第五节 函数的微分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的计算 四、微分在近似计算中的应用
二、微分的几何意义 三、微分的计算 四、微分在近似计算中的应用 第五节 一、微分的概念 函数的微分
一、微分的概念 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由xo变到xo+△x,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量△x时，面积的增量为 △4=(0+△)2-02 △x xo△x △x2 =2xo△x+(△x) 关于△x的 △x→0时为 A=x好 线性主部 高阶无穷小 故 △A≈2xo△x 称为函数在x,的微分
x x 0 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其
定义：若函数y=f(x)在点xo的增量可表示为 △y=f(x+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点xo可微，而A△x称为f(x)在 点xo的微分，记作dy或df,即 dy=A△x 定理：函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(xo),即 dy=f'(xo)△x
的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微
定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=∫'(xo),即 dy=f'(xo)△x 证：“必要性” 已知y=f(x)在点xo可微，则 △y=f(x0+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) lim Ay=lim (()=4 △x→0△X△x→0 △x 故y=f(x)在点x,可导，且∫'(xo)=A
定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 = Ax + o(x) 在点 可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0
定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(0),即 dy=f'(xo)△x “充分性”已知y=f(x)在点xo可导，则 lim Ay-f(xo) △x>0△x △y=f'(x0)+ y(lim a=0)） △x x0 故△y=f'(o)△x+aAx=f'(xo)Ax+o(△x) f'()≠0时 即dy=f'(x)△x 此项为y的 线性主部
定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 = → x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f x x + o x 即 dy = f (x )x 0 在点 可导, 则
说明：△y=f'(xo)△x+o(Ax) dy=f'(xo)△x 当f"(xo)≠0时， lim △y=lim △y △x→0dy A-0f'(xo)△x 1 lim Ay =1 f'(x)△r→0Ax 所以△x→0时△y与dy是等价无穷小，故当△x 很小时，有近似公式 △y≈dy
说明: f (x0 ) 0 时 , dy = f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y = f x x + o x y y x d lim 0 → f x x y x = → ( ) lim 0 0 x y f x x = →0 0 lim ( ) 1 =1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y dy 与 是等价无穷小, 当 故当
例如 y=x3, dy x=2 =3x2.dx x=2 =0.24 dx=0.02 dx=0.02 又如，y=arctanx, 1 +r2d dy=
例如, , 3 y = x dy d 0.02 2 = = x x 2 = 3x dx d 0.02 2 = = x x = 0.24 y = arctan x , dy x x d 1 1 2 + = 又如
二、微分的几何意义 dy=f'(xo)△x=tana~△x dy y=f(x) 当△x很小时，△y≈dy 当y=x时， Ay=Ax dx X 称△x为自变量的微分，记作dx x0+△x 则有 dy=f(x)dx 从而 dy-f"(x) 导数也叫作微商 d
二、微分的几何意义 dy = f (x )x 0 x + x 0 x y O y = f (x) 0 x y = tan x dy 当 x 很小时, y dy 当y = x 时， 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y = 导数也叫作微商 称x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记
三、微分计算 基本初等函数的微分公式： d(c)=0 d(x）=ux-dx d(sinx)=cos xdx d(cosx)=-sinxdx d(tanx)=sec2 xdx d(cotx)=-csc2xdx d(secx)=secxtanxdx d(cscx)=-cscxcot xdx darcsin d(arccosx)=- dx √1-x2 d(arctanx)= 1 d(a")=a"Inadx d(e*)=e"dx d(log。x)=dr d(I)=Idx xIna
三、微分计算 基本初等函数的微分公式： d 0 (c) = ( ) 1 d d x x x − = d sin cos d ( x x x ) = d cos sin d ( x x x ) = − ( ) 2 d tan sec d x x x = ( ) 2 d cot csc d x x x = − ( ) 2 1 d arcsin d 1 x x x = − ( ) 2 1 d arccos d 1 x x x = − − d sec sec tan d ( x x x x ) = d csc csc cot d ( x x x x ) = − d ln d ( ) x x a a a x = d d ( ) x x e e x = ( ) 1 d log d ln a x x x a = ( ) 1 d ln d x x x = ( ) 2 1 d arctan d 1 x x x = + ( ) 2 1 d arccot d 1 x x x = − +
函数和、差、积商的微分法则 设ux),vx)均可微，则 1.d(u±v)=du±dy 2.d(Cu)=Cdu (C为常数) 3.d(uv)vdu+udy 4.d)=vdu-udy (v≠0) 复合函数的微分 y=f(u),u=p(x)分别可微， 则复合函数y=f[p(x)]的微分为 dy y dx f'(u)o'(x)dxdu dy f(u)du 微分形式不变
函数和、差、积商的微分法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 微分形式不变 复合函数的微分 则复合函数 = du dv = vdu + udv