三、典型例题解析 倒1设/)在处可导，求回+刊-3翅】 分析所求极限与(x)的定义式子很相似，则由f(x)的定义即可求解。 解回低+飞-3=m+-川-飞-3划 X =imf+f+3m-3-/ -3x =fx)+3f(x)=4f(x) 错误解答令，-3x=1,则x=3x+1, g-9-g+4-@-4p0 (1) =41imf"(%-3x)=4f'(x,). (2) 错解分析式(1)用到f(x)在点1的导数：式(2)用到f(x)在点x。连续.但是题目 只是给出∫x)在，处可导的条件，而f)在x,的邻域内是否可导以及了《(x)在x,处是否连 续都未知.所以上述做法中的式(1)与式(2)有可能不成立. 例2设fx)=p(a+bx)-p(a-bx),其中p(x)在(-o,+o)上有定义且在点a处可导.试 求f"0). 分析求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求：也可先求导函数，然后求导函数 在该点的函数值，但在本题中函数fx)的可导性未知，故只能用定义来求. 解当60时，四二0=mu+a- iml(a+bx)-p(a)-[a-b)-o(a) blin a+hu)-()bi(a-h)-(a) =bp'(a)+bp'(a)=2bp'(a). 所以f'(0)=2bo(a). 当b=0时，fx)=0,f0)=0 综上所述，∫'(0)=2bo'(a. 例3设函数fx)=(x-a}o(x),其中p(x)的一阶导函数有界.求"(a). 分析求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数：也 可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数∫(x)的可导性 未知，故只能用定义来求 解由于fx)=2x-a)mx)+(x-apx),则有f(a=0.又
三、典型例题解析 例 1 设 f x( ) 在 0 x 处可导，求 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − ． 分析 所求极限与 0 f x ( ) 的定义式子很相似，则由 0 f x ( ) 的定义即可求解． 解 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − = 0 0 0 0 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( 3 )] lim x f x x f x f x f x x → x + − + − − = 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( 3 ) ( ) lim 3lim x x 3 f x x f x f x x f x → → x x + − − − + − = 0 0 f x f x ( ) 3 ( ) + = 0 4 ( ) f x ． 错误解答 令 0 x x t − = 3 ，则 0 x x t = + 3 ， 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − = 0 ( 4 ) ( ) lim x f t x f t → x + − = 0 4lim ( ) x f t → （1） = 0 0 4lim ( 3 ) x f x x → − = 0 4 ( ) f x ． （2） 错解分析 式（1）用到 f x( ) 在点 t 的导数；式（2）用到 f x ( ) 在点 0 x 连续．但是题目 只是给出 f x( ) 在 0 x 处可导的条件，而 f x( ) 在 0 x 的邻域内是否可导以及 f x ( ) 在 0 x 处是否连 续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立． 例 2 设 f x a bx a bx ( ) ( ) ( ) = + − − ，其中 ( ) x 在 ( , ) − + 上有定义且在点 a 处可导．试 求 f (0)． 分析 求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数 在该点的函数值，但在本题中函数 f x( ) 的可导性未知，故只能用定义来求． 解 当 b 0 时， 0 ( ) (0) lim x 0 f x f → x − − = 0 ( ) ( ) lim x a bx a bx x → + − − = 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim x a bx a a bx a x → + − − − − = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x a bx a a bx a b b bx bx → → + − − − + − = b a b a ( ) ( ) + = 2 ( ) b a ． 所以 f (0) = 2 ( ) b a ． 当 b = 0 时， f x( ) 0 = ， f (0) 0 = ． 综上所述， f (0) = 2 ( ) b a ． 例 3 设函数 2 f x x a x ( ) ( ) ( ) = − ，其中 ( ) x 的一阶导函数有界．求 f a ( ) ． 分析 求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也 可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数 f x ( ) 的可导性 未知，故只能用定义来求． 解 由于 2 f x x a x x a x ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = − + − ，则有 f a( ) 0 = ．又
