第三章微分中值定理与导数的应用 A级自测题 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设y=5x2-x+2在0,1上满足拉格朗日中值定理，其中5= 2@ 3曲线y=acnx+上的单调递减区间是 4.函数)=-在区间-3-上的最大值为 ,最小值为 5.曲线y=1++x的拐点坐标为 二、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件是(). A.y=x2-5x+6,x∈[2,3引. c-*02】. B.y=- 1 C.y=xe,x∈0， x+1,x<5 D.=5o 2.函数y=x3+12x+1在定义域内( A.单调增加.B.单调减少.C.图形是凸的.D.图形是凹的. 3.∫"(x)=0是(xof(x》为曲线y=fx)的拐点的(). A.必要条件：B.充分条件：C.充分必要条件：D.既非充分亦非必要条件. 2x-有( 4.曲线f)=- A.水平渐近线.B.铅直渐近线.C.既有水平渐近线又有铅直渐近线。D.无渐近线 5.下列函数的弹性函数为常数（即不变弹性函数函数）的是() A.y=ax+b. D.y=x" 三、计算题（每小题6分，共30分） 上计算与 2妈里 3.计算im(eosF). 1
1 第三章 微分中值定理与导数的应用 A 级自测题 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1．设 2 y x x = − + 5 2 在 [0,1] 上满足拉格朗日中值定理，其中 = _． 2． cos 2 1 lim 2 x x e x → − − =_． 3 曲线 1 y x arctan x = + 的单调递减区间是_． 4．函数 2 2 1 y x x = − 在区间 [ 3, 1] − − 上的最大值为_，最小值为_． 5．曲线 3 y x = + + 1 1 的拐点坐标为_． 二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1．下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件是（ ）． A． 2 y x x x = − + 5 6, [2, 3]． B． 3 2 1 , [0, 2] ( 1) y x x = − ． C． , [0, 1] x y xe x − = ． D． 1, 5 , [0, 5] 1, 5 x x y x x + = ． 2．函数 3 y x x = + + 12 1 在定义域内（ ） A． 单调增加． B．单调减少． C． 图形是凸的． D．图形是凹的． 3． 0 f x ( ) 0 = 是 0 0 ( , ( )) x f x 为曲线 y f x = ( ) 的拐点的（ ）． A．必要条件； B．充分条件； C．充分必要条件； D．既非充分亦非必要条件． 4． 曲线 2 2 1 ( ) ( 1) x f x x − = − 有（ ）． A．水平渐近线． B．铅直渐近线． C．既有水平渐近线又有铅直渐近线． D．无渐近线． 5．下列函数的弹性函数为常数（即不变弹性函数函数）的是（ ） A． y ax b = + ． B． x y a = ． C． a y x = ． D． a y x = ． 三、计算题(每小题 6 分,共 30 分) 1．计算 sin 0 1 1 lim( ) 1 x x→ x e − − ． 2．计算 2 0 tan sin lim x sin x x → x x − ． 3．计算 0 lim (cos ) x x x → + ．
4.求函数fx)=(x-5)x的增减区间和极值. 5.求函数f(x)=xe的凹凸区间、拐点及其最值 四、试证方程x+x-1=0只有一个正根.(8分) 五、设fx)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且f0)=f(2)=0,f)=2,试证至少存在 点5∈(0,2)，使f()=1.(8分) 六、证明不等式arctana-arctanb≤a-.(8分) 七、某窗的形状为半圆置于矩形之上，若此窗的周长为一定值1，试确定半圆的半径r和矩形 的高h,使所能通过窗户的光线最为充足.(8分) 人设某产品的总成本函数为=40÷3业+号而需求函数为P-·其中为产量（假 √x 定等于需求量，P为价格)，试求： (1)边际成本：(2)边际效益： (3)边际利润： (4)收益的价格弹性.(8分) B级自测题 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.im Incos(x-1) 1-sin(受) 2.lim[l+In(+x)= 3.设f(x)=xe,则f(x)在点x= _处取得极小值 4.曲线y=e的上凸区间是 5.某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aP,其中a,b为常数，且a≠0，则需求量 Q对价格P的弹性是 二、选择题（每小题3分，共15分） 1.设函数f)在区间[a,b1上有定义，在区间(a,b)内可导，其中a,b为常数，则() A.当f(a)fb)<0时，存在5e(a,b),使得f5)=0. B.对任何E∈(a,b),有1imfx)-f5】=0. C.当fa)=fb)时，存在5e(a,b),使得f(5)=0 2
2 4． 求函数 2 3 f x x x ( ) ( 5) = − 的增减区间和极值． 5．求函数 ( ) x f x xe− = 的凹凸区间、拐点及其最值． 四、试证方程 5 x x + − =1 0 只有一个正根. (8 分) 五、设 f x( ) 在 [0, 2] 上连续, 在 (0,2) 内可导, 且 f f (0) (2) 0 = = , f (1) 2 = , 试证至少存在一 点 (0,2) , 使 f ( ) 1 = ．(8 分) 六、证明不等式 arctan arctan a b a b − − ．(8 分) 七、某窗的形状为半圆置于矩形之上, 若此窗的周长为一定值 l ，试确定半圆的半径 r 和矩形 的高 h , 使所能通过窗户的光线最为充足．(8 分) 八、设某产品的总成本函数为 2 ( ) 400 3 2 x C x x = + + ，而需求函数为 100 P x = ，其中 x 为产量（假 定等于需求量， P 为价格），试求： （1） 边际成本； （2）边际效益； （3）边际利润； （4） 收益的价格弹性．(8 分) B 级自测题 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1． 1 ln cos( 1) lim 1 sin( ) 2 x x x → − = − _． 