上次课内容复习 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、参数方程的求导法则
上次课内容复习 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、参数方程的求导法则
§2.4高阶导数 引例：变速直线运动s=s(t) ds 速度 dt' 即v=S dv 加速度 a= dt c 品 即 a=(s）1
§2.4 高阶导数 速度 即 v = s 加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动
定义若函数y=f(x)的导数y=f'(x)可导，则称 d2y f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作y"或 dr2 即 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推， n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 或 d"y dx3 dr4’ dx
定义 若函数 y = f (x) 的导数 y = f (x) 可导, 或 即 y = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称
例1设y=ln(1+x2),求y"(0)。 例2若f(x)存在二阶导数，求函数y=f(nx) 的二阶导数 例3设y=sin(x+y),求y 由参数方程所确定的函数，其一阶导数为： dydy dt dy 1 v(t) dx dt dx dt dx p'(t) dt
( ) 2 例1 设 y x = + ln 1 ，求 y (0) 。 例2 若 f x( ) 存在二阶导数，求函数 y f x = (ln ) 的二阶导数. 例3 设 y x y = + sin( ) ，求 y . 由参数方程所确定的函数，其一阶导数为： = x y d d x t t y d d d d t t x y d d 1 d d = ( ) ( ) t t =
若上述参数方程中p(t),W(t)二阶可导，且p'(t)≠0， 则由它确定的函数y=f(x)可求二阶导数. x=o(t) 利用新的参数方程d山少心，可得 dx p"(t) d2y- dx2 0-品 dx di w"(t)p'(t)-w'(t)0"(t) 02() p'(t) -业"()p'(@-()p"(@起jr-的 p3(t0 3
若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2 t (t)(t)−(t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t − = 3 x yx xy − = y t x y t d d ) d d ( d d = t x d d ( ) ( ) d d t t x y = x =(t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 记
例4求摆线的参数方程 x=a(t-sint) y=a(1-cost) 所确定的函数y=y(x)的二阶导数， 例5求指数函数y=a(a>0,a≠1)的n阶导数. 例6求函数y=sinx的n阶导数， (sin)sin 例7求函数y=ln(x+ad的n阶导数
( ) ( ) sin 1 cos x a t t y a t = − = − 所确定的函数 y y x = ( ) 的二阶导数. 例4 求摆线的参数方程 x 例5 求指数函数 y a = 0, 1 (a a ) 的 n 阶导数. 例6 求函数 y x = sin 的 n 阶导数. ( ) ( ) ( ) sin sin 2 n n y x x n = = + 例7 求函数 y x a = + ln( ) 的 n 阶导数
高阶导数的运算法则 设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数，则 1.(u士)m=nm)±vm) 2.(C0)m=Cm）(C为常数) 3.(uv)(a-) 2刻 1)(nk1 k! ++v() 莱布尼茨(Leibniz公式
高阶导数的运算法则 都有n 阶导数 , 则 (C 为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + + 莱布尼茨(Leibniz) 公式 设函数 及
规律 (uw)}'='v+w' (w)"=(u'v+w')'=u"v+2uy'+uw" (w)"=u"y+3uv'+3u'v"+uw" 用数学到归纳法可证 (m)o=∑C-w k=0
规律 + 3u v (uv) = u v + uv (uv) = (u v + uv ) = u v + 2 u v + uv (uv) = u v + 3u v + uv 用数学归纳法可证 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n k n k k n k uv u v − = = C
例8.y=x2e2x,求y20) 解：设u=e2x,v=x2,则 =2e2x(k=1,2,.,20) v'=2x,v”=2, y)=0(k=3,.,20) 代入莱布尼茨公式，得 y20)=220e2x.x2+20-219e2x.2x 20-19218e2.2 21 =220e2x(x2+20x+95)
例8. 求 解: 设 e , , 2 2 u v x x = = 则 k k x u ( ) 2 = 2 e v = 2x , v = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼茨公式 , 得 = (20) y 20 2x 2 e 2 x 19 2x + 20 2 e 2x 2 ! 2019 + 2 18 2x 2 e ( k =1, 2 , , 20 ) (k = 3 , , 20)
例9.设f(x)=3x3+x2x,求使f)(0)存在的最高 阶数n=2 x≥0 分析： f0x)= 2 x<0 .f(0)=lim 2x3-0 =0 x≥0 x→0X 12x2， 4x3-0 .f"(x)= f.(0)=lim 16x2, x≤0 =0 x→0 又f"(0)=lim 6x2-0 0)={12x, = 24x,x≥0 x→01 12x2-0 x<0 f(0)=lim =0 x→0 但是f"0)=12,"(0)=24,.∫"(0)不存在
例9.设 ( ) 3 , 3 2 f x = x + x x 求使 (0) (n) f 存在的最高 分析: f (x) = 4 , x 0 3 x 2 , x 0 3 x x x f x 2 0 (0) lim 3 0 − = → − − = 0 x x f x 4 0 (0) lim 3 0 − = → + + = 0 x 0 x 0 f (x) = 12 , 2 x 6 , 2 x f− (0) = x x x 6 0 lim 2 0 − → − = 0 f+ (0) = x x x 12 0 lim 2 0 − → + = 0 f (x) = 但是 (0) =12 , − f (0) = 24 , + f f (0) 不存在 . 2 又 24x, x 0 12x , x 0 阶数