faa=24-w-aro国 x-4 -lim[2o(x)+(x-a)p(x)]=2p(a). 所以f"(a)=2p(a). 错误解答因为 f(x)=2(x-a)o(x)+(x-a)c(x) f"(x)=2x)+2(x-a)p(x)+2(x-ap(x+(x-ap(x), 所以"(a)=2oa). 错解分析此解法错误的根源在于(x)的一阶导函数有界并不能保证x)二阶可 导.而上述求解却要用到p(x). 注此题用到如下结论： a.有界量与无穷小的乘积仍为无穷小：b.可导必连续. 例4设的一阶导数在x=a处连续且一+@=1，则(。 A.x)在x=a处的二阶导数不存在. B.mf(x+a)一定存在。 c.f'(a)=l. D.f'(a)=2. 解因为吗x+@-,所以四了x+a)=0,由于f)在x=a处连续，故 fa)=0. 又因为一t@=mx+o=1,所以fra=1.选c (x+a)-a 例5设fx)在x=0的某个邻域内有定义，x、y为该邻域内任意两点且fx)满足条 件： (1)fx+)=fx)+f)+1: (2)f0)=1. 试证在上述邻域内(x)=1. 分析此处无法用求导公式和求导法则证明了(x)=1.由于(x)的表达式未给出，故 只能考虑从定义出发.如果用条件(2)，则需先求出f0). 证明因为f)在x=0的某个邻域内有定义，记该邻域为E,，则对任意x、y∈E 有f(x+)=f八x)+f)+1.令y=0,则fO)=-1.于是对任意xeE,当x+△r∈E及 AxeE时，考虑下列极限 m+A/@-+f+-f@ =-4- Ar
( ) ( ) lim x a f x f a → x a − − = 2 2( ) ( ) ( ) ( ) lim x a x a x x a x x a → − + − − = lim[2 ( ) ( ) ( )] x a x x a x → + − = 2 ( ) a , 所以 f a ( ) = 2 ( ) a ． 错误解答 因为 2 f x x a x x a x ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = − + − ， 2 f x x x a x x a x x a x ( ) 2 ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = + − + − + − ， 所以 f a ( ) = 2 ( ) a ． 错解分析 此解法错误的根源在于 ( ) x 的一阶导函数有界并不能保证 ( ) x 二阶可 导．而上述求解却要用到 ( ) x ． 注 此题用到如下结论： a．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b．可导必连续． 例 4 设 f x( ) 的一阶导数在 x a = 处连续且 0 ( ) lim 1 x f x a → x + = ，则（ ）． A． f x( ) 在 x a = 处的二阶导数不存在． B． 0 lim ( ) x f x a → + 一定存在． C． f a ( ) 1 = ． D． f a( ) 2 = ． 解 因为 0 ( ) lim 1 x f x a → x + = ，所以 0 lim ( ) 0 x f x a → + = ，由于 f x ( ) 在 x a = 处连续，故 f a( ) 0 = ． 又因为 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim 1 ( ) x x f x a f a f x a → → x a a x + − + = = + − ，所以 f a ( ) 1 = ．选 C． 例 5 设 f x( ) 在 x = 0 的某个邻域内有定义， x 、 y 为该邻域内任意两点且 f x( ) 满足条 件： （1） f x y f x f y ( ) ( ) ( ) 1 + = + + ； （2） f (0) 1 = ． 试证在上述邻域内 f x ( ) 1 = ． 分析 此处无法用求导公式和求导法则证明 f x ( ) 1 = ．由于 f x( ) 的表达式未给出，故 只能考虑从定义出发．如果用条件（2），则需先求出 f (0) ． 证明 因为 f x( ) 在 x = 0 的某个邻域内有定义，记该邻域为 E ，则对任意 x 、 y E ， 有 f x y f x f y ( ) ( ) ( ) 1 + = + + ．令 y = 0 ，则 f (0) 1 = − ．于是对任意 x E ，当 x x E + 及 x E 时，考虑下列极限 0 ( ) ( ) lim x f x x f x → x + − = 0 [ ( ) ( ) 1] ( ) lim x f x f x f x → x + + − = 0 ( ) ( 1) lim x f x → x − − = 0 ( ) (0) lim x f x f → x −
