第七章多元函数微分学 A级自测题 一、填空题(2×6=12分) 1.函数：=ln(y)的定义域是 2.设：=x+y+f(x-y),且当y=0时，=x2.则fx)=一，x,)=一·一 3.m 4.设函数：=y,则，=一= 5.f(x,y)在点(x,y)可微分是f(x,y)在该点连续的 条件.∫(x,y)在点(x,y)连续是 f(x,y)在该点可微分的条件. 6.函数fx,)=x2+y+y2+x-y+1的极值 二、单选题(2×5=10分) 1.若f(x,)在点(xoo)处连续，则Iimf(x,)() (A)存在：(B)不存在：(C)不确定：D)以上均不正确. 2.函数：=arctan二的全微分（) y *@湾，o浩@ x2+y2 (A)e2:B)0;(Ce:(D)1. 4设=停，则dL等于(。 W停：国本得：《©点-：D,a-海 5.=sinsin yin:在条件x++:-号(>0，>0：>0下的最大值（， )g®)石 (C)1;(D)0. 三、计算题(58分)
1 第七章 多元函数微分学 A 级自测题 一、填空题（2 6=12 分） 1．函数 z xy = ln( ) 的定义域是 ． 2．设 z x y f x y = + + − ( ) ，且当 y = 0 时， 2 z x = ．则 f x( ) = ， z x y ( , ) = ． 3． ( , ) (0,5) lim x y sin x → xy = ． 4．设函数 x z y = ，则 _, _. x y z z = = 5． f (x, y) 在点 (x, y) 可微分是 f (x, y) 在该点连续的 条件． f (x, y) 在点 (x, y) 连续是 f (x, y) 在该点可微分的 条件． 6．函数 ( , ) 1 2 2 f x y = x + xy + y + x − y + 的极值 ． 二、单选题（2 5=10 分） 1．若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处连续，则 0 0 lim ( , ) x x y y f x y → → （ ） (A) 存在； (B) 不存在； (C) 不确定； (D) 以上均不正确． 2．函数 y x z = arctan 的全微分（ ） (A) 2 2 x y xdx ydy + − ； (B) 2 2 x y ydx xdy + − ； (C) 2 2 2 (x y ) ydx xdy + − ； (D) 2 2 2 2 x y y dx x dy + − ． 3． 2 1 1 lim(1 ) x x y x y x + → → + 为（ ）． (A) 2 e ； (B) 0 ； (C) e； (D) 1． 4．设 1 ( , , ) ( )z x f x y z y = ，则 d f (1, 1, 1) 等于（ ）． (A) 1 1 ( )z x dx dy y y − ；(B) dy y x dx y x z 2 1 − ； (C) dx − dy ；(D) ydx − xdy. 5． u x y z = sin sin sin 在条件 ( 0, 0, 0) 2 x + y + z = x y z 下的最大值（ ）． (A) 8 1 ； (B) 6 1 ； (C) 1 ； (D) 0． 三、计算题（58 分）
1.求函数：=-不的定义域，并求极限1m:.(6分) 2.求下列极限(9分) 上》职 器. sn xy 3.求下列函数的一阶和二阶偏导数：(8分) y 4求：”：当x=2y-1A如=014=-02时的全增量和全微分.《6分) 5求会器6分 6.设u=,而x=0y=v0都是可微函数，求安(5分》 g橙：=心-.会容6分》 9.设：=f(x,)是由方程：-y-x+xe-=0所确定的函数，求.(6分) 四、应用题(20分) 1果内接于箱球++=1的大长方的体机，长方的各个面平行干坐标面。 2.设某工厂生产A和B两种产品，产量分别为x和y(单位：千件)，利润函数为 L(x,)=6x-x2+16y-4y2-2,已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000 金展者线吸料如公斤。问而种产品各生产多少千件针8眼大：是大润方 自我测试题B 一、填空题(2×8=16分) 1.己知fx,e2)=x-y,则fx,)=·
2 1．求函数 z = x − y 的定义域，并求极限 1 2 0 lim x y z → → ．（6 分） 2． 求下列极限（9 分） （1） 2 2 2 2 2 2 0 0 1 cos( ) lim ( ) x y x y → x y x y → − + + ，（2） 3 3 ( , ) (0,1) 1 2 lim x y xy x y + − → ，（3） 1 1 sin lim 0 0 → + − → xy xy y x ． 3．求下列函数的一阶和二阶偏导数：（8 分） （1） y xe z y = ， 求 y z x z , ．（2） z y x y = + cos sin ，求 x y z y z x z 2 2 2 2 2 , , ． 4．求 2 2 xy z x y = − ，当 x y x y = = = = − 2, 1, 0.1, 0.2 时的全增量和全微分．（6 分） 5． z xy = sin( ) ，求 2 , z z x x y ．（6 分） 6． 