第二章导数与微分 一、知识结构图与学习要求 (一)知识结构图 导数的概念、几何意义、物理意义、可导与连续的关系 基本初等函数的求导公式 四则运算法则 反函数求导法则 导数 求导法则 复合函数求导法则 导数 隐函数求导法则 参数方程所确定的函数求导法则 高阶导数、常用的n阶导数公式 微分的概念与几何意义、可微与可导的关系 微分 基本初等函数的微分公式 「四则运算法则 微分运算法测 复合函数的微分法则 阶微分形式的不变性 (二)学习要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面 曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的 可导性与连续性之间的关系 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式， 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的m阶导数. 4.会求分段函数的一阶、 二阶导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函 数的导数. 二、内容提要 (一)导数的概念 1.导数的定义 函数fx)在点x=无处的导数：
第二章 导数与微分 一、知识结构图与学习要求 （一）知识结构图 （二）学习要求 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面 曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的 可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式， 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数． 4．会求分段函数的一阶、二阶导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函 数的导数． 二、内容提要 （一）导数的概念 1．导数的定义 函数 f x( ) 在点 0 x x = 处的导数： 导 数 与 微 分 微分 基本初等函数的求导公式 反函数求导法则 导数 微分运算法则 导数的概念、几何意义、物理意义、可导与连续的关系 求导法则 复合函数求导法则 四则运算法则 微分的概念与几何意义、可微与可导的关系 基本初等函数的微分公式 隐函数求导法则 参数方程所确定的函数求导法则 高阶导数、常用的 n 阶导数公式 四则运算法则 复合函数的微分法则 一阶微分形式的不变性
)=+A- 或 )lim) X-Xo 注(x)在x=本可导的本质是：设在自变量x的某一变化过程中，Mx)→0但 M0,若化+》-的极限存在，则网在点=5处可号. 2.∫x)在一点处的单侧导数 (1)fx)在x=x,处的右导数： )=+A- Ar 学 )=m-f X-X。 (2)fx)在x=x的左导数 f)=m+4- △x =m. x-x 3.函数fx)在x处可导的充要条件：函数f(x)在x,处可导当且仅当fx)在x,处的左 导数与右导数都存在并且相等，即 x)=) 4.导函数的定义 函数fx)在区间1内的导函数 f)=+A-f倒 Ar 学 f=mf0- 5.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x。处的导数表示曲线y=f(x)上点(，f(x》处切线的斜率。如果 y=x)在点处可导，则曲线y=f)上点(》处的切线方程为 y-f(x)=f(xoXx-x), 法线方程为 -)=-）（f)0》
0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x → x + − = 或 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x → x x − = − ． 注 f x( ) 在 0 x x = 可导的本质是：设在自变量 x 的某一变化过程中， h x( ) 0 → 但 h x( ) 0 ，若 0 0 ( ( )) ( ) ( ) f x h x f x h x + − 的极限存在，则 f x( ) 在点 0 x x = 处可导． 2． f x( ) 在一点处的单侧导数 （1） f x( ) 在 0 x x = 处的右导数: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x + + → + − = 或 0 f x( ) + = 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → + − − ． （2） f x( ) 在 0 x x = 的左导数： 0 f x( ) − = 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x − → + − 或 0 f x( ) − = 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − − ． 3．