第十一章 微分方程与差分方程 一、知识结构图与学习要求 (一)知识结构图 基本概念 可分离变量方程 齐次方程 一阶方程 线性方程 常微分方程 伯努利方程 、全微分方程 可降阶方程 高阶方程 齐次线性方程 线性方程 非齐次线性方程 欧拉方程 偏微分方程 (二)学习要求 1.了解常微分方程及其解、通解、阶、初始条件和特解等基本概念. 2.熟练掌握一阶微分方程的解法（可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分 方程、全微分方程)，会用简单的变量代换求解某些微分方程. 3.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会用降阶法解下列三种类型的方程： y=fx),y=fx,和y'=fy 4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性 微分方程. 5.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶 常系数非齐次线性微分方程，会解欧拉方程。 6.会用微分方程解决一些简单的应用问题
第十一章 微分方程与差分方程 一、知识结构图与学习要求 （一）知识结构图 （二）学习要求 1．了解常微分方程及其解、通解、阶、初始条件和特解等基本概念． 2．熟练掌握一阶微分方程的解法（可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分 方程、全微分方程），会用简单的变量代换求解某些微分方程． 3．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会用降阶法解下列三种类型的方程： ( ) ( ) n y f x = ， y f x y = ( , ) 和 y f y y = ( , ) ． 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性 微分方程． 5．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶 常系数非齐次线性微分方程，会解欧拉方程． 6．会用微分方程解决一些简单的应用问题． 微 分 方 程 偏微分方程 可分离变量方程 线性方程 常微分方程 高阶方程 伯努利方程 一阶方程 齐次方程 齐次线性方程 可降阶方程 线性方程 欧拉方程 非齐次线性方程 全微分方程 基本概念
二、内容提要 (一)微分方程的基本概念 1.凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未 知函数是一元函数的，叫做常微分方程.未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程 2.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶 3.如果一个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，则称这个函数为微分方程的 解.如果微分方程的解中所含的独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，那么此解称为微 分方程的通解。确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。 4.求微分方程y=fx,)满足初始条件yL,=%的特解，叫做一阶微分方程的初值问 题，记作 [y=f(x.y) y儿=% 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，以上初值问题的几何意义就是 求微分方程的通过定点（化%）的积分曲线。 (二)一阶方程 1.可分离变量的微分方程 一般地，如果一个一阶微分方程能写成gy)=(x)的形式，那么原方程就称为可 分离变量的微分方程，这类方程只需要在g=fx)达两边同时积分即可求解。这是微 分方程中最基本的类型， 2.齐次方程 如果一阶微分方程虫=：)中的函数x,)可写成兰的函数，即f化列=白，则 d 称该方程为齐次方程. 求解齐次方程，通常作变换山=二，即y=心，并对其两端关于x求导得 代入隙方程，原方程即可化为可分离变量方程，求出此可分离变量方程的通解后，以上代 替“，即可得到原方程的通解。 3.一阶线性微分方程 (I)形如少+P(xy=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程 dx a.如果(x)=0,则该方程称为齐次的，此时方程属于可分离变量的微分方程，求解