="(0)=1, 故f(x)=1,x∈E. 例6(04研)设函数fx)连续，且f"0)>0,则存在8>0，使得（) A.f(x)在(0,6)内单调增加. B.fx)在(-6,0)内单调减少. C.对任意的xe(0,)有fx)>f) D.对任意的x∈(-d,0)有fx)>f0) 解由导数定义知 f0=g0,0 根据极限的保号性，知存在6>0，当x∈(-6,0U(0,)时，有 fx-f@>0. 因此 当x∈(-6,0)时，有fx)f0),故选C. 注函数∫x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点 可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论。 例7设不恒为零的奇函数∫x)在x=0处可导.试说明x=0为函数四的哪一类间 断点 解由题设知f-x)=-f),令x=0可得f0)=0.则 =型。0 于是八)在x=0处有极限.从而x=0是的可去间断点 例8设函数fx)可导，F(x)=fxI+sin,则f(O=0是F(x)在x=0处可导的 ( A.充分必要条件】 B.充分条件但非必要条件 C.必要条件但非充分条件. D.既非充分条件又非必要条件. 分析F(x)表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要 考虑函数的左右导数. 解由导数定义 Fo=lmF50. x-0 知 R0=e0-g-n-0 m/0-m x= =(0)-f0)=f'o)-f0), 50=-0-g+n-@ r0
= f (0) =1， 故 f x ( ) 1 = ， x E ． 例 6（04 研） 设函数 f x( ) 连续，且 f (0) 0 ，则存在 0 ，使得（ ）． A． f x( ) 在 (0, ) 内单调增加． B． f x( ) 在 ( ,0) − 内单调减少． C．对任意的 x(0, ) 有 f x f ( ) (0) ． D．对任意的 x −( ,0) 有 f x f ( ) (0) ． 解 由导数定义知 0 ( ) (0) (0) lim 0 x 0 f x f f → x − = − ． 根据极限的保号性，知存在 0 ，当 x −( ,0) (0, ) 时，有 ( ) (0) 0 f x f x − ． 因此 当 x −( ,0) 时，有 f x f ( ) (0) ；当 x(0, ) 时，有 f x f ( ) (0) ，故选 C． 注 函数 f x( ) 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点 可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论． 例 7 设不恒为零的奇函数 f x( ) 在 x = 0 处可导．试说明 x = 0 为函数 f x( ) x 的哪一类间 断点． 解 由题设知 f x f x ( ) ( ) − = − ，令 x = 0 可得 f (0) 0 = ．则 0 ( ) lim x f x → x = 0 ( ) 0 lim x 0 f x → x − − = f (0) ， 于是 f x( ) x 在 x = 0 处有极限．从而 x = 0 是 f x( ) x 的可去间断点． 例 8 设函数 f x( ) 可导， F x f x x ( ) ( )(1 sin ) = + ，则 f (0) 0 = 是 F x( ) 在 x = 0 处可导的 （ ）． A．充分必要条件 ． B．充分条件但非必要条件． C．必要条件但非充分条件． D．既非充分条件又非必要条件． 分析 F x( ) 表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要 考虑函数的左右导数． 解 由导数定义 0 ( ) (0) (0) lim x 0 F x F F → x − = − ， 知 0 0 ( ) (0) ( )(1 sin ) (0) (0) lim lim x x 0 F x F f x x f F x x − → → − − − − − = = − 0 0 ( ) (0) ( )sin lim lim x x 0 f x f f x x x x → → − − − = − − f f f f (0) (0) (0) (0) − = − = − ， 0 0 ( ) (0) ( )(1 sin ) (0) (0) lim lim x x 0 F x F f x x f F x x + → → + + − + − = = −
=f0)+fo)=f"(o)+f0) 可见F'O)存在口F(O)=F0),即fO)=0故选A, 例9(01研)设f0)=0,则fx)在点x=0可导的充要条件为(). A.四存f0-co)存在. B.四方f0-e)存在. C.m不f仙-sin)存在 D.m/2-f例存在 分析本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号。 解注意到1-cosh≥0，且1im1-cosh)=0. 如果四存f0-cos存在.则 四Ff0-co=g[-eof@.上eo】 1-cosh-0 0 (cosh) 4-0 所以A成立只保证(O)存在，而不是∫"O)存在的充分条件. 如果1mf0-)存在，则 -内-20 20 =←m二0.-0， 4-0 故B是∫”(O)存在的充要条件. 对于C, (-sinh)=1(hsin )(0).-sinth h-sinh-0 h 注意到甲.0，所以若了O存在，则由右边擦知左边受限存在且为零。若左边极限 存在，则由 京fh-sih) f(h-sinh)-f(0) h-sinh h-sinh h 知上式左边极限可能不存在，故∫O)可能不存在】 至于D
