上次课内容复习 1、导数的概念 2、单侧导数 3、可导与连续的关系 §2.2导数的运算法则及其求导基本公式 一、几个初等函数的导数 1.常数的导数 设f(x)=C(C为常数)，则C'=0
上次课内容复习 1、 导数的概念 2、 单侧导数 3、 可导与连续的关系 §2.2 导数的运算法则及其求导基本公式 一、几个初等函数的导数 1．常数的导数 设 f x C ( ) = （ C 为常数），则 C = 0
2.幂函数的导数 设f(x)=x”（n为正整数)，则f'(x)=nx。 3.正弦函数与余弦函数的导数 设f(x)=sinx,则f'(x)=cosx。 4.指数函数的导数 设f(x)=a,(a>0,a≠)，则f'(x)=alna。 5.对数函数的导数 设f(x)=logx则f()= xIng
2．幂函数的导数 ( ) n f x x = ( ) n 1 f x nx − 设 （n为正整数），则 = 。 3．正弦函数与余弦函数的导数 设 f x x ( ) = sin ，则 f x x ( ) = cos 。 4．指数函数的导数 ( ) , 0, 1 ( ) x f x a a a = ( ) ln x 设 ，则 f x a a = 。 5．对数函数的导数 ( ) log a f x x = ( ) 1 ln f x x a 设 ，则 =
二、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1设f(x),g(都在点可导，则它们的和、 差、积、商（除分母为零的点外)都在x点可导，且 [f(x)±g(x)订=f(x)±g(x) (1) [f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (2) [器-G g(x)≠0(3) [g(x)] 推论1[Cf(x)]=Cf'(x)(C为常数)
二、函数的和、差、积、商的求导法则 差、积、商（除分母为零的点外）都在 f x g x ( ), ( ) x x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) = f x g x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x f x g x f x g x g x g x − = g x( ) 0 定理1 设 都在 点可导，则它们的和、 点可导，且 （2） （1） （3） Cf x Cf x ( ) ( ) = 推论1 （C为常数）
推论2设f(x)在x可导，C∈R（i=1,2.n) 则(1)[Cf(x)+C,(x)++Cf(x]=∑Cf(); (2)[f(x)f6(x).fn(x)]=f'(x)f(x).fn(x)+ +f(x)f(x).fn(x)+.+f(x)f(x).fn(x) 例1设=5-2013六n号，求y 例2设y=(x3+3a)(cosx-1)，求y'. 例3设y=tanx,求y', 例4设y=secx,求y
推论2 设 f x i ( ) 在 x 可导， C R i （ i n =1,2 ） 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n n i i i C f x C f x C f x C f x = + + + = 则 （1） ； 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x = + + + + （2） 1 5 2log 3 +sin 3 x a y x x 例1 设 = − + ，求 y . ( )( ) 3 3 cos 1 x 例2 设 y x a x = + − ，求 y . 例3 设 ，求 y . y x = tan 例4 设 ，求 y . y x = sec
三、反函数的导数 定理2.设y=f(x)为x=f-(y)的反函数f(y)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)]'≠0 f'(x)= [f-(y 或 dy 1 d x d y 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 Ay=fx+A)-/0)≠0，Ay=J △x △y 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y0,因此 f(x)=lim AY lim1 1 △x-→0△x Ay→0 4x [f-(y)] △V
f (x) = 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 x 0, y = f (x + x) − f (x) 0, = x y y x x → 0时必有y → 0, x y f x x = →0 ( ) lim lim →0 = y y x d d = 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 三、反函数的导数 y x
例5.求反三角函数及指数函数的导数. 解：)设y=acin,则x=ny,J(-受爱。 .c0sy>0,则 (arcsinx)= (siny) cosy 1-sin2 y 1 1-x2 利用 1 元 (arccosx)'=- arccosx= arcsinx V1-x2 2 类似可求得 1 (arctanx)'= 1+r2, (arccotx)'=- 1+x2
例5. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 ) , 2 π , 2 π y (− (sin y) cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = 类似可求得 x arcsin x 2 π arccos = − 利用 cos y 0 , 则
四、复合函数求导法则 定理3设函数 u=p(x)在处可导，而函数y=f(u) 在x的对应点u处可导，则复合函数y=f(p(x)在x 处可导，且y(x)=f'(u)p'(x)。 证：y=fw)在点u可导，故imy=fw △u-0△u .△y=f'(u)△u+△w（当△u→0时→0) 故有 A=fA+aA(x≠0) △ △x △x Ay -f"(u)+a ()( △x→0△X△x→0l
= → lim x x 0 y x y x = →0 lim d d 四、复合函数求导法则 证: y = f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u = → y = f (u)u +u （当 时 ) 故有 = f u x ( ) ( ) u y ( ) ( 0) = f (u) + y u u f u x x x x = + u x = ( ) 处可导，而函数 x y f u = ( ) x u y f x = ( ( )) x y x f u x ( ) = ( ) ( ) 定理3 设函数 。 在 在 的对应点 处可导，则复合函数 在 处可导，且
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形 1) 例如，y=f(W),u=p(v),v=(x) dy dy du dv u dx du dy dx =f'(w）·p'(v)w'(x) 关键： 搞清复合函数结构，由外向内逐层求导
例如, = x y d d = f (u) (v)(x) y u v x u y d d v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形
例6设y=(1-2x2)°，求y。 tan 例7求y=e2的导数。 例8设y=In xx≠0，求y 例9设y=x“（4为实数)，求y。 例10设y=f四是可导函数，求y=(arctan 的导数。 例1.设y=xa+a+aa(a>0,求y. 解：y=axa-1+4 +aa"ma a Ia
( ) 10 2 例6 设 y x = −1 2 ，求 y 。 例7 求 tan 2 x y e = 的导数 。 例8 设 y x = ln x 0 ，求 y. y f u = ( ) 1 y f (arctan ) x 例10 设 是可导函数，求 = 的导数。 例11. 设 y = x + a + a (a 0), a a x a x a 解: −1 = a a a y a x a a a x + ln −1 a ax a a x a + ln 求 y . a a x ln 例9 设 y x （ 为实数），求 。 = y
12.设y=)n++h++,求以 2 4 V1+x2-1 1 X 解：y=21++x2 2V1+x2 X 1W1+x ) (2x+x3)W1+x2
例12. 设 ,求 1 1 1 1 ln 41 arctan 1 21 22 2 + − + + = + + xx y x y . 解 : y = 2 2 1 ( 1 ) 1 21 + + x 2 1 x x+ ln( 1 1 ) ln( 1 1 ) 2 2 + x + − + x − ( 1 1 1 41 2 + + + x 2 1 x x+ 1 1 1 2 + − − x ) 2 1 x x+ ( 2 1 21 x x+ = 2 2 1+ x ) 21x − 3 2 ( 2 ) 1 1 x + x + x − =