二、内容提要 （一）微分方程的基本概念 1．凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程．未 知函数是一元函数的，叫做常微分方程．未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程． 2．微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶． 3．如果一个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，则称这个函数为微分方程的 解．如果微分方程的解中所含的独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，那么此解称为微 分方程的通解．确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解． 4．求微分方程 y f x y = ( , ) 满足初始条件 0 0 | x x y y = = 的特解，叫做一阶微分方程的初值问 题，记作 0 0 ( , ) | x x y f x y y y = = = ， 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，以上初值问题的几何意义就是 求微分方程的通过定点 0 0 ( , ) x y 的积分曲线． （二）一阶方程 1．可分离变量的微分方程 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 g y dy f x dx ( ) ( ) = 的形式，那么原方程就称为可 分离变量的微分方程，这类方程只需要在 g y dy f x dx ( ) ( ) = 两边同时积分即可求解．这是微 分方程中最基本的类型． 2．齐次方程 如果一阶微分方程 ( , ) dy f x y dx = 中的函数 f x y ( , ) 可写成 y x 的函数，即 ( , ) ( ) y f x y x = ，则 称该方程为齐次方程． 求解齐次方程，通常作变换 y u x = ，即 y ux = ，并对其两端关于 x 求导得 dy du u x dx dx = + ， 代入原方程，原方程即可化为可分离变量方程，求出此可分离变量方程的通解后，以 y x 代 替 u ，即可得到原方程的通解． 3．一阶线性微分方程 （1）形如 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = 的方程叫做一阶线性微分方程． a．如果 Q x( ) 0 ，则该方程称为齐次的，此时方程属于可分离变量的微分方程，求解
得y=Ce咖（此处用Pr太表示Px)的某个确定的原函数）： b.如果(x)不恒等于零，则该方程称为非齐次的，利用常数变易法可求该非齐次线性 方程的通解。用常数变易法求女+P(沙=Q)通解的一般步骤如下： 第一步，求出会+Pey=0的通解y=C, 第二步：变易常数，即令y=Cxea是虫+Py=C)的解 第三步：将y=Ceh代入办+P=Q,求出 Co)=foure+c: 第四步：将C)=「Q(xe本+C代入y=C(xePa恤中即可得到一阶线性非齐次方 程密+P代wy=Q)的通解为 y=era恤((xex+C. 约定本章中出现的C,如果未加说明均指任意常数. (2)形如央+P=Qxy(a≠0)的方程称为伯努利((Bernou1li)方程，当n=0 或1时，方程是线性微分方程. 伯努利方程的求解：令：=)一得安=1-小少一会，原方程即可化为一阶线性方程 表+0-nr=-nQ 求出该方程的通解，再将：=y代入即得到该伯努利方程的通解。 4.全微分方程 (1)若一阶微分方程P(x,)达+(x,y)=0的左端恰好是某一个函数u=4(x,)的全 微分，即dx,y)=Px,y体+Q(x,y,则该方程叫做全微分方程.因此，x)=C是全 微分方程的隐式通解。 (2)当P(x,y),Qx,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数时，则方程 P(x.y)dx+(x.y)dy=0 为全微分方程的无要条件是器一器在区线G内恒成立 (3)求全微分方程的通解有如下三种常用方法， 方法1利用方程P(x,y)d+Q(x,y)d=0在单连通域G内是全微分方程的充要条件是 架-器。即自线积分达+冰在率连道城G内与积分路径无关，得
得 P x dx ( ) y Ce− = （此处用 P x dx ( ) 表示 P x( ) 的某个确定的原函数）； b．如果 Q x( ) 不恒等于零，则该方程称为非齐次的，利用常数变易法可求该非齐次线性 方程的通解．用常数变易法求 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = 通解的一般步骤如下： 第一步：求出 ( ) 0 dy P x y dx + = 的通解 P x dx ( ) y Ce− = ； 第二步：变易常数，即令 ( ) ( ) P x dx y C x e− = 是 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = 的解； 第三步：将 ( ) ( ) P x dx y C x e− = 代入 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = ，求出 ( ) ( ) ( ) P x dx C x Q x e dx C = + ； 第四步：将 ( ) ( ) ( ) P x dx C x Q x e dx C = + 代入 ( ) ( ) P x dx y C x e− = 中即可得到一阶线性非齐次方 程 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = 的通解为 ( ) ( ) ( ( ) ) P x dx P x dx y e Q x e dx C − = + ． 