三、典型例题解析 例1计算1=，其中L是圆+少=中0，)到是爱之间的一段劣孤 (a>0). 解法1将积分弧段分为4C和CB两段弧来计算（如图9 一1所示)： ∫nd=迹+d 而 h=o2=, 图9一 。可品女方 故 1=可h=0+万女2 解法2L=AB的参数方程为：x=acos0,y=asin0(←元≤0s),于是 1-acs-asinay +(acosoY do 错误解答设C(a0),因为4C:y=√后P-平，CB:y=-厅-F,则沿此两段弧均有 典故有地=方如 错解分析错误原因在于选x作为参数时，y表示为x的单值函数时有两个表达式，故 必须分为两段计算. 注在求对弧长的曲线积分时，若己知积分曲线的参数方程为L:x=(),y=() 且1=口和1=B分别对应点A与点B处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求 积分的下限小于上限，还要注意：当t从a连续变化到B时，相应的点(()，)应在积分 曲线上.同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同， 计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式 例2计算手x-y+1)d,其中L是顶点为00,0)，41,0)及B0,1)所成三角形的边界
三、典型例题解析 例 1 计算 L I xds = ，其中 L 是圆 2 2 2 x y a + = 中 A a (0, ) 到 ( , ) 2 2 a a B − 之间的一段劣弧 （a 0)． 解法 1 将积分弧段分为 AC 和 CB 两段弧来计算（如图 9 －1 所示）： AB AC CB xds xds xds = + 而 2 0 2 2 a AC ax xds dx a a x = = − ， 2 2 2 2 2 a a CB ax a xds dx a x = = − ． 图 9－1 故 1 2 (1 ) 2 L I xds a = = + ． 解法 2 L AB = 的参数方程为： x a y a = = cos , sin ( ) 4 2 − ，于是 2 4 2 2 I a a a d cos ( sin ) ( cos ) − = − + 2 4 2 2 1 cos (1 ) 2 a d a − = = + ． 错误解答 设 C a( ,0) ，因为 2 2 AC y a x : = − ， 2 2 CB y a x : = − − ，则沿此两段弧均有 2 2 adx ds a x = − ，故有 2 2 0 2 2 1 (1 ) 2 a AB ax xds dx a a x = = − − ． 错解分析 错误原因在于选 x 作为参数时， y 表示为 x 的单值函数时有两个表达式，故 必须分为两段计算． 注 在求对弧长的曲线积分时，若已知积分曲线的参数方程为 L ：x t = ( )，y t = ( ) 且 t = 和 t = 分别对应点 A 与点 B 处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求 积分的下限小于上限，还要注意：当 t 从 连续变化到 时，相应的点 ( ( ), ( )) t t 应在积分 曲线上．同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同， 计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式． 例 2 计算 ( 1) L x y ds − + ，其中 L 是顶点为 O A (0,0), (1,0) 及 B(0,1) 所成三角形的边界． x y o A B C
解L是分段光滑的闭曲线，如图9一2所示，根据积分的可加 性，则有 ∮(x-y+Id =(x-y+1)d+x-y+1)d+x-y+1)d, 由于OA:y=0,0sxs1,于是 图9一2 山=尝+（安=F+0= 故 x-y+1h=x-0+= 而AB:y=1-x,0≤x≤1，于是 山=会+密=+（在=. ∫x-y+达=x-1-)+5k=2, 同可阳000s1,-+密=甲=，则 jx-y+达=可0-y+w= 综上所述x-y+1达=+巨+=2+反. 注当L是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算 例3计算√R+Fk,其中L为圆周x+y'=,a>0 分析积分曲线L关于x轴对称（如图9一3所示），被积函数为关于y的偶函数，由对 称性得 手NR+y=2R+少， 其中4：x2+y2=y≥0). 解法1直接化为定积分。上的参数方程为 x=号+5cos0,y=号sin0(0s0sx）, ds=x(+y(o)de=4de 图9-3 于是