f f f f (0) (0) (0) (0) + = + = + ， 可见 F(0) 存在 F F (0) (0) − + = ，即 f (0) 0. = 故选 A． 例 9（01 研） 设 f (0) 0 = ，则 f x( ) 在点 x = 0 可导的充要条件为（ ）． A． 2 0 1 lim (1 cosh) h f → h − 存在． B． 0 1 lim (1 ) h h f e → h − 存在． C． 2 0 1 lim ( sinh) h f h → h − 存在． D． 0 1 lim [ (2 ) ( )] h f h f h → h − 存在． 分析 本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号． 解 注意到 1 cosh 0 − ，且 0 lim(1 cosh) 0 h→ − = ． 如果 2 0 1 lim (1 cosh) h f → h − 存在．则 2 2 0 0 1 (1 cosh) (0) 1 cosh lim (1 cosh) lim h h 1 cosh 0 f f f → → h h − − − − = − − 2 0 0 (1 cosh) (0) 1 cosh lim lim h h 1 cosh 0 f f → → h − − − = − − 0 0 1 (1 cosh) (0) 1 ( ) (0) 1 lim lim (0) 2 1 cosh 0 2 0 2 h u f f f u f f u + + → → − − − = = = − − − ． 所以 A 成立只保证 f (0) + 存在，而不是 f (0) 存在的充分条件． 如果 0 1 lim (1 ) h h f e → h − 存在，则 0 0 1 (1 ) (0) 1 lim (1 ) lim 1 0 h h h h h h f e f e f e → → h e h − − − − = − − 0 0 (1 ) (0) 1 lim lim 1 0 h h h h h f e f e → → e h − − − = − − 0 ( ) (0) ( 1)lim (0) u 0 f u f f → u − = − = − − ， 故 B 是 f (0) 存在的充要条件． 对于 C， 2 2 1 ( sinh) (0) sinh ( sinh) sinh 0 f h f h f h h h h − − − − = − − ， 注意到 2 0 sinh lim 0 h h → h − = ，所以若 f (0) 存在，则由右边推知左边极限存在且为零．若左边极限 存在，则由 2 2 1 ( sinh) ( sinh) (0) sinh sinh f h h f h f h h h − − − = − − 知上式左边极限可能不存在，故 f (0) 可能不存在． 至于 D
m/2-f1=片2)-fo)-fo 若(0)存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在。而左边存在，不能保证 右边拆项后极限也分别存在。故选B 例10(99研)设f(x)=了V: 0,中8国是有界数，则在0处 x2g(x),x≤0 A.极限不存在。B.可导.C.连续但不可导.D.极限存在但不连续. 解由于 @0=mg8-0=0. x-0 停00-e器0-0 x-0 故选B。 f(a+-) 例11已知)在x=a处可导且/@>0.求 分析题目条件是fx)在x=a处可导，必然有f(x)在x=a处连续，从而可知该极限 风于华因在：=a处可号.则 fa+白-fa lim =f'(a) 且当n充分大时/+>0.故 a+马 liml- ar-epgah f(a) =exp(limn.- f(a) f(a+)-f(a)1 1-m 注此题用到当x→0时，n1+x)-x. 例12讨论函数f)=xxx-川的可导性
0 0 1 1 1 lim [ (2 ) ( )] lim ( (2 ) (0)) ( ( ) (0)) h h f h f h f h f f h f → → h h h − = − − − ， 若 f (0) 存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在．而左边存在，不能保证 右边拆项后极限也分别存在．故选 B． 例 10（99 研） 设 2 1 cos , 0 ( ) ( ), 0 x x f x x x g x x − = ，其中 g x( ) 是有界函数，则 f x( ) 在 x = 0 处 （ ）． A．极限不存在． B．可导． C．连续但不可导． D．极限存在但不连续． 解 由于 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → − − − = 2 0 ( ) lim x x g x x → − = 0 = f (0) − ， 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → + − − = 0 1 cos lim x x x x → + − = 0 = f (0) + ， 故选 B． 