第十一章微分方程 A级自测题 一、选择题（每小题4分，共16分） 1.下列方程中为可分离变量方程的是(). A.y=e” B.xy/+y=e'. C.(x+y2)k+0y+x2y)=0. D.W+y-x=0. 2.下列方程中为可降阶的方程是(). A.y+y+y=1. B.y+0y)=5 C.y"=xe'+y. D.1-x2)y=1+xy. 3.若连续函数fx)满足关系式fx)=∫f(d+ln2,则f(x)等于(). A.e*In2.B.e2 In2.C.e'+In2.D.e2+In2. 4.方程y”+y=cosx的一个特解形式为Y=() A.Axcosx. B.Axcosx+Bsinx. C.Acosx+Bxsinx. D.Axcosx+Bxsinx 二、填空题（每小题4分，共16分） 1微分方程治+p=m0的阶数为 2.一阶线性微分方程y+g(x)y=x)的通解为 3.微分方程y-4y+4y=0满足初始条件0)=1，y0)=4的解为 4.微分方程y=y+x的通解为 三、求下列一阶微分方程的通解（每小题5分，共30分） 1.安-yro: 2.(2+y2)k-9=0: 4.y"+y=0: 5.y+2y)+y=0:6.y"+4y+4y=c0s2x:
1 第十一章 微分方程 A 级自测题 一、选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1．下列方程中为可分离变量方程的是（ ）． A． xy y e = ． B． x xy y e + = ． C． 2 2 ( ) ( ) 0 x xy dx y x y dy + + + = ． D． yy y x + − = 0 ． 2．下列方程中为可降阶的方程是（ ）． A． y xy y + + =1． B． 2 yy y + = ( ) 5 ． C． x y xe y = + ． D． 2 (1 ) (1 ) − = + x y x y ． 3．若连续函数 f x( ) 满足关系式 2 0 ( ) ( ) ln 2 2 x t f x f dt = + ，则 f x( ) 等于（ ）． A． ln 2 x e ． B． 2 ln 2 x e ． C． ln 2 x e + ． D． 2 ln 2 x e + ． 4．方程 y y x + = cos 的一个特解形式为 Y = ( )． A． Ax x cos ． B． Ax x B x cos sin + ． C． A x Bx x cos sin + ． D． Ax x Bx x cos sin + ． 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 1．微分方程 2 sin d d + = 的阶数为 ． 2．一阶线性微分方程 y g x y f x + = ( ) ( ) 的通解为_． 3．微分方程 y y y − + = 4 4 0 满足初始条件 y(0) 1 = ， y (0) 4 = 的解为_． 4．微分方程 y y x = + 的通解为 ． 三、求下列一阶微分方程的通解（每小题 5 分，共 30 分） 1． 2 cos dy y x dx = ； 2．( ) 2 2 x y dx xydy + − = 0 ； 3． 3 dy y dx x y = + ； 4． xy y + = 0 ； 5． (5) (3) y y y + + = 2 0 ； 6． y y y x + + = 4 4 cos2 ；
四、判断方程(1+e2)dp+2pe2d0=0是否为全微分方程，并求出其解.(8分) 五、设曲线L位于xO平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交， 交点记为4已知西O,且L过点（号多：求L的方程。(8分） 六、设对任意的x>0,曲线y=fx)上的点(x,fx》处的切线在y轴上的截距等于 0h,求x)的一般表达式.(8分) 七、设y(x)乃，(xy(x)均为非齐次线性方程y+P(x)y+B(x)y=Q(x)的特解，其 中B(以B(,Q)为已知函数，且)但±常数，试证：给定方程的通解为 y(x)-y(x) M(x)=(I-G-C:)y(x)+Cy(x)+C2(x). 其中C,C,为任意常数.(8分) 八、证明：白是微分方程迹-达=0的积分因子.(6分) B级自测题 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.微分方程y-y-2y=0的通解为(). A.y=Ce+Ce'.B.y=C+e. C.y=e+Ce. D.y=Ce +Ce. 2.微分方程xd-k=y2ey的通解为(). A.y=x(e'+C).B.x=y(e'+C). C.x=C-e').D.y=x(C-e*). 3.若y=x)是方程xy+y=y的满足条件yl=1的解，则(x)=(). A.n5.B.h3. C.In2. D.In7
2 四、判断方程 ( ) 2 2 1 2 0 e d e d + + = 是否为全微分方程, 并求出其解．（8 分） 五、设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内， L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交， 交点记为 A. 已知 | | | | MA OA = ，且 L 过点 3 3 ( , ) 2 2 ，求 L 的方程．（8 分） 六、设对任意的 x 0 , 曲线 y f x = ( ) 上的点 ( , ( )) x f x 处的切线在 y 轴上的截距等于 0 1 ( ) x f t dt x , 求 f x( ) 的一般表达式．（8 分） 七、设 1 2 3 y x y x y x ( ), ( ), ( ) 均为非齐次线性方程 1 2 y P x y P x y Q x + + = ( ) ( ) ( ) 的特解, 其 中 1 2 P x P x Q x ( ), ( ), ( ) 为已知函数, 且 2 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x y x y x − − 常数，试证：给定方程的通解为 1 2 1 1 2 2 3 y x C C y x C y x C y x ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ), = − − + + 其中 1 2 C C, 为任意常数．（8 分） 八、证明： 2 1 ( ) y f x x 是微分方程 xdy ydx − = 0 的积分因子．（6 分） B 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 1．微分方程 y y y − − = 2 0 的通解为（ ）． A． 2 1 2 x x y C e C e − = + ． B． 2 1 x x y C e e− = + ． C． 2 2 x x y e C e− = + ． D． 2 1 2 x x y C e C e− = + ． 2．微分方程 2 y xdy ydx y e dy − = 的通解为（ ）． A． ( ) x y x e C = + ． B． ( ) y x y e C = + ． C． ( )y x y C e = − ． D． ( )x y x C e = − ． 3．若 y y x = ( ) 是方程 2 2 x y xy y + = 的满足条件 1 | 1 x y = = 的解, 则 3 1 y x dx ( ) = ( )． A． ln 5． B． ln 3． C．ln 2 ． D．ln 7 ．