约定 本章中出现的 C ，如果未加说明均指任意常数． （2）形如 ( ) ( ) ( 0,1) dy n P x y Q x y n dx + = 的方程称为伯努利（Bernoulli）方程，当 n = 0 或 1 时，方程是线性微分方程． 伯努利方程的求解：令 1 n z y − = 得 (1 ) dz dy n n y dx dx − = − ，原方程即可化为一阶线性方程 (1 ) ( ) (1 ) ( ) dz n P x z n Q x dx + − = − ， 求出该方程的通解，再将 1 n z y − = 代入即得到该伯努利方程的通解． 4．全微分方程 （1）若一阶微分方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 的左端恰好是某一个函数 u u x y = ( , ) 的全 微分，即 du x y P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) = + ，则该方程叫做全微分方程．因此， u x y C ( , ) = 是全 微分方程的隐式通解． （2）当 P x y ( , )，Q x y ( , ) 在单连通域 G 内具有一阶连续偏导数时，则方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 为全微分方程的充要条件是 P Q y x = 在区域 G 内恒成立． （3）求全微分方程的通解有如下三种常用方法． 方法 1 利用方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 在单连通域 G 内是全微分方程的充要条件是 P Q y x = ，即曲线积分 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy + 在单连通域 G 内与积分路径无关，得
ux,y)=∫”Pk+Q=Px,d+∫广x,y 或者 xy=∫广Qy冰+∫广Px 其中(，%)为G内任一定点. 方法2设dM=Px,y冰+Qx,y,则 .)u) x y 在”-列两边积分得 ux,y）=P(x.y)d+y), 而由，》=Qx,列可得 =》k+p0, dy 由此式解出')，积分得0).从而求出函数(x,y), 同理，也可以先由M》=Qx列求得 y x,y)=∫x,yd+() 再由x2=Px,)和上式得 PW-=∫”+o: 解出D(x),积分求得(x),从而可求出函数(x,y). 方法3把P(x,y)+Qx,y冲=0左边凑微分凑成Px,y)本+Qx,y)d=d,则 x,)=C即为所求的通解 (4)当方程P(x,yd+Qx,y=0不是全微分方程，这时如果存在一个适当的函数 4=(x)(4x,)≠0)使4(x,)P(x,)+x,yOx,y)d=0是全微分方程，则称函数 (x,)为该方程的积分因子.求积分因子一般此较困难，积分因子如果存在则不唯一，因 而通解可能具有不同的形式. 常见的一些凑微分公式 xdy+ydx=d(xy), xdx+ydy=d(x+y), -达=白
0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y x y u x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy = + = + 或者 u x y ( , ) 0 0 0 ( , ) ( , ) y x y x = + Q x y dy P x y dy ， 其中 0 0 ( , ) x y 为 G 内任一定点． 方法 2 设 du P x y dx Q x y dy = + ( , ) ( , ) ，则 ( , ) ( , ) u x y P x y x = ， ( , ) ( , ) u x y Q x y y = ， 在 ( , ) ( , ) u x y P x y x = 两边积分，得 u x y P x y dx y ( , ) ( , ) ( ) = + ， 而由 ( , ) ( , ) u x y Q x y y = 可得 ( , ) ( , ) [ ( , ) ( )] u x y Q x y P x y dx y y y = = + ( , ) ( ) P x y dx y y = + ， 由此式解出 ( ) y ，积分得 ( ) y ．从而求出函数 u x y ( , ) ． 同理，也可以先由 ( , ) ( , ) u x y Q x y y = 求得 u x y Q x y dy x ( , ) ( , ) ( ) = + ， 再由 ( , ) ( , ) u x y P x y x = 和上式得 ( , ) ( , ) ( ) Q x y P x y dy x x = + ， 解出 ( ) x ，积分求得 ( ) x ，从而可求出函数 u x y ( , ) ． 方法 3 把 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 左边凑微分凑成 P x y dx Q x y dy du ( , ) ( , ) + = ，则 u x y C ( , ) = 即为所求的通解． （4）当方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 不是全微分方程，这时如果存在一个适当的函数 = ( , ) ( ( , ) 0) x y x y 使 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y P x y dx x y Q x y dy + = 是全微分方程，则称函数 ( , ) x y 为该方程的积分因子．求积分因子一般比较困难，积分因子如果存在则不唯一， 因 而通解可能具有不同的形式． 常见的一些凑微分公式 xdy ydx d xy + = ( )， 1 2 2 ( ) 2 xdx ydy d x y + = + ， 2 2 2 2 1 ln( ) 2 xdx ydy d x y x y + = + + ， 2 ( ) xdy ydx y d x x − =