例 11 已知 f x( ) 在 x a = 处可导且 f a( ) 0 ．求 1 ( ) lim[ ] ( ) n n f a n → f a + ． 分析 题目条件是 f x( ) 在 x a = 处可导，必然有 f x( ) 在 x a = 处连续，从而可知该极限 属于 1 型． 解 f x( ) 在 x a = 处可导．则 1 ( ) ( ) lim ( ) n 1 f a f a n f a n → + − = 且当 n 充分大时 1 f a( ) 0 n + ．故 1 ( ) lim[ ] ( ) n n f a n → f a + = 1 ( ) exp{lim ln } ( ) n f a n n → f a + = 1 ( ) ( ) exp{lim ln[1 ]} ( ) n f a f a n n → f a + − + = 1 ( ) ( ) exp{lim } ( ) n f a f a n n → f a + − = 1 ( ) ( ) 1 exp{lim } 1 ( ) n f a f a n f a n → + − = ( ) exp{ } ( ) f a f a ． 注 此题用到当 x → 0 时， ln(1 ) + x x ． 例 12 讨论函数 f x x x x ( ) | ( 1) | = − 的可导性．
分析了x)的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上∫)为分段函数 解法1由xx-1)≥0可得x≥1或x≤0，由xx-1)晚<0 2x-3x,0<x<1 因为 m0-0, x-0 0-e-0, 所以《(0)=0，即f(x)在x=0处可导.而 x-1 0- x-1 则f(x)在x=1处不可导 综上所述fx)在x=1处不可导，fx)在(-o,UL,+)上均可导. 解法2依题意，fx)=x√F·√-是初等函数，且仅在x=0和x=1处可能不可 导.故只需讨论在这两点的情形 (1)x=0时，由于 故f"(0)=0. (2)x=1时，由于 一-不存在， x-1 故fx)只在x=1处不可导，在(-，U0,+∞)上均可导。 解法3由于 fx)=xxx-)xxx-1川 由导数定义可知，|x在x=0处不可导，而xx在x=0处一阶可导，因此，xx在任意点 处均可导，再只需考查x-川的可导性。由导数定义可知，Ix-1川仅仅在x=1处不可导，故 fx)仅在x=1处不可导，在(-o,1)UL,+∞)上均可导. 倒13设/)=吧2+-。，讨论国的可导性. 分析先应求出f(x)的表达式.本质上f(x)为分段函数. 解由于
分析 f x( ) 的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上 f x( ) 为分段函数． 解法 1 由 x x( 1) 0 − 可得 x 1 或 x 0 ．由 x x( 1) 0 − 得 0 1 x ．于是 3 2 2 3 , 1 0 ( ) , 0 1 x x x x f x x x x − = − 或 ， 可求得 2 2 3 2 , 1 0 ( ) 2 3 , 0 1 x x x x f x x x x − = − 或 ， 因为 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → + − − = 2 3 0 lim x x x x → + − = 0 ， 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → − − − = 3 2 0 lim 0 x x x x → − − = ， 所以 f (0) 0 = ，即 f x( ) 在 x = 0 处可导．而 1 ( ) (1) lim x 1 f x f x → + − − = 3 2 1 lim x 1 x x x → + − − =1， 1 ( ) (1) lim x 1 f x f x → − − − = 2 3 1 lim x 1 x x x → − − − = −1， 则 f x( ) 在 x = 1 处不可导． 综上所述 f x( ) 在 x = 1 处不可导， f x( ) 在 ( ,1) (1, ) − + 上均可导． 解法 2 依题意， 2 2 f x x x x ( ) ( 1) = − 是初等函数，且仅在 x = 0 和 x = 1 处可能不可 导．故只需讨论在这两点的情形． （1） x = 0 时，由于 0 | | | 1| lim 0 x 0 x x x → x − = − ， 故 f (0) 0 = ． （2） x = 1 时，由于 1 | | | 1| lim x 1 x x x → x − − 不存在， 故 f x( ) 只在 x = 1 处不可导，在 ( ,1) (1, ) − + 上均可导． 解法 3 由于 f x x x x x x x ( ) | ( 1) | | | | 1| = − = − ， 由导数定义可知， | | x 在 x = 0 处不可导，而 x x| | 在 x = 0 处一阶可导，因此， x x| | 在任意点 处均可导，再只需考查 | 1| x − 的可导性．由导数定义可知， | 1| x − 仅仅在 x = 1 处不可导，故 f x( ) 仅在 x = 1 处不可导，在 ( ,1) (1, ) − + 上均可导． 例 13 设 2 ( ) lim 2 tx t x f x →+ x e = + − ，讨论 f x( ) 的可导性． 分析 先应求出 f x( ) 的表达式．本质上 f x( ) 为分段函数． 解 由于