解 L 是分段光滑的闭曲线，如图 9－2 所示，根据积分的可加 性，则有 ( 1) L x y ds − + ( 1) OA = − + x y ds ( 1) AB + − + x y ds ( 1) BO + − + x y ds ， 由于 OA : y = 0 ， 0 1 x ，于是 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 0 dx dy ds dx dx dx dx dx = + = + = ， 图 9－2 故 1 0 3 ( 1) ( 0 1) 2 x y ds x dx − + = − + = OA ， 而 AB : y x = −1 , 0 1 x ，于是 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( 1) 2 dx dy ds dx dx dx dx dx = + = + − = ． 故 1 0 ( 1) [ (1 ) 1] 2 2 AB x y ds x x dx − + = − − + = ， 同理可知 BO : x = 0 （ 0 1 y ）， 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 1 dx dy ds dy dy dy dy dy = + = + = ，则 1 0 1 ( 1) [0 1] BO 2 x y ds y dy − + = − + = ． 综上所述 3 1 ( 1) 2 2 2 L 2 2 x y ds − + = + + = + ． 注 当 L 是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算． 例 3 计算 2 2 L x y ds + ，其中 L 为圆周 2 2 x y ax + = ，a 0 ． 分析 积分曲线 L 关于 x 轴对称（如图 9－3 所示），被积函数为关于 y 的偶函数，由对 称性得 2 2 2 2 2 L L x y ds x y ds + = + 1 , 其中 2 2 1L x y ax y : ( 0) + = ． 解法 1 直接化为定积分． L1 的参数方程为 cos 2 2 a a x = + , sin 2 a y = （ 0 ）, 且 2 2 [ ( )] [ ( )] 2 a ds x y d d = + = ． 图 9－3 于是 x y o L L1 a x y o A(1,0) B(0,1)
手.F+yh=重.瓜dh=2 2facos号号d0=2r. 解法2L的极坐标方程为r0)=acos80s0s),则 y=r(0)sine,x=r(0)cos0, ac0,dsdad +yds=2[a cosodo=2a. 注1在解法1中，参数0表示圆心角，而在解法2中，参数0表示极坐标系下的极角， 参数的意义不同，一般取值范围也不相同. 注2若曲线在极坐标系下的方程为r=r(),则本=√P+(dB,可直接用此式. 注3当积分曲线L关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第一类曲线 分.一般地，有以下的结论： (1)若曲线L关于x轴对称，记L,是L的y≥0的部分，fx,)在L上连续，则 a.∫fx,d=2fx,d(若fx)是关于y的偶函数). b.∫/xy=0(若fx,)是关于y的奇函数). (2)若曲线L关于y轴对称，记是L的x20的部分，f八x,)在L上连续，则 a.∫fx,y)d=2f(x,yd(若fx,)是关于x的偶函数). b.∫f,杰=0（若fx)是关于x的奇函数）. 例4计算∫xz其中「为折线段ABCD，这里 40.0.0),B0,0,2.C1,0,2.D1,2,3). D1,23 分析求本题曲线积分的关键是求三条线段AB,BC,CD C0,2 的参数方程.在空间中过点(，片，)，（伍，片，）的直线的对 称式方程为 图9-4 x-=y-X=-5 5-x为-月-9 令该比例式等于1，可得直线的参数方程. 解如图9一4所示， ∫xzd=∫md+∫zd+∫而d 线段AB的参数方程为x=0,y=0,:=21(0≤1≤1)，则
2 2 2 0 2 cos 2 L L 2 2 a x y ds axds a d a + = = = ． 解法 2 L1 的极坐标方程为 ( ) cos (0 ) 2 r a = ，则 y r = ( )sin ， x r = ( )cos ， 2 2 x y r a + = = ( ) cos ， 2 2 ( ) dr ds r d ad d = + = ， 2 2 2 2 2 0 2 cos 2 L x y ds a d a + = = ． 注 1 在解法 1 中，参数 表示圆心角，而在解法 2 中，参数 表示极坐标系下的极角， 参数的意义不同，一般取值范围也不相同． 注 2 若曲线在极坐标系下的方程为 r r = ( ) ，则 2 2 ds r r d = +[ ( )] ，可直接用此式． 注 3 当积分曲线 L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第一类曲线 分．