设 y u x 2 = ，而 x = (t), y = (t) 都是可微函数，求 dt du ．（5 分） 7． 设 uv z = e ， x y u ln x y , v arctan 2 2 = + = ，求 y z x z , ．（6 分） 8． 设 3 3 ( , ) xy z f x y e = − ，求 y z x z , ．（6 分） 9． 设 z = f (x, y) 是由方程 0 z y x z y x xe − − − − + = 所确定的函数，求 dz ．（6 分） 四、应用题（20 分） 1．求内接于椭球 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面． 2．设某 工厂生 产 A 和 B 两种产品 ，产量 分别为 x 和 y (单位： 千件 )， 利润函 数为 ( , ) 6 16 4 2 2 2 L x y = x − x + y − y − ，已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料 2000 公斤，现有该原料 12000 公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多 少？ 自我测试题 B 一、填空题（2 8=16 分） 1．已知 f x e x y y ( , ) = − 2 ，则 f x y ( , ) _ = ．
2细2-回+4 y 3设：由：”=0所确定，则- 4设u=又y=x1=,则密 5.设u=0-,而y=amx:=0sx则血 a2+1 d 6设功=+(-am得则0小- 1降研设：动++小和具者三路法续号数测高-一 8.函数：=y+50+20(x>0,y>0)的极小值为 二、选择题(2×6=12分) e（之 (A)1(B)-1(C)0 (D)a 20侧所度u=6动宁则需在点心宁处的值人 wg@c)！D月 e 3.若ye=-以则会学的值为(》 (A)-1(B)2 (C)1 D)-2 4.(05研)设有三元方程y-ny+e=1,根据隐函数存在定理，存在点(0,1，)的一个邻域， 在此邻域内该方程(. (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数：=(x,). (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=(x,)和：=(x,y). (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=xy,)和z=(xy). (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,)和y=(x,) 5.(02研)考虑二元函数f(x,)的下面4条性质： 3
3 2． 0 0 2 4 lim _ x y xy → xy → − + = ． 3．设 z x y ( , ) 由 2 2 0 xy z x y − = − 所确定，则 dz = _ ． 4．设 u = f (x, y,z) ，又 y = (x,t), t = (x,z) ，则 _ u x = ． 5．设 1 ( ) 2 + − = a e y z u ax ，而 y = asin x, z = cos x, 则 _ du dx = ． 6．设 y x f (x, y) = x + ( y −1) arcsin ，则 (0,1) _ x f = ． 7．(98 研)设 ( ) ( ) 1 f xy y x y x z = + + ， f , 具有二阶连续导数，则 2 z x y = ． 8．函数 ( 0, 0) 50 20 = + + x y x y z xy 的极小值为 ． 二、选择题（2 6=12 分） 1． 0 sin( ) lim x y a xy → xy → = （ ）． (A) 1 (B) −1 (C) 0 (D) a 2．(94 研) 设 y x u e x sin − = ， 则 x y u 2 在点 1 (2, ) 处的值为( )． (A) e （B） 2 ( ) e (C） e 1 (D) 1 3．若 y − nz = f (x − mz), 则 y z n x z m + 的值为（ ）． (A) －1 （B）2 (C) 1 (D) －2 4．(05 研) 设有三元方程 ln 1 xz xy z y e − + = ，根据隐函数存在定理，存在点 (0,1,1) 的一个邻域， 在此邻域内该方程（ ）． （A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z(x, y) ． （B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y(x,z) 和 z = z(x, y) ． （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x( y,z) 和 z = z(x, y) ． （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x( y,z) 和 y = y(x,z) ． 5．(02 研) 考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：