函数 f x( ) 在 0 x 处可导的充要条件：函数 f x( ) 在 0 x 处可导当且仅当 f x( ) 在 0 x 处的左 导数与右导数都存在并且相等，即 0 f x( ) + = 0 f x( ) − ． 4．导函数的定义 函数 f x( ) 在区间 I 内的导函数 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x → x + − = 或 ( ) ( ) ( ) lim t x f t f x f x → t x − = − ． 5．导数的几何意义 函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处的导数表示曲线 y f x = ( ) 上点 0 0 ( , ( )) x f x 处切线的斜率．如果 y f x = ( ) 在点 0 x 处可导，则曲线 y f x = ( ) 上点 0 0 ( , ( )) x f x 处的切线方程为 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) ( )( ) ， 法线方程为 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) y f x x x f x − = − − （ 0 f x ( ) 0 ）．
注函数可导与函数表示的曲线处处有切线是有区别的：由前者可得到后者，但由后者 却不能得到前者.这是由于当曲线有垂直于x轴的切线时，函数在相应的点不可导. 6.可导与连续及极限存在的关系 (1)若fx)在x=x,处可导，则fx)在x=处连续：反之，则不一定成立 (2)若fx)在x=x,处可导，则mfx)存在：反之，则不一定成立 (3)若f)在x=处连续，则mf)存在：反之，则不一定成立。 7.导数的物理意义 导数可以表示变速直线运动的速度，加速度，非均匀细长杆的密度以及旋转运动的角速 度等等. (二)计算函数导数的方法 1.利用导数定义求导数 先求函数增量4y:然后求比值：最后求极限一： 2.基本初等函数的求导公式 (c)=0(c为常数)， (x")=x, (sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx, (tanx)'=sec'x, (cotx)'=-cscx, (secx)'=secxtanx, (cscx)'=-cscxcotx, （arcsinx)=- （arecosx)=-h-F （(arctan)=1+ (d'y=a'lna, (e)'=e', 1 (log.x)=xina' 则 (u+Y=W+ (cm=c(c为常数)， (w)=u'v+i', (白=-n 2 4.复合函数的导数 设y= w) (x),且y=f()与u=(x)都可导，则复合函数y=f几(x的导数 为 空-名盘pt 其中了(x》表示将(x)作为中间变量u时，函数∫对u的导数.此规则当复合函数有高阶 导数时同样成立
注 函数可导与函数表示的曲线处处有切线是有区别的：由前者可得到后者，但由后者 却不能得到前者．这是由于当曲线有垂直于 x 轴的切线时，函数在相应的点不可导． 6．可导与连续及极限存在的关系 （1）若 f x( ) 在 0 x x = 处可导，则 f x( ) 在 0 x x = 处连续；反之，则不一定成立． （2）若 f x( ) 在 0 x x = 处可导，则 0 lim ( ) x x f x → 存在；反之，则不一定成立． （3）若 f x( ) 在 0 x x = 处连续，则 0 lim ( ) x x f x → 存在；反之，则不一定成立． 7．导数的物理意义 导数可以表示变速直线运动的速度，加速度，非均匀细长杆的密度以及旋转运动的角速 度等等． （二）计算函数导数的方法 1．利用导数定义求导数 先求函数增量 y ；然后求比值 y x ；最后求极限 0 lim x y → x ． 2．基本初等函数的求导公式 ( ) 0 c = （ c 为常数）， 1 ( ) x x − = ， (sin ) cos x x = ， (cos ) sin x x = − ， 2 (tan ) sec x x = ， 2 (cot ) csc x x = − ， (sec ) sec tan x x x = ， (csc ) csc cot x x x = − ， 2 1 (arcsin ) 1 x x = − ， 2 1 (arccos ) 1 x x = − − ， 2 1 (arctan ) 1 x x = + ， 2 1 (arccot ) 1 x x = − + ， ( ) ln x x a a a = ， ( )x x e e = ， 1 (log ) ln a x x a = ， 1 (ln ) x x = ． 3．函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u x = ( ) 与 v v x = ( ) 均可导，则 ( ) u v u v + = + ， ( ) cu cu = （ c 为常数）， ( ) uv u v uv = + ， 2 ( ) u u v uv v v − = ． 4．复合函数的导数 设 y f u = ( ) ，u x =( ) ，且 y f u = ( ) 与 u x =( ) 都可导，则复合函数 y f x = [ ( )] 的导数 为 dy dy du dx du dx = = f x x ( ( )) ( ) ， 其中 f x ( ( )) 表示将 ( ) x 作为中间变量 u 时，函数 f 对 u 的导数．此规则当复合函数有高阶 导数时同样成立．