一般地，有以下的结论: （1）若曲线 L 关于 x 轴对称，记 L1 是 L 的 y 0 的部分， f x y ( , ) 在 L 上连续，则 a． ( , ) L f x y ds = 1 2 ( , ) L f x y ds （若 f x y ( , ) 是关于 y 的偶函数）． b． ( , ) L f x y ds = 0 （若 f x y ( , ) 是关于 y 的奇函数）． （2）若曲线 L 关于 y 轴对称，记 L1 是 L 的 x 0 的部分， f x y ( , ) 在 L 上连续，则 a． ( , ) L f x y ds = 1 2 ( , ) L f x y ds （若 f x y ( , ) 是关于 x 的偶函数）． b． ( , ) L f x y ds = 0 （若 f x y ( , ) 是关于 x 的奇函数）． 例 4 计算 2 x yzds 其中 为折线 段 ABCD ，这里 A(0,0,0)， B(0,0,2), C(1,0,2), D(1,2,3) ． 分析 求本题曲线积分的关键是求三条线段 AB, BC,CD 的参数方程．在空间中过点 1 1 1 ( , , ) x y z ， 2 2 2 ( , , ) x y z 的直线的对 称式方程为 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − ， 令该比例式等于 t ，可得直线的参数方程． 解 如图 9－4 所示， 2 2 2 2 AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds = + + ． 线段 AB 的参数方程为 x y z t t = = = 0, 0, 2 (0 1) ，则 x y z A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,2,3) 图 9－4
-++ =+0+2d=2h, 故 ∫m2a-600-212h=0. 线段BC的参数方程为x=1,y=0,:=2(0≤1≤1)，则 ds=+dt =di, 故 ∫r=jr.02h=0, 线段CD的参数方程为x=Ly=24,:=2+1(0≤1≤1)，则 dk=V0+22+1Pdh=√5d, 故 ∫zs=j2-2+0小5d=25.2+rh=5 所以 =可nr+∫xra+ar杰=5. 例5计算重xd,『为球面x2+y2+2=d(a>0)与平面x+y+:=0的交线。 分析此题为对空间曲线弧的曲线积分，一般地，若Γ的参数方程为x=),y=w), :=o)(a≤1≤B)且在a≤1≤B上具有连续导数，则有 ∫fxy=d=ff几a,w.oUkF+[w'or+[ood 解法1先将曲线「用参数方程表示，由于「是球面 x2+y+2=d与经过球心的平面x+y+:=0的交线，如图9-5 所示，因此是空间一个半径为a的圆周，它在xOy平面上的投影为 椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去：而得到，即以 :=-+列代入2+少+：=有+可+少=号将我化为8 图9- 数方程，令号石1，即尽0o,兰y=行m1,即有 y=号m-后.代入r++后（便+*0
2 2 2 ( ) ( ) ( ) dx dy dz ds dt dt dt = + + 2 2 2 = + + = 0 0 2 2 dt dt ， 故 0 0 2 2 0 1 0 2 = = x yzds t dt AB ． 线段 BC 的参数方程为 x t y z t = = = , 0, 2(0 1) ，则 222 ds dt dt = + + = 1 0 0 , 故 1 2 2 0 0 2 0 BC x yzds t dt = = ， 线段 CD 的参数方程为 x y t z t = = = + 1, 2 , 2 (0 t 1) ，则 2 2 2 ds dt dt = + + = 0 2 1 5 ， 故 1 1 2 2 0 0 8 1 2 (2 ) 5 2 5 ) 5 CD 3 x yzds t t dt t t dt = + = + = 2 (2 ， 所以 2 2 2 2 8 5 AB BC CD 3 x yzds x yzds x yzds x yzds = + + = ． 例 5 计算 2 x ds ， 为球面 2 2 2 2 x y z a a + + = ( 0) 与平面 x y z + + = 0 的交线． 分析 此题为对空间曲线弧的曲线积分，一般地，若 的参数方程为 x t =( ) ，y t =( ) ， z t =( ) （ t ）且在 t 上具有连续导数，则有 2 2 2 f x y z ds f t t t t t t dt ( , , ) [ ( ), ( ), ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] = + + ． 解法 1 先将曲线 用参数方程表示，由于 是球面 2 2 2 2 x y z a + + = 与经过球心的平面 x y z + + = 0 的交线，如图 9－5 所示，因此是空间一个半径为 a 的圆周，它在 xOy 平面上的投影为 椭圆，其方程可 以从两个曲 面方程中 消去 z 而得到，即以 z x y = − + ( ) 代入 2 2 2 2 x y z a + + = 有 2 2 2 2 a x xy y + + = ，将其化为参 图 9－5 数方程，令 3 cos 2 2 a x t = ，即 2 cos 3 x a t = ， sin 2 2 x a + =y t ，即有 sin cos 2 6 a a y t t = − ，代入 2 2 2 2 x y z a + + = （或 x y z + + = 0 中） x z o y
