上次课内容复习： 换元积分法 换元必换限 基本积分法 凑元不换限 分部积分法 边积边代限 §5.4定积分的几何应用 一、什么问题可以用定积分解决？ 二、如何应用定积分解决问题？
上次课内容复习： 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限 凑元不换限 边积边代限 §5.4 定积分的几何应用 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
一、什么问题可以用定积分解决？ 1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布fx)有关的 一个整体量； 2)U对区间[a,b]具有可加性，即可通过 “大化小，常代变，近似和，取极限” n 表示为U=lim∑f(5)△x 元→0 i=l 定积分定义 f(x)de=1imm∑f)Ay 2→01
表示为 一、什么问题可以用定积分解决？ 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 定积分定义 一个整体量 ;
二、如何应用定积分解决问题？ 第一步利用“化整为零，以常代变”求出局部量 近腹值 微分表达式 dU=f(x)dx 第二步利用“积零为整，无限累加”求出整体量的 精确值 积分表达式 U-f(x)dx 这种分析方法成为元素法（或微元分析法） 元素的几何形状常取为：条，带，段，环，扇，片，壳等
二、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 dU = f (x) dx 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 U = f x x b a ( ) d 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 近似值 精确值
一、平面图形的面积 y↑y=f(x) 1.直角坐标情形 设曲线y=f(x)(20) x=a,x=b(a<b)及x轴所围曲 边梯形面积为A,则 x+dx dA=f(x)dx A-[f(x)dx y↑y=f(x)y=(x) 右下图所示图形面积为 4=[f(x)-f(x)dx o a xx+dx b x
一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 及 x 轴所围曲 则 dA = f (x)dx A f x x b a ( )d = 边梯形面积为 A , o a b x y y = f (x) x x + dx y o a b x 2 y f x = ( ) 1 y f x = ( ) x x + d x 右下图所示图形面积为 A f x f x x b a ( ) ( ) d = 1 − 2
例1.计算两条抛物线y2=x,y=x2 在第一象限所围 所围图形的面积 解：由 y2=x J=x2 得交点0,0)，1,1) =x .A=-x2)dx (1,1) P=x2 x+dx
例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . x y = x 2 o y 2 y = x x 1 x + d x (1,1) 解: 由 得交点 (0, 0) , (1,1) d A ( x x )dx 2 = − 3 1 = = 1 0 A
例2.计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围图形 的面积. 解：由 y2=2x 得交点 y y=x-4 y+dy 8.4 (2,-2),(8,4) 为简便计算，选取y作积分变量， 0 y=x-4 则有 2,-2 .A=(y+4-3y2)dy =[3y2+4y-6y3]42=18
x 2 y x = 2 o y y x = − 4 例2. 计算抛物线 y 2x 2 = 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 (2, − 2) , (8, 4) (8, 4) d A ( y 4 y )dy 2 2 1 = + − =18 y = x − 4 所围图形 (2, 2) − 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 y y + d y − = 4 2 A
例3.求椭圆 =1所围图形的面积 62 少 解：利用对称性，有dA=ydx A=4l0ydx oxx+dya x 利用椭圆的参数方程 x=acost y=bsint (0≤t≤2π) 应用定积分换元法得 A=4f0bsin1-(←asint0）dt=4 absin2td =4a6:=ab 当a=b时得圆面积公式
a b o x y x 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , d A = y dx 所围图形的面积 . 有 = a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2 ) sin cos = = t y b t x a t 应用定积分换元法得 = 2 0 2 4 sin d ab t t = 4ab 2 1 2 = ab 当 a = b 时得圆面积公式 x + d x
2.极坐标情形 设曲线p=p(0)在[a,B]上连续，p(0≥0，求由曲线 p=p(0)及射线0=α，0=B围成的曲边扇形的面积· 在区间[a,B]上任取小区间[0,0+d0] 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 dA-jlo(Od0 所求曲边扇形的面积为
2. 极坐标情形 求由曲线 及射线 围成的曲边扇形的面积 . r =( ) x d 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 ( ) d 2 1 d 2 A = 所求曲边扇形的面积为 ( )d 2 1 2 A =
例4.计算心形线p=a(1+cos0)(a>0) 所围图形的面积. 解4-2rl+o0Pd0 (利用对称性) 二a 2个π 4c0 48 令t=号 2a =8a23 os4tdr =8a2.3.1.x3 πa1 4222
8a cos t dt 2 0 2 4 = 例4. 计算心形线 所围图形的面积 . 解: o 2a x d (1 cos ) d 2 1 2 2 a + = 0 2 a d 2 4cos4 (利用对称性) 2 令t = = 2 8a 4 3 2 1 2 2 2 3 = a
例5.求双纽线p2=a2c0s20所围图形面积. 解：利用对称性，则所求面积为 a-cos20 do J02 -ac20d(20) =a2sin20]月=a2 思考：用定积分表示该双纽线与圆p=a√2sin0 所围公共部分的面积. 答案=2a2sn2gd0+}a cos20 de] 6
例5. 求双纽线 所围图形面积 . a 4 = − 4 y = o x sin 2 2 = a 解: 利用对称性 , cos2 d 2 1 2 a = 4 0 2 a cos 2 d(2 ) 则所求面积为 2 = a 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 = a 2 sin 所围公共部分的面积 . A = 2 sin d 2 0 6 2 a cos 2 d 2 14 6 2 答案: + a