二地=， :*-m3 - r-V -达=dn宁， 2-广达= r 29-边=a月 y (三)可降阶的高阶微分方程 下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法. 1.=fx)型的微分方程 对此方程两边连续积分”次，每积分一次增加一个任意常数，便得此方程的含有n个任 意常数的通解. 2.y=fx,y型的微分方程 此方程的特点是方程中不显含，设y=P:则有)广=安=p,那么原方程转化为一 阶方程p=fx,P),这是关于x、p的一阶微分方程，求出其通解p=(x,C),即得到另 一个一阶方程y=(x,C),两边积分即可得到原方程的通解为y=∫(x,C+C,其中C, C,是任意常数. 3.y=fy,y型的微分方程 此方程的特点是方程中不显含自变量x,令y=P,则有 密等盘喘 原方程转化为P尖=心P小，这是关于变量)小、P的一阶微分方程，设求出的通解为 y=P=y,C),此方程为变量可分离的方程，分离变量然后积分即可得到原方程的通解为 高。+G,共中G、G是任意落数 (四)高阶线性微分方程 1.线性微分方程的解的结构 (1)对于二阶齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=0有如下结论： 定理1如果y(x)与y,(x)是该齐次线性方程的两个解，那么y=Cy,(x)+Cy,(x)也是 该齐次线性方程的解，其中C、C是任意常数 齐次线性方程的这个性质称为解的叠加原理
2 ( ) xdy ydx x d y y − = − ， 2 2 (arctan ) xdy ydx y d x y x − = + ， 2 2 1 ( ln ) 2 xdy ydx x y d x y x y − + = − − ， (ln ) xdy ydx y d xy x − = ， 2 2 2 2 ( ) xydy y dx y d x x − = ， 2 2 2 2 ( ) xydx x dy x d y y − = ． （三）可降阶的高阶微分方程 下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法． 1． ( ) ( ) n y f x = 型的微分方程 对此方程两边连续积分 n 次，每积分一次增加一个任意常数，便得此方程的含有 n 个任 意常数的通解． 2． y f x y = ( , ) 型的微分方程 此方程的特点是方程中不显含 y ，设 y p = ，则有 dp y p dx = = ，那么原方程转化为一 阶方程 p f x p = ( , ) ，这是关于 x 、 p 的一阶微分方程，求出其通解 1 p x C = ( , ) ，即得到另 一个一阶方程 1 y x C = ( , ) ，两边积分即可得到原方程的通解为 1 2 y x C dx C = + ( , ) ，其中 C1 、 C2 是任意常数． 3． y f y y = ( , ) 型的微分方程 此方程的特点是方程中不显含自变量 x ，令 y p = ，则有 dp dp dy dp y p dx dy dx dy = = = ， 原方程转化为 ( , ) dp p f y p dy = ，这是关于变量 y 、 p 的一阶微分方程，设求出的通解为 1 y p y C = = ( , ) ，此方程为变量可分离的方程，分离变量然后积分即可得到原方程的通解为 2 1 ( , ) dy x C y C = + ，其中 C1 、C2 是任意常数． （四）高阶线性微分方程 1．线性微分方程的解的结构 （1）对于二阶齐次线性微分方程 y P x y Q x y + + = ( ) ( ) 0 有如下结论： 定理 1 如果 1 y x( ) 与 2 y x( ) 是该齐次线性方程的两个解，那么 1 1 2 2 y C y x C y x = + ( ) ( ) 也是 该齐次线性方程的解，其中 C1 、C2 是任意常数． 齐次线性方程的这个性质称为解的叠加原理．