得：=行n1一后1，从面「的参数方程为 x=后acos,y=是n1-6cos,:=及n1-5os10s1s2). 则=o+Dor+E +罗++常罗a 所以手nr达=女a=号co=子d 解法2利用对称性 由于积分曲线方程中的变量x,上，：具有轮换对称性，即三个变量轮换位置，方程不变， 故有 重xd=重yd=重d, 因此 手r=心+y+s=.d-写2a=号d. 注这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程， 若其坐标的位置完全平等（即将x,八：轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换 对称性.另外，对曲线积分，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入 被积函数中通常可以将积分化简。 例6设一段曲线y=nx(0<,xx)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标 的平方，求其质量。 分析首先求出线密度px,),然后再利用公式M=Pxy)达即可 解依题意曲线的线密度为p=x2,故所求质量为M=[xd,其中 L:y=lnx(0<≤x≤).则L的参数方程为 小 -V, 所以
得 sin cos 2 6 a a z t t = − − ，从而 的参数方程为 2 cos 3 x a t = ， sin cos 2 6 a a y t t = − ， sin cos 2 6 a a z t t = − − (0 2 ) t ． 则 2 2 2 ds x t y t z t dt = + + [ ( )] [ ( )] [ ( )] 2 cos sin sin cos 2 2 2 sin ( ) ( ) 3 2 6 6 2 t t t t = + + + − = a t dt adt , 所以 2 2 2 2 2 3 2 3 0 0 2 2 2 cos cos 3 3 3 x ds a tadt a tdt a = = = ． 解法 2 利用对称性 由于积分曲线方程中的变量 x y z , , 具有轮换对称性，即三个变量轮换位置， 方程不变， 故有 2 x ds 2 y ds = = 2 z ds ， 因此 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 3 3 x ds x y z ds a ds = + + = 2 2 3 2 3 3 a = = a a ． 注 这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程， 若其坐标的位置完全平等（即将 x y z , , 轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换 对称性．另外，对曲线积分，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入 被积函数中通常可以将积分化简． 例 6 设一段曲线 1 2 y x x x x = ln (0 ) 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标 的平方，求其质量． 分析 首先求出线密度 ( , ) x y ，然后再利用公式 ( , ) L M x y ds = 即可． 解 依题意曲线的线密度为 2 = x ，故所求质量为 2 L M x ds = ，其中 1 2 L y x x x x : ln (0 ) = ．则 L 的参数方程为 ln x x y x = = 1 2 (0 ) x x x ， 故 2 2 2 1 1 1 1 1 dy ds dx dx x dx dx x x = + = + = + ， 所以
M=+=+-+-+. 例7求八分之一球面x2+y广+2=R(x≥0，y≥0，：≥0)的边界曲线的重心，设曲线的 密度p=1. 解设曲线在xOy,0,0Ox坐标平面内的弧段分别为L,、b2、,曲线的重心坐标为 (司)，则曲线的质量为M=∮b=引，击=3×2红。3.由对称性可得重心坐标 玉===，手=++个) =儿+0+小是 高晋提 做所未重心坐标为铅铅铝)】 例8计算x2+y2)达+(x2-y2,其中L是曲线 y=1-1-刘从对应于x=0时的点到x=2时的点的一段弧. 分析由于曲线L是分段光滑的，所以先分别计算在每段 图9-6 光滑曲线的对坐标的曲线积分。如图9一6，将积分分成两部分： ∫2++2-y2炒=x2+2h+2-+x2++x2-y. 解法1L的方程为y=x0≤x≤)，则有 ∫x2+y2+x2-y2=∫2x2d=号 L2的方程为y=2-x(1sxs2),则 ∫x2+y2+(6x2-y2 =∫x2+2-x体+x2-(2-]-1d =22-x=号 所以2+2+(2-少2=