5.反函数的导数 设x=y)为y=f(x)的反函数，且f(x)≠0，则y=f(x)的反函数的导数存在，且 反函数的二阶导数（若存在）为 6.由参数方程所确定的函数的导数 设x=0与y=0均可导且00，则0所确定的函数y=可导，且 y=) (称虫与奇为相关变化率)， d 如果函数安可导，则 dy=d0="0'0-0p@ dxr dx o't) 「o()P 7.由方程所确定的隐函数的导数 设函数y=x)由方程F(x,)=0所确定，只需将方程中的y看作中间变量，对 F(x,y)=0两边关于x求导，然后将y解出即可：或者利用微分形式不变性，方程两边对变 量求微分，解出d山，则前的函数即为所求 8.分段函数的导数 对于求分段函数的导数，在其分段点处，经常用导数的定义（或左、右导数的定义）来 考察函数是否可导. 9.幂指函数以x)的导数 对于求可导的幂指函数x)"的导数，常常将其化为指数函数eh,然后利用复合 函数法则求导，或者利用对数求导法。 (三)高阶导数 1.定义 设)在x的某邻域内可导.。若极限m二存在，则称其为了在处的 x-xo 二阶导数.记为(x) 类似地，可以定义fx)在x处的n阶导数。 如果y=fx)在某个区间可导，若其导函数f(x)还可导，则称f”(x)为f)的二阶导
5．反函数的导数 设 x y =( ) 为 y f x = ( ) 的反函数，且 f x ( ) 0 ，则 y f x = ( ) 的反函数的导数存在，且 dx 1 dy dy dx = = 1 y ． 反函数的二阶导数（若存在）为 2 2 d x dy = 1 ( ) d dy y = 1 ( ) d dx dx y dy = 3 ( ) y y − ． 6．由参数方程所确定的函数的导数 设 x t =( ) 与 y t =( ) 均可导且 ( ) 0 t ，则 ( ) ( ) x t y t = = 所确定的函数 y y x = ( ) 可导，且 dy dx = dy dt dx dt = () () t t （称 dy dt 与 dx dt 为相关变化率）， 如果函数 dy dx 可导，则 2 2 d y dx = ( ) ( ) ( ) d t dx t = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] t t t t t − ． 7．由方程所确定的隐函数的导数 设函数 y y x = ( ) 由方程 F x y ( , ) 0 = 所确定，只需将方程中的 y 看作中间变量，对 F x y ( , ) 0 = 两边关于 x 求导，然后将 y 解出即可；或者利用微分形式不变性，方程两边对变 量求微分，解出 dy ，则 dx 前的函数即为所求． 8．分段函数的导数 对于求分段函数的导数，在其分段点处，经常用导数的定义（或左、右导数的定义）来 考察函数是否可导． 9．幂指函数 ( ) ( )v x u x 的导数 对于求可导的幂指函数 ( ) ( )v x u x 的导数，常常将其化为指数函数 v x u x ( ) ln ( ) e ，然后利用复合 函数法则求导，或者利用对数求导法． （三）高阶导数 1．定义 设 f x( ) 在 0 x 的某邻域内可导．若极限 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x x − − 存在，则称其为 f x( ) 在 0 x 处的 二阶导数．记为 0 f x ( ) ． 类似地，可以定义 f x( ) 在 0 x 处的 n 阶导数． 如果 y f x = ( ) 在某个区间可导，若其导函数 f x ( ) 还可导，则称 f x ( ) 为 f x( ) 的二阶导
函数，简称二阶导数。记为空或因 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 2.计算方法 (1)利用逐阶求导，根据递推规律，由数学归纳法写出一般的表达式， (2)作适当的恒等变换，然后利用一些常用函数的高阶导数公式，用间接法来求。 (3)一些常用的高阶导数公式 (d)m=d.naj°(a>0), (e')m=e, (sinkx)=k".sin() (cosa)=k".cos(a+号) ()ym=a(a-l)(a-n+1)x-, (血x)0=(-y.n-y YU C (cuy)=cum, (u.v)=CCC =2C", 称以上最后一个式子为Lbaz公式，其中P=,C店a- (四)函数的微分 1.定义 设函数y=fx)在某区间内有定义，x及，+△x均在此区间内，如果函数的增量 Ay=fx+△x)-fx) 可以表示为Ay=A△x+o(△x),其中A与△r无关，o(△x)表示当△r→0时比△x高阶的无穷 小，则称fx)在x,可微，并称A:△x为函数(x)在点x相应于增量△x的微分.记为 =A△x 称山为△y的线性主部，其中A=fx),规定△x=,则山=) 2.可微的充要条件 函数y=∫x)在点x=处可微的充要条件是y=fx)在点x=处可导且 dy=f(xdx 3.计算函数微分的方法 (1)利用函数的微分的表达式少=∫(x)k,先求f(x),再乘dk。 (2)利用基本初等函数的微分公式，函数和、差、积、商的微分法则及其复合运算微 分法则