定理2如果（田）与，(：)是该齐次线性方程的两个线性无关的特解，则 y=C()+Cy(x)(C、C,是任意常数) 是该齐次线性方程的通解。 相应于定理2，对于阶齐次线性方程有如下推论： 推论如果y()、为，(x)、.(x)是n阶齐次线性微分方程 y+a(x)+.+a(x)y+a.(x)y=0 的n个线性无关的解，那么此方程的通解为y=C(x)+C,()+.+C.(x),其中C,C ,C,为任意常数。 (2)对于二阶非齐次线性方程y+P(xy+O(xy=f)(其中fx)≠0)，有如下定 理成立： 定理3设(x)与y,(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=fx)的两个特解， 则y(x)-(x)是二阶齐次线性微分方程y+Px)y+Qxy=0的一个特解 定理4设片()是二阶齐次线性微分方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 的一个特解.而，(x)是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y'+Q(x)y=f(x) 的一个特解，则y(x)+片(x)是二阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y'+Q(x)y=f(x) 的一个特解. 定理5设y*(x)是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y'+Q(x)y=f(x) 的一个特解，Y(x)是该二阶非齐次线性方程对应的齐次方程的通解，那么 y=Y(x)+y*(x) 是该二阶非齐次线性方程的通解. 定理6设二阶非齐次线性方程的右端fx)是几个函数之和，例如 y+P(x)y'+Q(x)y=f(x)+(x), 而(x)与，(x)分别是方程 y+P(x)y'+Q(x)y=f(x),y+P(x)y'+Q(x)y=f(x), 的特解，那么()+片(x)是方程y+P(x)y+O(xy=x)+(x)的特解
定理 2 如果 1 y x( ) 与 2 y x( ) 是该齐次线性方程的两个线性无关的特解，则 1 1 2 2 y C y x C y x = + ( ) ( ) （ C1 、C2 是任意常数） 是该齐次线性方程的通解． 相应于定理 2，对于 n 阶齐次线性方程有如下推论： 推论 如果 1 y x( )、 2 y x( ) 、 、 ( ) n y x 是 n 阶齐次线性微分方程 ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 n n n n y a x y a x y a x y − − + + + + = 的 n 个线性无关的解，那么此方程的通解为 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n y C y x C y x C y x = + + + ，其中 C1 ，C2 ， ， Cn 为任意常数． （2）对于二阶非齐次线性方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) （其中 f x( ) 0 ），有如下定 理成立： 定理 3 设 1 y x( ) 与 2 y x( ) 是二阶非齐次线性方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的两个特解， 则 1 2 y x y x ( ) ( ) − 是二阶齐次线性微分方程 y P x y Q x y + + = ( ) ( ) 0 的一个特解． 定理 4 设 1 y x( ) 是二阶齐次线性微分方程 y P x y Q x y + + = ( ) ( ) 0 的一个特解．而 2 y x( ) 是二阶非齐次线性方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解，则 1 2 y x y x ( ) ( ) + 是二阶非齐次线性微分方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解． 定理 5 设 y x *( ) 是二阶非齐次线性方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解， Y x( ) 是该二阶非齐次线性方程对应的齐次方程的通解，那么 y Y x y x = + ( ) *( ) 是该二阶非齐次线性方程的通解． 定理 6 设二阶非齐次线性方程的右端 f x( ) 是几个函数之和，例如 1 2 y P x y Q x y f x f x + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ， 而 1 y x( ) 与 2 y x( ) 分别是方程 1 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( )， 2 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) ， 的特解，那么 1 2 y x y x ( ) ( ) + 是方程 1 2 y P x y Q x y f x f x + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 的特解．