3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 [ (1 ) ] 3 x x x x x M x dx x x = + = + 3 3 2 2 2 2 2 1 1 [(1 ) (1 ) ] 3 = + − + x x ． 例 7 求八分之一球面 2 2 2 2 x y z R x y z + + = ( 0, 0, 0) 的边界曲线的重心，设曲线的 密度 =1． 解 设曲线在 xOy yOz zOx , , 坐标平面内的弧段分别为 L1 、 L2 、 L3 ，曲线的重心坐标为 ( x y z , , ) ，则曲线的质量为 1 1 2 3 2 3 3 3 L 4 2 L L L R R M ds ds + + = = = = ．由对称性可得重心坐标 ( ) 1 2 3 1 2 3 1 1 L L L L L L x y z xds xds xds xds M M + + = = = = + + ( ) 1 3 1 1 2 0 L L L xds xds xds M M = + + = 2 0 2 2 2 2 4 3 R Rxdx R R M M R x = = = − ． 故所求重心坐标为 444 , , 333 RRR ． 例 8 计算 + + − L x y dx x y dy 2 2 2 2 ( ) ( ) ，其中 L 是曲线 y = 1− 1− x 从对应于 x = 0 时的点到 x = 2 时的点的一段弧． 分析 由于曲线 L 是分段光滑的，所以先分别计算在每段 光滑曲线的对坐标的曲线积分．如图 9－6，将积分分成两部分： + + − L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 = + + − 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 L x y dx x y dy x y dx x y dy L ( ) ( ) 2 2 2 2 2 + + + − ． 解法 1 L1 的方程为 y x = (0 1) x ，则有 3 2 ( ) ( ) 2 1 0 2 2 2 2 2 1 + + − = = x y dx x y dy x dx L ． L2 的方程为 y x = −2 (1 2) x ，则 x y dx x y dy L ( ) ( ) 2 2 2 2 2 + + − 2 2 2 1 = + − [ (2 ) ] x x dx 2 2 2 1 + − − − [ (2 ) ] ( 1) x x dx 2 2 1 2 2(2 ) 3 = − = x dx ． 所以 3 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 + + − = L x y dx x y dy ． y o 1 2 L1 L2 x 图9－6
解法2以y为自变量，L的方程为x=y(0≤y≤)，则 ∫x2+y+(x2-y)=∫(-2yd=∫22=号 L,的方程为x=2-y起始点对应的自变量值为1，终点对应的自变量值为0.由于 =-∫x2k+x2=0, 故有2+y2+(62-y2炒=°-2y2=子，所以 2+yr+2-y=号 注将对坐标的曲线积分直接化为对参数变量的定积分时应当注意： (1)当被积函数P,Q的形式较为简单，将积分曲线L的方程代入积分式计算定积分比较 容易时，可直接计算。 (2)参变量的选取视积分曲线具体形式而定，积分下限与上限分别为积分路径的起点与 终点所对应的参数值，这与对弧长的曲线积分不同：当积分曲线分段光滑时，应分段积分， 并注意各自选择适宜的参数变量作为积分变量 例9计算+，如图9-7所示，L是从点4(-a,0) 沿上半圆周2+y2=d到点Ba,0)的一段弧。 -a,0 B(a,0)x 分析关于对坐标的曲线积分的计算，与对弧长的曲线积分 相似，也分三种，不同之处在于：对坐标的曲线积分中的曲线为 图9-7 有向的，因此化为定积分时，积分上、下限只与曲线的起点和终点有关，而与其大小无关 解法1利用直角坐标计算.记L为x+y2=d上从点C0,a)到点B(a,0)的一段劣 弧.则 ∫=V后-x=a2(定积分的几何意义) 动=2可=2匠-=-a, 所以∫+动=0. 解法2利用曲线的参数方程计算.L的参数方程为：x=acos0,y=asin0,在起点 4(-a,0)处参数值取元，在终点Ba,0)处参数值相应取0，故0从r到0.则 +xdy=asinOd(acos0)+acos0d(asin0)==0
