第五章定积分及其应用 §5.1定积分的概念与性质 矩形面积=ah 梯形面积=a+b) 2 1.曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0) 及x轴，以及两直线x=a,x=b A=? 所围成，求其面积A
§5.1 定积分的概念与性质 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . A = ? y f x = ( ) 矩形面积 梯形面积 第五章 定积分及其应用
解决步骤： 1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n-1个分点 a=0<1<X2<.<Xn-1<xn=b 用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形； 2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取5∈[xi-1,x;] 作以[x;-1,x]为底，f(5) 为高的小矩形，并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△A:,得 X Xi-1 Xi bx △4；≈f(5i)△x;(△x;=x-x-1),i=1,2,.,n)
1 x i x i−1 a x y o 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b [ , ] i i 1 i x x − 用直线 i x = x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 [ , ] i 1 i x x − 为底 , ( )i f 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 ( ) ( ) i i i i = i − i−1 A f x x x x i
3)近似和， n A=∑A4≈∑f5,)Ax i=l i=l 4)取极限.令2=max{△x;},则曲边梯形面积 l≤i≤n n A=lim∑A4, 元→01 n =1lim∑f(5:)△x; 元0=1 a x1 xi-xi bx Si
3) 近似和. = = n i A Ai 1 = n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 → = = n i A Ai 1 0 lim → = = n i i i f x 1 0 lim ( ) a y o 1 x i x i−1 x i
二、定积分的定义 (P130) 定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意 插入n-1个分点 a=xo<x<X2<.<X-1<x=b 把区间[a,b]分成n个小区间 [x0,x1],[x1,x2]2.,[xm-1,Xn], oax1 各个小区间的长度依次为 Ax1=X1-X0,△x2=X2-X1,△yn=Xn-Xn-l 在每个小区间x-1,x,]上任取一点，(x-1≤5≤x)
二、定积分的定义 ( P130） f (x)在[a,b] [ , ] a b n−1 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b [ , ] a b n [ , ],[ , ], ,[ , ], 0 1 1 2 n 1 n x x x x x x − 定义 设函数 上有界，在 把区间 分成 个小区间 中任意 插入 个分点 1 1 0 2 2 1 1 , , , = − = − n = n − n− x x x x x x x x x i i x , x −1 1 ( ), i i i i x x − 各个小区间的长度依次为 在每个小区间[ ]上任取一点 o a b x i 1 x i x i−1 x
作函数值f(5)与小区间长度△x,的乘积f(5)△x, 并作出和S=∑f(⑤，)Ax记=max{△x,△x2,.,△r,} 如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x-1,x] 上点5：怎样取法，只要当2→0时，和S总趋于确定的 极限I,这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间 [a,b]上的定积分（简称积分），记作∫。f(x)dx 即∫fwdx=I=m∑f5,)
1 ( ) n i i i S f x = = max{ , , , } 1 2 n = x x x [ , ] a b i i x , x −1 i →0 S I I f (x) [ , ] a b ( )d b a f x x ( )d b a f x x I 0 1 lim ( ) n i i i f x → = 并作出和 记 如果不论对 也不论在小区间[ 上点 怎样取法,只要当 时,和 总趋于确定的 ,这时我们称这个极限 为函数 在区间 上的定积分(简称积分), 记作 即 = = 怎样分法, ] 极限 ( )i f i 作函数值 与小区间长度 x 的乘积 ( ) , i i f x
积分上限 [a,b]称为积分区间 「f(x)di ∑f(5i)Ax: →0 i=1 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分 变量用什么字母表示无关，即 ∫f(ax)dr=-∫f)dt=∫f）du
= b a f (x)dx i n i i f x = → 1 0 lim ( ) 积分上限 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 和 [a, b]称为积分区间 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 b a f (x)dx = b a f (t)d t = b a f (u)d u
可积的两个充分条件： 定理1设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上 可积. 定理2设f(x)在[α，b]上有界，且只有有限个间断 点，则f(x)在a,b处可积
可积的两个充分条件: 定理1 设 f x a b ( ) [ , ] 在 上连续，则 f (x) 在 [ , ] a b 可积. 上 f (x)在[a,b] f (x)在[a,b] 定理2 设 上可积. 上有界，且只有有限个间断 点，则
例1.利用定义计算定积分 0x2dx.y 解：将[0,1川n等分，分点为：= y=x 取5品=，△=(i=1,2,.,m) 2 i 1x f(后)Ax=号A-T 则 n 三r=24a+以2+0-a n=1 →0 i=1 n 2*月
o 1 x y n i 例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取 2 y = x i i i i f x = x 2 则 ( ) 3 2 n i = i i n i f x = ( ) 1 = = n i i n 1 2 3 1 ( 1)(2 1) 6 1 1 3 = n n + n + n ) 1 )(2 1 (1 6 1 n n = + + i n i i x x = x = → 1 2 0 1 0 2 d lim → = n lim 3 1 =
三、定积分的几何意义： f(x)>0.f(x)dr-A 曲边梯形面积 f()<0,∫f()dx=-A曲边梯形面积的负值 2 b ∫f)dx=4-4+4,-A4+4 各部分面积的代数和
三、定积分的几何意义: 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 a b y x A1 A2 A3 A4 A5 1 2 3 4 5 f (x)d x A A A A A b a = − + − + 各部分面积的代数和
四、定积分的性质 (设所列定积分都存在) 1.f)d=-()df(x)dx=0 2.[dx=b-a 3.∫2kfe)de=k小2f(x)d :(k为常数) 4.∫fx)±g(x)]dx=-∫gfx)dr±∫g(x)d 证：左端=lim∑[f(5)±g(5]Axi 201 n =lim∑f(5;)△x,±lim∑g(5)△x,=右端 2→01 2→01
四、定积分的性质 (设所列定积分都存在) ( )d = 0 a a f x x b a 2. dx ( k 为常数) = b a b a b a 4. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 证: i i i n i = f g x → = lim [ ( ) ( )] 1 0 左端 i i n i i i n i = f x g x → = → = lim ( ) lim ( ) 1 0 1 0 = 右端 = b − a