该定理通常称为非齐次线性微分方程解的叠加原理.定理5与定理6也可以推广到n阶 非齐次线性微分方程。 2.常系数齐次线性微分方程 (1)二阶常系数齐次线性方程 a.称方程y'+四+y=0(其中p、q是常数)为二阶常系数齐次线性方程.方程 P2+m+q=0叫做方程y++y=0的特征方程，其中2、r的系数及常数项恰好依次 是该齐次方程中y,y及y的系数 b.求二阶常系数齐次线性微分方程y++=0的通解的步骤： 第一步：写出该齐次方程的特征方程2+pr+q=0: 第二步：求出以上特征方程的两个根与5： 第三步：根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出该齐次方程的通解 特征方程产+pr+q=0的根r,5微分方程y+四+D=0的通解 两不相等的实根， y=Ce+C.ehw 两相等的实根：=5 y=(C+Cx)e 对共轭复根2=a士iB y=e(C cos Bx+C sin Bx) (2)n阶常系数齐次线性微分方程 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 ++p.y=0, 其中A,P2,.,PP.都是常数，其对应的特征方程为： +p+P2++pr+.=0. 依据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程通解中的项： 特征方程的根 微分方程通解中的对应项 单实根r 给出一项：Ce 对单复根r=a士B 给出两项：e严(Bx+C,sin Bx) k重实根r 给出k项：e(G+Cx+C)
该定理通常称为非齐次线性微分方程解的叠加原理．定理 5 与定理 6 也可以推广到 n 阶 非齐次线性微分方程． 2．常系数齐次线性微分方程 （1）二阶常系数齐次线性方程 a．称方程 y py qy + + = 0 （其中 p 、 q 是常数）为二阶常系数齐次线性方程．方程 2 r pr q + + = 0 叫做方程 y py qy + + = 0 的特征方程，其中 2 r 、 r 的系数及常数项恰好依次 是该齐次方程中 y y '', ' 及 y 的系数． b．求二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy + + = 0 的通解的步骤： 第一步：写出该齐次方程的特征方程 2 r pr q + + = 0 ； 第二步：求出以上特征方程的两个根 1 r 与 2 r ； 第三步：根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出该齐次方程的通解． 特征方程 2 r pr q + + = 0 的根 1 2 r r, 微分方程 y py qy + + = 0 的通解 两不相等的实根 1 2 r r, 1 2 1 2 r x r x y C e C e = + 两相等的实根 1 2 r r = 一对共轭复根 1,2 r i = 1 1 2 ( ) r x y C C x e = +1 2 ( cos sin ) x y e C x C x = + （2） n 阶常系数齐次线性微分方程 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为： ( ) ( 1) ( 2) 1 2 1 0 n n n n n y p y p y p y p y − − − + + + + + = ， 其中 1 p , 2 p , 1 , , n n p p − 都是常数，其对应的特征方程为： 1 2 1 2 1 0 n n n n n r p r p r p r p − − + + + + + = − ． 依据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程通解中的项： 特征方程的根 微分方程通解中的对应项 单实根 r 给出一项： rx Ce 一对单复根 r i = 给出两项： 1 2 ( cos sin ) x e C x C x + k 重实根 r 给出 k 项： 1 2 ( rx e C C x + + . 1 ) k C xk −
给出2k项： 一对k重复根 e[(G+Cx+.+C)cosBx+ 2=a±iB (D+D.x++Dx)sin Bx] 特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，这样就得到阶常 系数齐次线性微分方程的通解：y=C出+C为++C 3.常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y+P四+四=∫x).求二阶常系数非齐 次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程y+四+少=0的通解和该非齐次方程本 身的一个特解.求二阶常系数齐次线性微分方程y'+四+4少=0的通解的问题在前面已经解 决，因此，只需讨论如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解y*,下面介绍当方 程y+四+=f)中fx)取两种常见形式时y*的求法，即特定系数法。 (1)fx)=e“Px)型 方程y+p四+少=fx)有形如y产=xQ(xe“的特解，其中k=0、1、2分别对应于刀 不是特征方程2+m+q=0的根、是特征方程r2+m+q=0的单根和是特征方程 2+pr+q=0的二重根，而Q.(x)和P.()同为m次多项式，其系数待定. (2)fx)=e“[(x)+P(x))sinx]a型 方程少+四+=fx)有形如 y='e[R.(x)cosox+S.(x)sinox] 的特解，其中k按1+o(或2-o)不是特征方程的根、或是特征方程的根依次取0或1 而R(x)与S(x)同为m次多项式，其中m=max,m. 4.欧拉方程 形如xym+pxy++P-y+py=fx)的方程（其中B,P,.,p.为常数） 叫做欧拉方程.作变换x=d或1=加x,，如果采用记号D表示对！的求导运算，则 x=DD-)(D-k+1y,将其代入上述欧拉方程，得到以1为自变量的常系数线性 微分方程： ADD-(D-k+y=fe),其中A=l 求得该方程的解后，将1=nx代入即得原方程的解