解法 2 以 y 为自变量， L1 的方程为 x y = (0 1) y ，则 1 0 1 2 2 2 2 2 2 1 0 2 ( ) ( ) ( 2 ) 2 L 3 x y dx x y dy y dy y dy + + − = − = = ． L2 的方程为 x = 2 − y, 起始点对应的自变量值为 1，终点对应的自变量值为 0．由于 , 0 2 2 = − + = dx dy x dx x dy L ， 故有 3 2 ( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 2 2 2 + + − = − = x y dx x y dy y dy L ，所以 3 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 + + − = L x y dx x y dy ． 注 将对坐标的曲线积分直接化为对参数变量的定积分时应当注意： （1）当被积函数 PQ, 的形式较为简单，将积分曲线 L 的方程代入积分式计算定积分比较 容易时，可直接计算． （2）参变量的选取视积分曲线具体形式而定，积分下限与上限分别为积分路径的起点与 终点所对应的参数值，这与对弧长的曲线积分不同；当积分曲线分段光滑时，应分段积分， 并注意各自选择适宜的参数变量作为积分变量． 例 9 计算 , L ydx xdy + 如图 9－7 所示， L 是从点 A a ( ,0) − 沿上半圆周 2 2 2 x y a + = 到点 B a( ,0) 的一段弧． 分析 关于对坐标的曲线积分的计算，与对弧长的曲线积分 相似，也分三种，不同之处在于: 对坐标的曲线积分中的曲线为 图 9－7 有向的，因此化为定积分时，积分上、下限只与曲线的起点和终点有关，而与其大小无关． 解法 1 利用直角坐标计算．记 L1 为 2 2 2 x y a + = 上从点 C a (0, ) 到点 B a( ,0) 的一段劣 弧．则 2 2 2 2 a L a ydx a x dx a − = − = （定积分的几何意义）． 而 1 0 2 2 2 2 2 L L a 2 xdy xdy a y dy a = = − = − ， 所以 0 L ydx xdy + = ． 解法 2 利用曲线的参数方程计算． L 的参数方程为: x a y a = = cos , sin ，在起点 A a ( ,0) − 处参数值取 ，在终点 B a( ,0) 处参数值相应取 0，故 从 到 0．则 0 sin ( cos ) cos ( sin ) L ydx xdy a d a a d a + = + = 0 2 a d cos2 0 = ． y o A a ( ,0) − B a( ,0) x
解法3设P=xQ=x,故-是=1，由曲线积分与积分路径无关得 ∫达+=∫+x动=0，其中B:y=0 架法4利用格林公式设P=Q=,则有器-器=1，由于积分降径不封，需 要作辅助线函：y=0,记BA与L所围成的闭区域为D,得 ∫达+x动=j:丽+x-J达+ =∬0do+Jt+=0. 注1当积分曲线L关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第二类曲线 分.一般地，有以下的结论： 若曲线L关于x轴对称，记L是L的y≥0的部分，fx,)在L上连续，则 a.∫fx,yd=2fxyd(若fx,)是关于y的奇函数). b.∫f任，=0（若fx,)是关于y的偶函数） 若曲线L关于y轴对称，记马是L的x之0的部分，fx)在L上连续，则 a.∫x,yd=2fx,y(若fx,)是关于x的奇函数). b.∫/优=0（若x,)是关于x的偶函数）. 注2利用格林公式计算对坐标的曲线积分[P本+O山时，应注意以下几点： (1)心，义在区域G内连续，闭区域D的边界曲线L应取正向 dv'x (2)若L为非封闭曲线，直接计算又较困难，可添加辅助线C使L+C为封闭曲线， 然后使用格林公式，若L+C的方向为负向，格林公式中二重积分前要加负号，并注意 =∮c人，同时注意补上的曲线要便于积分的计算。 ③)若号器在D中某点（化，）不连续，要适过添加错助强线C挖去化》)后再使 用格林公式，并要注意C的方向的选取。 (4)在曲线积分中，可将L的表达式代入被积表达式，但是使用格林公式将曲线积分 化为二重积分后，在D内的点(x,)已不再满足L的方程，不应再将L的表达式代入二重积 分的被积表达式。 例10计算∫+(5iny-x炒，如图9-8所示，L是依次连接4《-1,0)，B2,1)
解法 3 设 P y Q x = = , ，故 1 P Q y x = = ，由曲线积分与积分路径无关得 0 L AB ydx xdy ydx xdy + = + = ，其中 AB y: 0 = ． 解法 4 利用格林公式．设 P y Q x = = , ，则有 1 P Q y x = = ，由于积分路径不封闭，需 要作辅助线 BA : 0 y = ，记 BA 与 L 所围成的闭区域为 D ，得 L L BA BA ydx xdy ydx xdy ydx xdy + + = + − + 0 0 AB D = + + = d ydx xdy ． 注 1 当积分曲线 L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第二类曲线 分．