4.设y=x)是方程y-y-e=0的解，且yx)=0,则x)在(). A.,某邻域单调递增。 B.,某邻域单调递减。 C.。处取得极小值。 D.x,处取得极大值 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.通解为y=Ce+C,e-x(C,C,为任意常数)的微分方程是」 2.微分方程(1+x2)y=2y满足初始条件yl-。=1,yL0=3的特解是 3.(o5研)方程+2y=x血x满足0=-g的解为 4.微分方程y”-2y+2y=e的通解为_ 三、求下列微分方程的通解.（每小题5分，共30分） 2.0-3x2)k-(4y-x)=0: 3.y-6y+3y+10y=04.y=y+0 5.y"+y=e*+cosx: 6会-y= 四、设可导函数p(x)满足px)cosx+2(t)sin1d=x+1,求p(x).(6分) 五、求方程y+2y+y=c0sx,满足初始条件y儿=0，yL。=号的特解.(6分) 六、(99研)设函数xx≥0)二阶可导，且y'(x)>0,0)=1,过曲线y=(x) 上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴围成的三角形的面 积记为S,区间[0，x]上以y=以x)为曲边的曲边梯形面积记为S,并设2S-S,=1,求 此曲线y=x)的方程.(8分) 七、某湖泊的水量为”，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为名，注入湖泊内 不含污染物A的水量为(，流出湖泊的水量为5，已知19年底湖中污染物A的含量 为5m,超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年起，限定排入湖中污水的浓度不
3 4．设 y y x = ( ) 是方程 sin 0 x y y e − − = 的解, 且 0 y x ( ) 0, = 则 y x( ) 在（ ）． A． 0 x 某邻域单调递增． B． 0 x 某邻域单调递减． C． 0 x 处取得极小值． D． 0 x 处取得极大值． 二、填空题 （每小题 3 分，共 12 分） 1．通解为 1 2 x x y C e C e x − = + − （ 1 2 C C, 为任意常数）的微分方程是 ． 2．微分方程 2 (1 ) 2 + = x y xy 满足初始条件 0 | 1 x y = = ， 0 | 3 x y = = 的特解是 ． 3．（05 研）方程 xy y x x + = 2 ln 满足 1 (1) 9 y = − 的解为 ． 4．微分方程 2 2 x y y y e − + = 的通解为 ． 三、求下列微分方程的通解．（每小题 5 分，共 30 分） 1． 1 1 dy dx x y = + − ； 2． ( ) 2 ( 3 ) 4 0 y x dx y x dy − − − = ； 3． y y y y − + + = 6 3 10 0 4． 1 x y y xe x = + 5． cos x y y e x + = + ； 6． dy 5 y xy dx − = ． 四、设可导函数 ( ) x 满足 0 ( )cos 2 ( )sin 1 x x x t tdt x + = + ， 求 ( ) x ．（6 分） 五、求方程 y y y x + + = 2 cos , 满足初始条件 0 | 0 x y = = ， 0 3 | 2 x y = = 的特解.（6 分） 六、（99 研） 设函数 y x x ( )( 0) 二阶可导，且 y x ( ) 0 ， y(0) 1 = ，过曲线 y y x = ( ) 上任意一点 P x y ( , ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴围成的三角形的面 积记为 1 S ，区间 0, x 上以 y y x = ( ) 为曲边的曲边梯形面积记为 2 S ，并设 1 2 2 1 S S − = ，求 此曲线 y y x = ( ) 的方程．（8 分） 七、某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 6 V ，注入湖泊内 不含污染物 A 的水量为 6 V ，流出湖泊的水量为 3 V ，已知 1999 年底湖中污染物 A 的含量 为 0 5m ，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000 年起，限定排入湖中污水的浓度不
超过必，问至少需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m,以内？（设湖泊中污染 物A的含量是均匀的).(8分) 八、证明：若f(x)满足方程∫(x)=f1-x),则必满足方程∫”(x)+fx)=0,并求 方程(x)=f1-x)的解.(8分) 九、(06研)设函数f(u)在(0，+o)内具有二阶导数，且：=fW2+y2满足等式 82:a2: a+0. 0验证fr四+@-0： u (2)若f()=0,"(①)=1，求函数f(u)的表达式.(10分)
4 超过 m0 V ，问至少需经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内？（设湖泊中污染 物 A 的含量是均匀的）．（8 分） 八、证明：若 f x( ) 满足方程 f x f x ( ) (1 ) = − , 则必满足方程 f x f x ( ) ( ) 0 + = ，并求 方程 f x f x ( ) (1 ) = − 的解．（8 分） 九、（06 研）设函数 f u( ) 在 (0,+) 内具有二阶导数，且 ( ) 2 2 z f x y = + 满足等式 2 2 2 2 0 z z x y + = ． （1）验证 ( ) ( ) 0 f u f u u + = ； （2）若 f (1 0 ) = ， f (1 1 ) = ，求函数 f u( ) 的表达式．（10 分）