[+0.x>0 ime产=x=0 0,x0或x1 fx)=1,-1sx≤1， x<-1 则 0=0=9. 故x=1为不可导点.同理x=-1也为不可导点。故选C, 例15设F(x)=max{(x,5(x)的定义域为(-1，)，其中 f(x)=x+1,万5x)=(x+1P, 试讨论F(x)的可导性.若可导，求其导数 分析本质上F(x)是分段函数即 x),f(x)25(x) 由此可知需先解出不等式
, 0 lim 1, 0 0, 0 tx t x e x x →+ + = = ， 则有 2 0, 0 ( ) , 0 2 x f x x x x = + ． 显然当 x 0 或 x 0 时，函数 f x( ) 可导．下面讨论 x = 0 时 f x( ) 的可导性．由于 f (0) + = 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → + − − = 0 0 0 lim x x → + − = 0 ， f (0) − = 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → − − − = 2 0 0 2 lim x x x x → − − + = 1 2 ， 于是 f (0) + f (0) − ，从而可知 f x( ) 仅在 x = 0 处不可导． 例 14（05 研） 设函数 3 ( ) lim 1 | | n n n f x x → = + ，则 f x( ) 在 ( , ) − + 内（ ）． A．处处可导． B．恰有一个不可导点． C．恰有两个不可导点． D．至少有三个不可导点． 解 由于 3 ( ) lim 1 | | n n n f x x → = + = 1 3 3 lim[| | (1 | | )] n n n n x x − → + = 1 3 3 lim | | (1 | | ) n n n x x − → + 易求得 3 3 , 1 ( ) 1, 1 1 , 1 x x f x x x x = − − − ， 则 3 1 0 ( ) (1) 1 (1) lim lim 3 x x 1 1 f x f x f x x + → → + + − − = = = − − ， 1 1 ( ) (1) 1 1 (1) lim lim 0 x x 1 1 f x f f x x − → → − − − − = = = − − ， 故 x = 1 为不可导点．同理 x =−1 也为不可导点．故选 C． 例 15 设 1 2 F x f x f x ( ) max{ ( ), ( )} = 的定义域为 ( 1, 1) − ，其中 1 f x x ( ) 1 = + ， 2 2 f x x ( ) ( 1) = + ， 试讨论 F x( ) 的可导性．若可导，求其导数． 分析 本质上 F x( ) 是分段函数即 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) f x f x f x F x f x f x f x = ， 由此可知需先解出不等式
25国与1' 解显然当x>1及x<1时，fx)可导，故要使f)为可导函数，只需使其在x=1处 可导.由可导与连续的关系，应该首先选择a,b,使其在x=-1连续。因 f四=e,ft)=e,f)=a+b 故当a+b=e即b=e-a时，fx)在x=l连续.又 x-1 0=▣0-=+e 因此当a=2e,b=-e时，f)存在，从而f)为可导函数. 例17设fx)=sinx,x)=x2.求fp'(x,fIx,fo(x. 分析三个函数中都有导数记号，其中几'(x】表示函数(x)对x求导，求得'(x)后 再与f复合：fLo(x】表示函数∫对p(x)求导，即f(u)对u求导，而u=x):[f(x表
1 2 ( ) ( ) 1 1 f x f x x − 与 1 2 ( ) ( ) 1 1 f x f x x − ． 解 由 1 2 ( ) ( ) 1 1 f x f x x − 即 2 1 ( 1) 1 1 x x x + + − 解得 − 1 0 x ，此时 F x x ( ) 1 = + ． 而由 1 2 ( ) ( ) 1 1 f x f x x − 即 2 1 ( 1) 1 1 x x x + + − 解得 0 1 x ，此时 2 F x x ( ) (1 ) = + ．则有 2 1 , 1 0 ( ) (1 ) , 0 1 x x F x x x + − = + 且 1, 1 0 '( ) 2(1 ), 0 1 x F x x x − = + 当 x = 0 时， 0 ( ) (0) lim x 0 F x F x → + − − = 2 0 (1 ) 1 lim x x x → + + − = 2 ， 0 ( ) (0) lim x 0 F x F x → − − − = 0 (1 ) 1 lim x x x → − + − =1， 即 F F (0) (0) + − ，所以 F x( ) 在 x = 0 处不可导．故 1, 1 0 ( ) 2(1 ), 0 1 x F x x x − = + ． 例 16 设函数 2 1 ( ) 1 x e x f x ax b x = + ，若要 f x( ) 为可导函数，应如何选择 a b, ？ 