一般地，有以下的结论: 若曲线 L 关于 x 轴对称，记 L1 是 L 的 y 0 的部分， f x y ( , ) 在 L 上连续，则 a． ( , ) L f x y dx = 1 2 ( , ) L f x y dx （若 f x y ( , ) 是关于 y 的奇函数）． b． ( , ) L f x y dx = 0 （若 f x y ( , ) 是关于 y 的偶函数）． 若曲线 L 关于 y 轴对称，记 L1 是 L 的 x 0 的部分， f x y ( , ) 在 L 上连续，则 a． ( , ) L f x y dy = 1 2 ( , ) L f x y dy （若 f x y ( , ) 是关于 x 的奇函数）． b． ( , ) L f x y dy = 0 （若 f x y ( , ) 是关于 x 的偶函数）． 注 2 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 L Pdx Qdy + 时，应注意以下几点: （1） , P Q y x 在区域 G 内连续，闭区域 D 的边界曲线 L 应取正向． （2）若 L 为非封闭曲线，直接计算又较困难，可添加辅助线 C 使 L C+ 为封闭曲线， 然后使用格林公式，若 L C+ 的方向为负向，格林公式中二重积分前要加负号，并注意 L L C C + = − ，同时注意补上的曲线要便于积分的计算． （3）若 , P Q y x 在 D 中某点 0 0 ( , ) x y 不连续，要通过添加辅助曲线 C 挖去 0 0 ( , ) x y 后再使 用格林公式，并要注意 C 的方向的选取． （4）在曲线积分中，可将 L 的表达式代入被积表达式，但是使用格林公式将曲线积分 化为二重积分后，在 D 内的点 ( , ) x y 已不再满足 L 的方程，不应再将 L 的表达式代入二重积 分的被积表达式． 例 10 计算 3 ( sin ) L ydx y x dy + − ，如图 9－8 所示， L 是依次连接 A( 1,0), − B(2,1)
CL,0)的折线段 分析若将直线B和BC的方程写出，代入积分式直接计算则比较麻烦，所以考虑用 格林公式计算，但是L不是封闭曲线，须添加辅助线段C使曲线封闭，并注意到封闭折线 ABCA的方向为负向，应用格林公式时在二重积分前要添加负号. 解◆x=Q-,则婴器-12，且酸aa=0, x由1变化到-1，故有 ∫Jt+(siny-x =∮c+(5ny-x冰-at+(sny-xd =-2dd-T0本=2dd=2 图9-8 其中D为ABCA所围成的闭区域. 例1计算手：些，其中L为稀圆周4忙+y广=1，取道时针方向 分析此题可以直接计算，也可应用格林公式，但是应注意奇点。 解法1直接计算，L的参数方程为：x=0s0,y=5in0,0从0到2x,则 手字-em0 c0s20+sin20 =209+4sm00 -42% 注意到0受0：为被积数的无为间新点。故广号为反花积分，因 -02%% 其中2-t0m=思tn2m-2m0-号：同理可为 儡%广%-受·4品%号 所以
C(1,0) 的折线段． 分析 若将直线 AB 和 BC 的方程写出，代入积分式直接计算则比较麻烦，所以考虑用 格林公式计算，但是 L 不是封闭曲线，须添加辅助线段 CA 使曲线封闭，并注意到封闭折线 ABCA 的方向为负向，应用格林公式时在二重积分前要添加负号． 解 令 P x y y ( , ) = ， 3 Q x y y x ( , ) sin = − ，则 1 1 2 Q P x y − = − − = − ，且线段 CA y: 0 = ， x 由 1 变化到-1，故有 3 ( sin ) L ydx y x dy + − 3 ( sin ) ABCA = + − ydx y x dy 3 ( sin ) CA − + − ydx y x dy 1 1 ( 2) 0 2 2 D D dxdy dx dxdy − = − − − = = ． 图 9－8 其中 D 为 ABCA 所围成的闭区域． 例 11 计算 2 2 L xdy ydx x y − + ，其中 L 为椭圆周 2 2 4 1 x y + = ，取逆时针方向． 分析 此题可以直接计算，也可应用格林公式，但是应注意奇点． 解法 1 直接计算， L 的参数方程为: 1 cos 2 x = ， y = sin ， 从 0 到 2 ，则 2 2 L xdy ydx x y − + 2 2 2 0 2 2 1 1 cos sin 2 2 1 cos sin 4 d + = + 2 2 2 0 1 2 cos 4sin d = + 2 2 0 (2 tan ) 1 4 tan d = + ． 注意到 3 , 2 2 = = 为被积函数的无穷间断点，故 2 2 0 (2 tan ) 1 4 tan d + 为反常积分，因此 2 2 L xdy ydx x y − + 2 2 2 2 0 (2 tan ) (2 tan ) 1 4 tan 1 4 tan d d = + + + 3 2 3 2 2 2 2 (2 tan ) (2 tan ) 1 4 tan 1 4 tan d d + + + + ， 其中 2 2 2 2 0 0 ( ) (2tan ) [arctan(2tan )] lim arctan(2tan ) arctan(2tan 0) 1 4tan 2 d → − = = − = + ；同理可得 2 2 (2 tan ) 1 4 tan 2 d = + ， 3 2 2 (2 tan ) 1 4 tan 2 d = + ， 3 2 2 2 (2 tan ) 1 4 tan 2 d = + ． 所以 2 2 L xdy ydx x y − + 2 2222 = + + + = ． x y o C(1,0) B(2,1) A( 1,0) −