一对 k 重复根 1,2 r i = 给出 2k 项： 1 2 [( x e C C x + +. 1 )cos k C x x k − + + 1 2 (D D x + + . 1 )sin ] k D x x k − + 特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，这样就得到 n 阶常 系数齐次线性微分方程的通解： 1 1 2 2 n n y C y C y C y = + + + ． 3．常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为 y py qy f x + + = ( ) ．求二阶常系数非齐 次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程 y py qy + + = 0 的通解和该非齐次方程本 身的一个特解．求二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy + + = 0 的通解的问题在前面已经解 决，因此，只需讨论如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 y * ，下面介绍当方 程 y py qy f x + + = ( ) 中 f x( ) 取两种常见形式时 y * 的求法，即待定系数法． （1） ( ) ( ) x m f x e P x = 型 方程 y py qy f x + + = ( ) 有形如 * ( ) k x m y x Q x e = 的特解，其中 k = 0 、1、2 分别对应于 不是特征 方程 2 r pr q + + = 0 的根、是 特征方 程 2 r pr q + + = 0 的单根和是 特征方程 2 r pr q + + = 0 的二重根，而 ( ) Q x m 和 ( ) P x m 同为 m 次多项式，其系数待定． （2） ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x = + 型 方程 y py qy f x + + = ( ) 有形如 * [ ( )cos ( )sin ] k x m m y x e R x x S x x = + 的特解，其中 k 按 + i （或 − i ）不是特征方程的根、或是特征方程的根依次取 0 或 1， 而 ( ) R x m 与 ( ) m S x 同为 m 次多项式，其中 m l n = max{ , }． 4．欧拉方程 形如 ( ) 1 ( 1) 1 1 ' ( ) n n n n n n x y p x y p xy p y f x − − + + + + = − 的方程（其中 1 p ， 2 p ， ， n p 为常数） 叫做欧拉方程．作变换 t x e = 或 t x = ln ， 如果采用记号 D 表示对 t 的求导运算 d dt ，则 ( ) ( 1) ( 1) k k x y D D D k y = − − + ，将其代入上述欧拉方程， 得到以 t 为自变量的常系数线性 微分方程： 0 ( 1) ( 1) ( ) n t k k p D D D k y f e = − − + = ，其中 0 p =1， 求得该方程的解后，将 t x = ln 代入即得原方程的解．
(五)差分方程的基本概念 1.差分的概念与性质 (1)差分的概念 设函数y=)中的自变量t取所有的非负整数，并且记其函数值为少，则其值可以 排列成一个数列%，2，.，.，差 yu-y,=f(t+l)-f(t) 称为函数儿的差分，也称为一阶差分，记为以，即 4y=y-片=f1+1)-f0 阶差分就是一阶差分的差分，即 △2y,=△(Ay,)=△0y1-3,)=(0y2-y)-0y41-y,) =y+2-2yH+y 类似地，可以定义三阶差分、四阶差分以及更高阶的差分.把二阶及二阶以上的差分统 称为高阶差分，高阶差分的一般形式为 -Ci (2.3. 通常，△称为差分算子. (2)差分算子△的性质 性质1△()=0，(k为常数) 性质2设a,b为常数，则△@，±c,)=a4y士bL,】 性质3△)=仙y,(k为常数 性质4△0y)=,4y+y4上，=三4Ay,+y,△， 2.差分方程的概念 (1)含有未知函数差分或表示未知函数个时期值的符号的方程称为差分方程。其 般形式可以表示为