2． 2 0 lim[1 ln(1 )]x x x → + + = _． 3．设 ( ) x f x xe = ，则 ( ) ( ) n f x 在点 x =_处取得极小值_． 4．曲线 2 x y e − = 的上凸区间是_． 5．某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 2 b Q aP = ，其中 a b, 为常数，且 a 0 ，则需求量 Q 对价格 P 的弹性是_． 二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1．设函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上有定义，在区间 ( , ) a b 内可导，其中 a b, 为常数，则（ ） A．当 f a f b ( ) ( ) 0 时，存在 ( , ) a b ，使得 f ( ) 0 = ． B．对任何 ( , ) a b ，有 lim[ ( ) ( )] 0 x f x f → − = ． C．当 f a f b ( ) ( ) = 时，存在 ( , ) a b ，使得 f ( ) 0 = ．
D.存在Ee(a,b),使得fb)-f(a)=f'(5b-a)· 2.设f(x)连续，且0)=0,1imf(x)=1,则f0)（）. A.是fx)的极小值.B.是fx)的极大值.C.不是f(x)的极值.D可能是f(x)的极值. 3.已知在=0的某个邻城内连线，且了0-0，一=2，则在点x=0处@(》 A.不可导.B.可导，且f'(O)≠0.C.取得极大值.D.取得极小值. 4鱼线的故有《人 A.1条. B.2条. C.3条. D.4条. 5.设生产函数Q=4ALK,其中Q为产出量，L为劳动投入量，K为资本投入量，而A,a,B 为大于零的常数，则当Q=1时，K关于L的弹性为(). 。 C.-aB. D.-AaB. 三、计算题（每小题6分，共30分） In(+) 1,.求极限arecot子 √f+tanx-f+sinx 么.计算m-coare sin() 3 3。求函数)x一的单调区间。凹凸区间。极位。拐点和渐近线 4已知函数三次可微，且/0-0，了0-6,0)-0，了0-1，求m 5.设a>l,f)=d-am在(-o,+o)内的驻点为1(a),问a为何值时，t(a)最小？并求出最 小值。 四、已知在(+四)内可导，▣f=e,r-到-x-川，求e的 值(8分) 五、证明：x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2.(8分) 六、设fx)在0，】上连续，在(0，)内可导，且f0)=f=0,f(兮)=1，试证： (1)存在n∈(5，)，使f)=7: (②)对任意的实数2，存在5∈(0，)，使f'(5)-f(5)-】=1.(8分) 七、作半径为？的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V最小，并求出该最小值
3 D．存在 ( , ) a b ，使得 f b f a f b a ( ) ( ) ( )( ) − = − ． 2．设 f x ( ) 连续，且 f (0) 0 = ， 0 lim ( ) 1 x f x → = ，则 f (0) （ ）． A．是 f x( ) 的极小值．B．是 f x( ) 的极大值．C．不是 f x( ) 的极值．D 可能是 f x( ) 的极值． 3．已知 f x( ) 在 x = 0 的某个邻域内连续，且 f (0) 0 = ， 0 ( ) lim 2 1 cos x f x → x = − ，则在点 x = 0 处 f x( ) （ ）． A．不可导． B．可导，且 f (0) 0 ． C．取得极大值． D．取得极小值． 4．曲线 2 1 2 1 ( 1)( 2) x x x y e x x + − = + − 的渐近线有（ ）． A．1 条． B．2 条． C．3 条． D．4 条． 5．设生产函数 Q AL K = ,其中 Q 为产出量， L 为劳动投入量， K 为资本投入量， 而 A, , 为大于零的常数，则当 Q =1 时， K 关于 L 的弹性为（ ）． A． − ． B． − ． C．− ． D．−A ． 三、计算题(每小题 6 分,共 30 分) 1．求极限 1 ln(1 ) lim cot x x → arc x + ． 2. 计算 2 0 1 tan 1 sin lim 1 cos sin( ) x x x xarc x → + + − + − . 3．求函数 3 2 ( 1) x y x = − 的单调区间, 凹凸区间, 极值, 拐点和渐近线. 4．已知函数 f x( ) 三次可微，且 f (0) 0 = ， f (0) 6 = ， f (0) 0 = ， f (0) 1 = ，求 3 0 ( ) lim x f x x → x − . 5．设 a 1， ( ) t f t a at = − 在 ( , ) − + 内的驻点为 t a( ) ，问 a 为何值时， t a( ) 最小？并求出最 小值。 四、 已知 f x( ) 在 ( , ) − + 内可导, lim ( ) x f x e → = ，lim( ) lim[ ( ) ( 1)] x x x x c f x f x → → x c + = − − − ，求 c 的 值 (8 分) 五、证明： x 0 时, 2 2 ( 1)ln ( 1) x x x − − .(8 分) 六、设 f x( ) 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且 f f (0) (1) 0 = = , 1 ( ) 1 2 f = , 试证： (1) 存在 1 ( ,1) 2 , 使 f ( ) = ； (2) 对任意的实数 , 存在 (0, ) ，使 f f ( ) [ ( ) )] 1 − − = ．(8 分) 七、作半径为 r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积 V 最小,并求出该最小值
(8分) 八、某商品需求量Q是价格P单调减少函数Q=QP),其需求弹性刀=192-P>0, 2p2 0设及为总收益函数。证明级=Q1-: (2)求P=6时总收益R对价格P的弹性，并说明经济意义.(8分) 4
4 (8 分) 八、某商品需求量 Q 是价格 P 单调减少函数 Q Q P = ( ) ,其需求弹性 2 2 2 0 192 P P = − , (1) 设 R 为总收益函数，证明 (1 ) dR Q dP = − ； （2）求 P = 6 时总收益 R 对价格 P 的弹性，并说明经济意义．(8 分)