解 显然当 x 1 及 x 1 时， f x( ) 可导，故要使 f x( ) 为可导函数，只需使其在 x = 1 处 可导．由可导与连续的关系，应该首先选择 a b, ，使其在 x = 1 连续．因 f e (1) = ， f e (1 ) − = ， f a b (1 ) + = + ， 故当 a b e + = 即 b e a = − 时， f x( ) 在 x = 1 连续．又 2 2 1 2 1 1 1 1 ( ) (1) 1 1 (1) lim lim lim lim 2 1 1 1 1 x x x x x x f x f e e e x f e e e x x x x − − − − − − → → → → − − − − = = = = = − − − − ， 1 1 1 ( ) (1) ( ) (1) lim lim lim x x x 1 1 1 f x f ax b e ax e a e f a x x x + → → → + + + − + − + − − = = = = − − − ， 因此当 a e b e = = − 2 , 时， f (1) 存在，从而 f x( ) 为可导函数． 例 17 设 f x x ( ) sin = ， 2 ( )x x = ．求 f x [ ( )] ， f x [ ( )] ，[ ( ( ))] f x ． 分析 三个函数中都有导数记号，其中 f x [ ( )] 表示函数 ( ) x 对 x 求导，求得 ( ) x 后 再与 f 复合； f x [ ( )] 表示函数 f 对 ( ) x 求导，即 f u( ) 对 u 求导，而 u x =( ) ； [ ( ( ))] f x 表
示复合函数几(x)关于自变量x求导。 解f(x)=c0sx,p(x)=2x.则 f几p'(x】=f2x)=sin2r,f"Tox]=cosx2， 以及 Lf(o(x)=JTo(x)]-o(x)=2xcosx2 例18设y=如(n5.求安 分析本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利用微分的形式不变性先求出山， 然后可得朵 解法1直接由复合函数求号法则，令：=m,-上血，则 =2u.cosv.Inx-2 =nx-2m2n5. 2 解法2利用一阶微分的形式不变性 dy=dsin(n)=2sin-Indsin(n -2sin(-n)co(n2.sin2(-n 例19设y=r+d+,a>0.求安 分析x为幂函数：a为指数函数与幂函数复合而成的函数：而a也为复合函数 它是指数函数与指数函数复合而成的函数。 解来=y+(ay+(y=d+erwy+ey =a.x-+a".Ina-(x"Y'+a".Ina.(a'y =a.x+a".alna.x+a".a'.(Ina) =a.x-+ax.a".Ina+(Ina).a. 例20若p'(x)存在，y=p(scc)+arcsinx.求d 分桥可以先求出会也可利用微分的形式不安性求卧微分
示复合函数 f x [ ( )] 关于自变量 x 求导． 解 f x x ( ) cos = ，( ) 2 x x = ．则 f x [ ( )] = f x (2 ) = sin 2x ， f x [ ( )] = 2 cos x ， 以及 [ ( ( ))] f x = f x x [ ( )] ( ) = 2 2 cos x x ． 例 18 设 2 1 ln sin ( ) x y x − = ．求 dy dx ． 分析 本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利用微分的形式不变性先求出 dy ， 然后可得 dy dx ． 解法 1 直接由复合函数求导法则，令 u v = sin ， 1 ln x v x − = ，则 dy dx = dy du dv du dv dx = 2 ln 2 2 cos x u v x − = 2 ln 2 1 ln sin 2( ) x x x x − − ． 解法 2 利用一阶微分的形式不变性 dy = 2 1 ln sin ( ) x d x − = 1 ln 1 ln 2sin( ) sin( ) x x d x x − − = 1 ln 1 ln 1 ln 2sin( )cos( ) ( ) x x x d x x x − − − = 2 ln 2 1 ln sin 2( ) x x dx x x − − 故 dy dx = ln 2 1 ln sin 2( ) 2 x x x x − − ． 例 19 设 a a x a x a y x a a = + + ， a 0 ．求 dy dx ． 分析 a a x 为幂函数； a x a 为指数函数与幂函数复合而成的函数；而 x a a 也为复合函数， 它是指数函数与指数函数复合而成的函数． 解 dy dx = ( ) ( ) ( ) a a x a x a x a a + + = 1 ln ln ( ) ( ) a a x a a x a a a a x e e − + + = 1 ln ( ) ln ( ) a a x a a x a a x a x a a x a a a − + + = 1 1 2 ln (ln ) a a x a a x a a x a x a a a x a a a − − + + = 1 1 2 ln (ln ) a a x a a a x a x a x ax a a a a − − + + + ． 例 20 若 ( ) x 存在， 2 y x x = + (sec ) arcsin ．求 dy ． 分析 可以先求出 dy dx ，也可利用微分的形式不变性求一阶微分．