（五）差分方程的基本概念 1．差分的概念与性质 （1）差分的概念 设函数 y = f (t) 中的自变量 t 取所有的非负整数，并且记其函数值为 t y ，则其值可以 排列成一个数列 y0 , y1 , y2 , , yn , ，差 ( 1) ( ) 1 y y f t f t t+ − t = + − 称为函数 t y 的差分，也称为一阶差分，记为 t y ，即 ( 1) ( ) 1 y y y f t f t t = t+ − t = + − . 二阶差分就是一阶差分的差分，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 t t t t t t t t y = y = y − y = y − y − y − y + + + + t t t = y − y + y +2 2 +1 . 类似地，可以定义三阶差分、四阶差分以及更高阶的差分. 把二阶及二阶以上的差分统 称为高阶差分，高阶差分的一般形式为 t n t n t n t n y y y y 1 1 1 1 ( ) − + − − = = − 0 ( 1) n i i n t n i i C y + − = = − (n = 2, 3, ) 其中 !( )! ! i n i n C i n − = . 通常， 称为差分算子． （2）差分算子 的性质 性质 1 (k) = 0 ，( k 为常数) . 性质 2 设 a b, 为常数，则 ( ) t t t t ay bz = ay bz ． 性质 3 ( )t t ky = ky ，( k 为常数). 性质 4 t t t t t t t t t t y z = z y + y z = z y + y z +1 +1 ( ) . 2．差分方程的概念 （1）含有未知函数差分或表示未知函数 n 个时期值的符号的方程称为差分方程．其一 般形式可以表示为
Fy,y4.,yn)=0或GL,y-y.n)=0 或H0,4y.4.,△"y)=0】 (2)差分方程中含有未知函数差分的最高阶数或者说差分方程中未知函数下标的最大 值与最小值的差数，称为差分方程的阶。 (3)代入差分方程能使之成为恒等式的函数，称为差分方程的解。差分方程的解中含 有任意常数，且任意常数的个数等于差分方程的阶数，则称这类解为差分方程的通解.根据 一组给定条件能将通解中的任意常数确定出来，得到差分方程的一个解，称之为差分方程的 特解。能由通解确定特解的给定条件，称为初始条件 (六)一阶常系数线性差分方程 1.概念与性质 称形如-，=0(a≠0为常数)的方程为一阶常系数线性非齐次差分方程. 称-=0(a≠0为常数)为一阶常系数线性齐次差分方程 对于一阶常系数线性差分方程的解，有如下解的性质与结构定理： 定理1若Y为一阶常系数线性齐次差分方程儿一少，=0的解，则4化为该方程的通 解，其中A为任意常数. 定理2若1少为一阶常系数线性济次差分方程儿一=0的通解，广为非齐次差 分方程儿一心，=0的特解，则4化+片为该非齐次差分方程的通解。 定理3若片，片分别为一阶常系数线性非齐次差分方程 y-ay,=f(t)-ay,=f(t) 的特解，则元+片为一阶常系数线性非齐次差分方程1一a心，=+0的特解。 2。一阶常系数线性差分方程的求解 (1)一阶常系数线性齐次差分方程1一%，=0 该方程的特征方程为入-a=0,得特征根为几=a,则一阶常系数线性齐次差分方程 一四，=0的通解为少=4加，其中A为任意常数。 (2)一阶常系数线性非齐次差分方程：一，=f)
1 ( , , , , ) 0 F t y y y t t t n + + = 或 1 ( , , , , ) 0 G t y y y t t t n − − = 或 2 ( , , , , , ) 0 n H t y y y y t t t t = ． （2）差分方程中含有未知函数差分的最高阶数或者说差分方程中未知函数下标的最大 值与最小值的差数，称为差分方程的阶． （3）代入差分方程能使之成为恒等式的函数，称为差分方程的解．差分方程的解中含 有任意常数，且任意常数的个数等于差分方程的阶数，则称这类解为差分方程的通解．根据 一组给定条件能将通解中的任意常数确定出来，得到差分方程的一个解，称之为差分方程的 特解．能由通解确定特解的给定条件，称为初始条件． （六）一阶常系数线性差分方程 1．概念与性质 称形如 1 ( ) t t y ay f t + − = （ a ０ 为常数）的方程为一阶常系数线性非齐次差分方程． 称 1 0 t t y ay + − = （ a ０ 为常数）为一阶常系数线性齐次差分方程． 对于一阶常系数线性差分方程的解，有如下解的性质与结构定理： 定理 1 若 Yt 为一阶常系数线性齐次差分方程 1 0 t t y ay + − = 的解，则 AYt 为该方程的通 解，其中 A 为任意常数． 定理 2 若 AYt 为一阶常系数线性齐次差分方程 1 0 t t y ay + − = 的通解， * t y 为非齐次差 分方程 1 ( ) t t y ay f t + − = 的特解，则 * AY y t t + 为该非齐次差分方程的通解． 定理 3 若 * 1t y ， * 2t y 分别为一阶常系数线性非齐次差分方程 1 1( ) t t y ay f t + − = ， 1 2 ( ) t t y ay f t + − = 的特解，则 * * 1 2 t t y y + 为一阶常系数线性非齐次差分方程 1 1 2 ( ) ( ) t t y ay f t f t + − = + 的特解． 2．一阶常系数线性差分方程的求解 （1）一阶常系数线性齐次差分方程 1 0 t t y ay + − = 该方程的特征方程为 − = a 0 ，得特征根为 = a ，则一阶常系数线性齐次差分方程 1 0 t t y ay + − = 的通解为 t t y Aa = ，其中 A 为任意常数． （2）一阶常系数线性非齐次差分方程 1 ( ) t t y ay f t + − =