解法2用格林公式. 令功F中·0C功则当@0时，罗-是广品 -1 dy ax(x+ 但积分曲线L所围区域包含点(O,0),Pxy以，Qx,)在该点不 具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将 奇点0,0)去掉，为此作半径足够小的圆C:x2+y2=82,使C 位于L的内部，如图9-9所示.C的参数方程为 x=ocoso,y=osine,E0.2 C取逆时针方向.。于是 图9-9 -4.* 其中C表示C的负方向.由格林公式则有 手c*-o=o. 其中D为L与C所围成的闭区域，故 或 cosdsinsindc cos日+s1n6 =∫d0=2m. 例12利用格林公式计算，其中x)=x2+少，L为圆周x2+y=6x取逆时 针方向，密是：沿L的外法线方向导数 解由于器-容ca+等oma川=2os-2osa,其中aB是在线L上点 (x)处的切线的方向角，故∮=手(2 xcosB-2 ycosa)达.根据两类曲线积分之间的 联系及格林公式，有 手本=∮(-2 ycosa+2 xcosByds=④(-2yt+2d=∬4dd 因为L为圆周x2+y2=6x,所以L所围成的圆的面积σ=9x,因此 f.k-∬4h=4o=36r. 例13验证在全平面上，e(1+sin)达+(e+2siny)cos)是全微分，并求出它的 个原函数. 解令Px)=e(1+siny),Qx)=(e+2sin)cosy,则在全平面上有
解法 2 用格林公式． 令 P x y ( , ) = 2 2 y x y − + ， 2 2 ( , ) x Q x y x y = + ，则当 ( , ) (0,0) x y 时， 2 2 2 2 2 ( ) P Q y x y x x y − = = + ， 但积分曲线 L 所围区域包含点 (0,0) ， P x y Q x y ( , ), ( , ) 在该点不 具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将 奇点 (0,0) 去掉，为此作半径足够小的圆 C : 2 2 2 x y + = ，使 C 位于 L 的内部，如图 9－9 所示．C 的参数方程为 x = cos ， y = sin ， [0,2 ]， C 取逆时针方向．于是 图 9－9 2 2 L xdy ydx x y − + 2 2 L C xdy ydx x y − + − = − + 2 2 C xdy ydx x y − − + ， 其中 C − 表示 C 的负方向．由格林公式则有 2 2 0 0 L C D xdy ydx dxdy x y − + − = = + ， 其中 D 为 L 与 C 所围成的闭区域．故 2 2 L xdy ydx x y − + 2 2 C xdy ydx x y − − = − + 2 2 C xdy ydx x y − = + 2 2 2 2 2 0 cos ( sin ) sin ( cos ) cos sin d d − = + 2 0 d 2 = = ． 例 12 利用格林公式计算 L u ds n ，其中 2 2 u x y x y ( , ) = + ，L 为圆周 2 2 x y x + = 6 取逆时 针方向， u n 是 u 沿 L 的外法线方向导数． 解 由于 cos( , ) cos( , ) u u u x y n x y = + n n = − 2 cos 2 cos x y ，其中 , 是在曲线 L 上点 ( , ) x y 处的切线的方向角，故 (2 cos 2 cos ) L u ds x y ds n = − ．根据两类曲线积分之间的 联系及格林公式，有 ( 2 cos 2 cos ) L L u ds y x ds n = − + ( 2 ) 2 4 L D = − + = y dx xdy dxdy ． 因为 L 为圆周 2 2 x y x + = 6 ，所以 L 所围成的圆的面积 = 9 ，因此 4 4 36 L D u ds dxdy n = = = ． 例 13 验证在全平面上， (1 sin ) ( 2sin )cos x x e y dx e y ydy + + + 是全微分，并求出它的一 个原函数． 解 令 ( , ) (1 sin ) x P x y e y = + ， ( , ) ( 2sin )cos x Q x y e y y = + ，则在全平面上有 x y o c