上次课内容复习 1、 导数的基本公式 2、 函数的和、差、积、商的求导法 则 3、 反函数的求导法则 4、复合函数求导法则 练习1.设y=xa+a+aa(a>0),求y 解：y=axaa-1+g9 na.axa- +aa ma-a*ma
上次课内容复习 1、 导数的基本公式 2、 函数的和、差、积、商的求导法 则 3、 反函数的求导法则 4、复合函数求导法则 练习1. 设 y = x + a + a (a 0), a a x a x a 解: −1 = a a a y a x a a a x + ln −1 a ax a a x a + ln 求 y . a a x ln
V1+x2+1 1+x2-1 求y 1 解：y=21++2 2V1+x2 42 V1+x2-11+x (2x+x3)V1+x2
练习2. 设 ,求 1 1 1 1 ln 41 arctan 1 21 22 2 + − + + = + + xx y x y . 解 : y = 2 2 1 ( 1 ) 1 21 + + x 2 1 x x+ ln( 1 1 ) ln( 1 1 ) 2 2 + x + − + x − ( 1 1 1 41 2 + + + x 2 1 x x+ 1 1 1 2 + − − x ) 2 1 x x+ ( 2 1 21 x x+ = 2 2 1+ x ) 21x − 3 2 ( 2 ) 1 1 x + x + x − =
§2.3隐函数以及由参数方程确定的导数 一、隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称 此函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数，称为显函数 例如，x-y3-1=0可确定显函数y=3/x-1 y3+2y-x-3x7=0 可确定y是x的函数， 但此隐函数不能显化· 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导（注意y=y(x)) d F(x,y)=0(含导数y的方程) dx
§2.3 隐函数以及由参数方程确定的导数 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 ,则称 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 此函数为隐函数 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 y 的方程)
例1.求由方程y°+2y-x-3x7=0确定的隐函数 y=y(x)在x=0处的导数 dx x=0 dy1+21x61 因x=0时 dv dx5y4+2y=0,故 dx x=0 2 例2求由方程 arctan=Iny 所确定的 X 隐函数y=y(的导数. J= x+y x-V
例1.求由方程 确定的隐函数 在 x = 0 处的导数 2 2 arctan ln y x y x = + y y x = ( ) 例2 求由方程 的导数. 所确定的 隐函数 5 2 1 21 d d 4 6 + + = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 x y y x y + = −
二、对数求导法 1.幂指函数y=(x)"的导数 例3.求y=xin(x>0)的导数. 2.在y=f(x)中含有多个因式的乘积、商、 幂（根式）的导数 x2 3-x 例4y= x6+，求
二、对数求导法 例3. 求 的导数 . 1．幂指函数 ( ) v x( ) y u x = 的导数 2．在 y f x = ( ) 中含有多个因式的乘积、商、 幂（根式）的导数 ( ) 2 3 2 3 1 3 x x y x x − = − + 例4 ，求 y
如-(88〔a°(a>0.>0g1 两边取对数 a Iny=xIn+a[lnb-Inx]+b[Inx-Ina] b 两边对x求导 卫=mbxx 2_a,b 一十 y-88ag-+)
例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 = y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a]
三、参数方程的求导法则 若参数方程 x=p(t) 可确定一个y与x之间的函数 y=v(t) 关系，p(),(t)可导，且[p'(t)]2+[yW(t)]2≠0，则 0'(t)≠0 dy dy dtdy 1 w'(t) 时，有 dx dt dx dt dx p'(t) dt w(t)≠0 dx dx dt dx 1 =p'() 时，有 dy dt dy di dy w'(t) dt (此时看成x是y的函数)
三、参数方程的求导法则 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t) 0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d t t x y d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (t) 0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d t t y x d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系
例6设曲线的参数方程为 x=sint y=cos 2t 求该曲线在t=处的切线方程。 例7求参数方程 x=vi-5 的导数 y y.(t-1)=Iny d少_dy /=-y /1-2y2G dx dt/ dt yt-y-1/2vt yt-y-1
sin cos 2 x t y t = = 4 t = 例6 设曲线的参数方程为 求该曲线在 处的切线方程. ( ) 5 1 ln x t y t y = − − = d d y x 例7 求参数方程 的导数 . 2 2 d 2 d d 1 d 1 d d 1 2 y y t y x y x yt y t t yt y t − − = = = − − − −
例8.设由方程 x=12+21 t2-y+8siny=1 (0<ε<1) 确定函数y=y(x),求 dy dx 解：方程组两边对t求导，得 c dx d t =2t+2 dX 2(t+1) dt 2 =0 dy 2t dy+cosy dt dt 1-c0Sy dt dy 故 dy =di dx dx dt (t+1)(1-scosy)
例8.设由方程 (0 1) sin 1 2 2 2 − + = = + t y y x t t 确定函数 y = y(x), 求 解:方程组两边对t 求导 , 得 故 = x y d d (t 1)(1 cos y) t + − = t y d d t x d d 2t − y t t y 1 cos 2 d d − = = 2t + 2 + cos y t y d d = 0 2( 1) d d = t + t x t y d d t x d d
五、基本导数公式与求导法则 1.基本导数公式 (P6716个公式) 2、函数和、差、积、商的求导法则 3、反函数的求导法则 作业： 4、复合函数的求导法则 EX2-3 5.设参数方程 x=p() 则 |y=v(t) 业=y-) dx x(t) p()≠0。 p'(t)
五、基本导数公式与求导法则 1．基本导数公式 （P67 16个公式） 2、函数和、差、积、商的求导法则 3、反函数的求导法则 4、复合函数的求导法则 ( ) ( ) x t y t = = ( ) ( ) d ( ) d ( ) y y t t x x t t = = (t) 0 5. 设参数方程 ， 则 。 作业： EX 2-3