度达到容器深度一半时，水面上升的速度． 五、证明题（每小题 6 分，共 18 分） 1．设函数 f x( ) 连续，证明： 2 2 2 1 ( ) a a dx f x x x + = 2 1 ( ) a a dx f x x x + ． 2．若函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] A B 上连续， A a b B ．证明： 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) b h a f x h f x dx f b f a → h + − = − ． 3．若 f x( ) 满足 f (1) 1 = ， 2 2 1 ( ) ( ) f x x f x = + （ x 1 ）．证明： lim ( ) x f x →+ 存在且有 lim ( ) x f x →+ 1 4 + ．