(1)fx,y)在(x,)处连续，(2)f(x,y)在(x,)处的两个偏导数连续， (3)fx,)在(，)处可微，（④，）在(x,)处的两个偏导数存在. 若用"p一g"表示可由性质p推出性质q,则有正确的是(). (A)2)→3)→1)(B)3)→2)=1)，(C)3)→4)→)，(D)3)→1)→4) 6.设：=fxy)在点(x,)处取得极小值，则(x)=fx,)在x处(). (A)取得最小值(B)取得极大值(C)取得最大值(D)取得极小值 三、计算题(56分) 1.求下列复合函数的偏导数(9分) 》设：=+，器房 a)==e,而：=a,求器影 g》设2+-网其中p可微。求器 2设/-eac-很，球Ann.9分 3.设：=fx4W=x0smr+ec0sm,而u=yv=x+y,求张.(6分) 4整学警6 5.00研)已知：=心，u=h2+,v=acan上，求t.(8分) 6.试求函数：=x(4-x-y)在x=1y=0,x+y=6所围的闭区域上的最大值点与最小值点， 以及其相应的最大值与最小值.(8分) 7.(05研)设：=x,)是由x2-6xy+10y2-22-2+18=0确定的函数，求：=(x,)的极 值点和极值.(10分) 四、应用题 某电视机厂生产的电视机同时在两个市场销售，售价分别为P和P:销售量分别为q,利 92:需求函数分别为9-12-0.1p,92-2-0.01p2:总成本函数为C=35+40(q+92).试问厂 家如何确定两个市场的售价，才能使获得的利润最大？最大总利润是多少？(10分)
4 （1) f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续，（2) f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处的两个偏导数连续， （3) f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可微，（4) f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处的两个偏导数存在． 若用 " " p q 表示可由性质 p 推出性质 q ，则有正确的是（ ）． (A) 2) 3) 1) (B) 3) 2) 1) ， ( ) 3) 4) 1) C ， ( ) 3) 1) 4) D ． 6．设 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处取得极小值，则 ( ) ( , ) 0 x = f x y 在 0 x 处（ ）． (A) 取得最小值 (B)取得极大值 (C) 取得最大值 (D)取得极小值 三、计算题（56 分） 1．求下列复合函数的偏导数（9 分） （1） 设 xy x y z x y e 2 2 ( ) 2 2 + = + ，求 y z x z , ． （2） 2 2 2 ( , , ) x y z u f x y z e + + = = ，而 2 z x y = cos ，求 y u x u , ． （3） 设 2 2 ( ) z x z y y + = ，其中 可微，求 y z ． 2．设 ( , ) sin ( 1)arctan xy x f x y e y x y = + − ，试求 (1,1), x f (1,1), y f df (1,1) ．（9 分） 3．设 z f x u v xe v e v u u = ( , , ) = sin + cos ，而 u = xy, v = x + y ，求 x z ．（6 分） 4．若 y x u = z arctan ，求 222 2 2 2 uuu x y z + + ．（6 分） 5．(00 研) 已知 x y z u u x y v v , ln , arctan 2 2 = = + = ，求 dz ．（8 分） 6．试求函数 z = xy(4 − x − y) 在 x = 1, y = 0, x + y = 6 所围的闭区域上的最大值点与最小值点， 以及其相应的最大值与最小值．（8 分） 7．(05 研) 设 z = z(x, y) 是由 6 10 2 18 0 2 2 2 x − xy + y − yz − z + = 确定的函数，求 z = z(x, y) 的极 值点和极值．（10 分） 四、应用题 某电视机厂生产的电视机同时在两个市场销售，售价分别为 1 p 和 2 p ；销售量分别为 1 q 和 2 q ；需求函数分别为 1 1 2 2 q p q p = − = − 12 0.1 , 2 0.01 ；总成本函数为 1 2 C q q = + + 35 40( ) ．试问厂 家如何确定两个市场的售价，才能使获得的利润最大？最大总利润是多少？（10 分）
1 五、证明题(6分)设(x,y)= 0mF+可+广0，求证 0，(x2+y2=0) )f0,0),f0,0)存在：2)x,y)与fxy)在(0,0)点不连续：3)fx)在(0,0)点可微
5 五、证明题（6 分）设 + = + = + 0 , ( 0) , ( 0) 1 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y ，求证 1) (0, 0), (0, 0) x y f f 存在； 2) ( , ) x f x y 与 ( , ) y f x y 在 (0, 0) 点不连续； 3) f (x, y) 在 (0, 0) 点可微．