解法1安=+己2p6od动-0rmx+不京 所以 -pi小+热 解法2山=dooc2刘+acn对d(soi2x+darcsin.x=06ec产d+二 例21设f(cosx)=c0s2x.求∫(x). 解法1在∫(cosx)=cos2x的两边微分，得 f(cosx)d cosx=-2sin2xx, f"(cosx).(-sin x)d=-4sinxcosxdx 化简得 f(cosx)=4cosx. 令c0sx=1,则∫0=41.于是可得 f(x)=4x,Ix1. 解法2由于 f(cosx)=cos2x=2cos2x-1, 于是 fx)=2x2-1,其中x1 域 例2设y=sim)且了有=阶导数.求 解y'=cosf(x2)fx2)2x=2x·fx2)c0sfx2), y=2f(x)-cosf(x)+2x.(x).2x-cosf(x)+2x.f(x)-[-sin/(x)]f(x).2x -2f(x)-cosf(x)+4x.f(x)-cosf(x)-4x2.U()F.sinf(x). 例23已知函数fx)具有任意阶导数且∫"(x)=(x).则当n为大于2的正整数时 x)是(). A.n[f(x).B.n[f(x)C.[f(x).D.nf(x). 分析已知f(x)=[fx.应求出f(x),(x),.用数学归纳法推出n阶导数. 解当n≥2时，f(x)=[fx,f"(x)=2fx)f"(x)=2[fx,以及 (x)=2x3[fx).f"(x)=1×2×3[fx=3[fx, (x)=(n-1[f(x=[fx.fx)=h[fx)m.故选B
解法 1 dy dx = 2 2 2 1 (sec )(sec ) 1 x x x + − = 2 2 2 1 2 (sec ) sec tan 1 x x x x + − ， 所以 dy = 2 2 2 1 [2 (sec ) sec tan ] 1 x x x dx x + − ． 解法 2 dy = 2 d x x [ (sec ) arcsin ] + = 2 d x d x (sec ) arcsin + = 2 2 2 (sec ) sec 1 dx x d x x + − = 2 2 2 1 [2 (sec ) sec tan ] 1 x x x dx x + − ． 例 21 设 f x x (cos ) cos2 = ．求 f x ( ) ． 解法 1 在 f x x (cos ) cos2 = 的两边微分，得 f x d x xdx (cos ) cos 2sin 2 = − ， 即 f x x dx x xdx (cos ) ( sin ) 4sin cos − = − ， 化简得 f x x (cos ) 4cos = ． 令 cos x t = ，则 f t t ( ) 4 = ．于是可得 f x x ( ) 4 = ，| | 1 x ． 解法 2 由于 2 f x x x (cos ) cos2 2cos 1 = = − ， 于是 2 f x x ( ) 2 1 = − ，其中 | | 1 x ． 所以 f x x ( ) 4 = ，| | 1 x ． 注 本题作变换 t x = cos ，则要求 | | 1 t ．故在最后需指明 { | 1 1} x x − 是 f x ( ) 的定义 域． 例 22 设 2 y f x = sin ( ) 且 f 有二阶导数．求 2 2 d y dx ． 解 y = 2 2 cos ( ) ( ) 2 f x f x x = 2 2 2 ( ) cos ( ) x f x f x ， y = 2 2 2 2 2 ( ) cos ( ) 2 ( ) 2 cos ( ) f x f x x f x x f x + 2 2 2 + − 2 ( ) [ sin ( )] ( ) 2 x f x f x f x x = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) cos ( ) 4 ( ) cos ( ) 4 [ ( )] sin ( ) f x f x x f x f x x f x f x + − ． 例 23 已知函数 f x( ) 具有任意阶导数且 2 f x f x ( ) [ ( )] = ．则当 n 为大于 2 的正整数时 ( ) ( ) n f x 是（ ）． A． 1 [ ( )]n n f x + ． B． 1 ! [ ( )]n n f x + ． C． 2 [ ( )] n f x ． D． 2 ! [ ( )] n n f x ． 分析 已知 2 f x f x ( ) [ ( )] = ．应求出 f x ( ) ， (3) f x( ) ， ．用数学归纳法推出 n 阶导数． 解 当 n 2 时， 2 f x f x ( ) [ ( )] = ， f x ( ) = 2 ( ) ( ) f x f x = 3 2 [ ( )] f x ，以及 (3) f x( ) = 2 2 3 [ ( )] ( ) f x f x = 4 1 2 3 [ ( )] f x = 4 3! [ ( )] f x ， ， ( ) ( ) n f x = ( 1)! [ ( )] n n f x − = 1 ! [ ( )] '( ) n n f x f x − = 1 ! [ ( )]n n f x + ．故选 B．