第二章 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 导数与微分 极值问题中提出 微积分学的创始人： 英国数学家Newton 德国数学家Leibniz 导数 描述函数变化快慢 微分学 微分一 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具（从微观上研究函数）
第二章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton
第二章 导数与微分 §2.1导数的概念 一、变化率问题举例 引例1（瞬时速度问题）设一质点作直线运动，其 运动规律为s=s(t),试求质点在t时刻的瞬时速度。 y=f(r) 引例2（切线问题） B 试求曲线y=f(x)在点 A(x,)处的切线斜率。 x0十△
第二章 导数与微分 §2.1 导数的概念 一、变化率问题举例 引例1（瞬时速度问题） 设一质点作直线运动，其 运动规律为 s s t = ( ) ，试求质点在 t 0 时刻的瞬时速度 。 引例2（切线问题） 试求曲线 在点 处的切线斜率。 y f x = ( ) 0 0 A x y ( , )
瞬时速度 v(6,)=lmA=lim (+△)-s() △t-→0△t △t→0 △t 切线斜率 k=lim f(x+△x)-f(x) △x→0 △x 两个问题的共性 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限
( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 0 lim lim t t s s t t s t V t t t → → + − = = k ( 0 0 ) ( ) 0 lim x f x x f x → x + − = 两个问题的共性: 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限
二、导数的定义 1.函数在一点处的导数 定义设函数y=∫(x)在点x,的某邻域内有定义， 当自变量x在点，处有增量△x(。+△x点仍在该邻域 内)，相应地函数的增量为△y=f(x+△x)-fx)，如 果当Ax→0时，极限my-m+A)-() 存在， x→0△x△r-→0 △X 则称此极限为函数f(x)在点x,处的导数，记为f'(x,) 也可以记作'或倒 即 f(xo)=lim Ay=1imf+A)-f） (1) △x-→0△x △x→0 △x
二、导数的定义 1．函数在一点处的导数 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义， 当自变量 在点 处有增量 （ 点仍在该邻域 内），相应地函数的增量为 ，如 果当 时，极限 存在, 则称此极限为函数 在点 处的导数，记为 也可以记作 ， 或 . 即 （1） y f x = ( ) 0 x x 0 x x 0 x x + = + − y f x x f x ( 0 0 ) ( ) →x 0 ( 0 0 ) ( ) 0 0 lim lim x x y f x x f x → → x x + − = f x( ) 0 x 0 f x ( ) 0 x x y = 0 d d x x y x = ( ) 0 d d x x f x x = ( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 0 lim lim x x y f x x f x f x → → x x + − = =
在式(1)中，如果令x=x,+△x,则 △x=x-xAy=f(x)-f(x) 当△x→0时，x→x,从而式（1)变为 (x)=lim I(x)-f() (2) →x x-Xo 这也是今后常用的一种形式。 如果函数f(x)在点，处导数存在，则称f(x在点x 处可导，否则称∫(x)在点x处不可导
如果函数 在点 处导数存在，则称 在点 处可导，否则称 在点 处不可导. f x( ) 0 x f x( ) 0 x f x( ) 0 x 0 x x x = + 0 = − x x x = − y f x f x ( ) ( 0 ) 0 → → x x x 0时, 在式（1）中，如果令 ，则 当 ，从而式（1）变为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x f x f x f x → x x − = − （2） 这也是今后常用的一种形式
imA少=o,也称f(y)在o的导数为无穷大. 若 x-0△X 若函数在开区间1内每点都可导，就称函数在I内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数， 记作：y；f'(x)； dy df(x) dx dx f(x)=lim fx+△)-f(x) Ax->0 △x 注意：x)-f-≠ f(xo) dx
若 0 lim , Δ Δ x Δ y → x = 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f (x) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( )0 f x 0 ( ) x x f x = = x f x d d ( ) 0 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x → x + − =
例1设函数f(x)=x2,求f'(x),f'(-1),∫'(2). 若y=f(x)在点处可导，则y=f(x)在点 (,f(x)处的切线方程为 y-f(xo)=f"(xo)(x-xo) 若f'(x)≠0，则过(x,f()的法线方程为 yf)7-) 例2求曲线y=√过(1,1)点的切线方程和 法线方程
y f x = ( ) 0 x y f x = ( ) ( x f x 0 0 , ( )) y f x f x x x − = − ( 0 0 0 ) ( )( ) 若 在点 处可导，则 在点 处的切线方程为 f x ( 0 ) 0 ( x f x 0 0 , ( )) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 1 y f x x x f x − = − − 若 ，则过 的法线方程为 例2 求曲线 y x = 法线方程。 过 (1,1) 点的切线方程和 ( ) 2 例1 设函数 f x x = ，求 f x f f ( ), 1 , 2 (− ) ( )
2.单侧导数 定义设函数y=f(x) 在点x的某个右（左） 邻域内有定义，若极限 lim △y=1im f(xo+△)-f(xo) △x→0+△x △x→0+ △x (△x→0) (△x→0) 存在，则称此极限值为f(x)在x处的右（左）导数， 记作 (xo)(f (o)) 即 (xo)=lim o+A)-f(xo) △x→0± △x
在点 的某个右 2. 单侧导数 若极限 则称此极限值为 在 处的右 导数, 记作 ( ) 0 f x + 即 f+ (x0 ) = (左) (左) ( 0 ) → − x ( 0 ) → − x ( ( )) 0 f x − − − 0 x 定义 设函数 邻域内有定义, 存在
例如，f(x)=x在x=0处有 y=x f4(0)=+1,f'(0)=-1 所以，函数f(x)=x在x=0处不可导。 函数y=f(x)在点x,可导的充分必要条件是 f4(x)与f'(xo)存在，且f4(xo)=f'(xo). 如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f'(a与 f'(b)都存在，则称f(x)在闭区间[a,b1上可导
例如, f (x) = x 在x=0处有 x y O y = x 所以，函数 f (x) = x 在x=0处不可导。 f x( ) (a b, ) f a + ( ) f b − ( ) f x( ) a b, 如果 在开区间 内可导，且 与 都存在，则称 在闭区间 上可导. 且 函数 在点 可导的充分必要条件是
3.可导与连续的关系 定理若函数f(x)在点x可导，则f(x)在点x连续。 特别提示： 若函数f在点x连续，则f在点x,不一定可导。 若函数∫在点x不连续，则f在点x一定不可导。 例3讨论函数 f(x)= xsin 1 x≠0 在x=0处的连续 0 x=0 性和可导性
定理 若函数 f x( ) 在点 x0 可导，则 f x( ) 在点 x0 连续。 若函数 f 在点 x0 不连续，则 f 在点 x0 一定不可导。 特别提示： 若函数 f 在点 x0 连续，则 f 在点 x0 不一定可导。 3．可导与连续的关系 例3 讨论函数 在 处的连续 性和可导性。 1 sin 0 ( ) 0 0 x x f x x x = x = 0 =