函数，简称二阶导数．记为 2 2 d y dx 或 2 2 d f x( ) dx ． 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数． 2．计算方法 （1）利用逐阶求导，根据递推规律，由数学归纳法写出一般的表达式． （2）作适当的恒等变换，然后利用一些常用函数的高阶导数公式，用间接法来求． （3）一些常用的高阶导数公式 ( ) ( )x n a = (ln ) x n a a （ a 0 ）， ( ) ( )x n e = x e ， ( ) (sin ) n kx = sin( ) 2 n n k kx + ， ( ) (cos ) n kx = cos( ) 2 n n k kx + ， ( ) ( ) n x = ( 1) ( 1) n n x − − − + ， ( ) 1 ( 1)! (ln ) ( 1) n n n n x x − − = − ， 1 ( ) ( ) n x = 1 ! ( 1)n n n x + − ， ( ) ( ) ( ) ( ) , n n n u v u v = ( ) ( ) ( ) n n cu cu = ， ( ) ( ) n u v = 0 ( ) (0) 1 ( 1) (1) 1 (1) ( 1) (0) ( ) n n n n n n C u v C u v C u v C u v n n n n − − − + + + + = ( ) ( ) 0 n k n k k n k C u v − = ， 称以上最后一个式子为 Leibniz 公式，其中 (0) u u = ， k Cn = ( ) ! ! ! n k n k − ． （四）函数的微分 1．定义 设函数 y f x = ( ) 在某区间内有定义， 0 x 及 0 x x + 均在此区间内，如果函数的增量 y = 0 0 f x x f x ( ) ( ) + − 可以表示为 y = A x o x + ( ) ，其中 A 与 x 无关， o x ( ) 表示当 →x 0 时比 x 高阶的无穷 小，则称 f x( ) 在 0 x 可微，并称 A x 为函数 f x( ) 在点 0 x 相应于增量 x 的微分．记为 dy A x = ， 称 dy 为 y 的线性主部，其中 0 A f x = ( ) ，规定 = x dx ，则 0 dy f x dx = ( ) ． 2．可微的充要条件 函数 y f x = ( ) 在点 0 x x = 处可微的充要条件是 y f x = ( ) 在点 0 x x = 处可导且 0 dy f x dx = ( ) ． 3．计算函数微分的方法 （1）利用函数的微分的表达式 dy f x dx = ( ) ，先求 f x ( ) ，再乘 dx ． （2）利用基本初等函数的微分公式，函数和、差、积、商的微分法则及其复合运算微 分法则．
(3)一阶微分的形式不变性：无论可导函数y=)中的变量“是否为自变量，都有 dy=f(uldu. 4.可微的几何意义 对于可微函数y=∫(x),当△y是曲线y=(x)上点的纵坐标的增量时，d少就是曲线的 切线上点的纵坐标的相应增量 5.可微与可导的区别及联系 (1)区别： a.概念上有本质的不同： b.当函数y=fx)给定后，导数'(x)的大小仅与x有关，而微分=f(x)△x一般说 来不仅与x有关，而且还与△x有关： c,当给定x时，∫x)为一个常数，而d山=(x)Ar在Ax趋于零的过程中是一个变量， 且为△x趋于零时的无穷小： d.一阶微分具有形式不变性，而导数不具有这个特性，因此求导数时应指明对哪一个 变量求导，而求微分则无需指明是对哪一个变量求微分：©.几何意义不同. (2)联系： 函数y=x)在点x处可导与可微等价，即 =f)=fx
（3）一阶微分的形式不变性：无论可导函数 y f u = ( ) 中的变量 u 是否为自变量，都有 dy f u du = ( ) ． 4．可微的几何意义 对于可微函数 y f x = ( ) ，当 y 是曲线 y f x = ( ) 上点的纵坐标的增量时， dy 就是曲线的 切线上点的纵坐标的相应增量． 5．可微与可导的区别及联系 （1）区别： a．概念上有本质的不同； b．当函数 y f x = ( ) 给定后，导数 f x ( ) 的大小仅与 x 有关，而微分 dy f x x = ( ) 一般说 来不仅与 x 有关，而且还与 x 有关； c．当给定 x 时， f x ( ) 为一个常数，而 0 dy f x x = ( ) 在 x 趋于零的过程中是一个变量， 且为 x 趋于零时的无穷小； d．一阶微分具有形式不变性，而导数不具有这个特性，因此求导数时应指明对哪一个 变量求导，而求微分则无需指明是对哪一个变量求微分；e．几何意义不同． （2）联系： 函数 y f x = ( ) 在点 x 处可导与可微等价，即 ( ) ( ) dy f x dy f x dx dx = = ．