第九章多元函数微分法及其应用作业题详解 习题9-1 1、判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分 别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界 (1){x,yx≠0y≠0： 解：开集，无界集，导集为R己，边界为{(x,yx=0或y=0} (2){x,y1x}: 解：开集，区域，无界集，导集为{x,y之x},边界为{x,yy=} (4){x,yx2+心-1)2≥1}n{x,yx2+0y-22≤4 解：闭集，有界集，导集与集合本身相同， 边界为{xyx2+0y-1)2=1U{x,yx2+0-22=4 2、已知函数fx)=x+少-wan三，试求fc,). 解：fw=f+o-o-m =r2x+y2-xytan=r产fk,吵. 3、试证函数F(x,y)=nxny满足关系式： F(y,w)=F(x,0+F(x,)+Fy,0+F,) 证明：F(y,w)=n(y)-ln(w) =(Inx+Iny)(Inu+Inv) Inx.Inw+Inx-Inv+Iny.Inu+In y-Iny
=F(x,0+F(x,)+F,0)+FG,) 4、已知函数f(u,yw)=H+w",试求f(x+y,x-y,y). 解：f(x+,x-y,y)=(c+y)严+(y)列 =(x+y)”+(y)2 5、求下列各函数的定义域： (1)z=lny2-2x+10: 解：要使函数有意义，必须y2-2x+1>0, 故函数的定义域为D=《x,y2-2x+1>0} 2)+- 解：要使函数有意义，必须x+y>0,x-y>0, 故函数的定义域为D=《x,yr+y>0,x-y>0. (3)z=V- 解：要使函数有意义，必须y≥0，x-√F20即x2√，于是有x≥0且 x2≥y,故函数定义域为D={(xyx≥0，y≥0，x2≥y 4④z=nv-)+-x-y 解：要使函数有意义，必须y-x>0,x≥0,1-x2-y2>0, 故函数的定义域为D=《x,yy-x>0,x≥0，x2+y2r0: 解：要使函数有意义，必须2-x2-y2-z2≥0 且x2+y2+z2-r2>0, 故函数的定义域为D={(x,y,zr2<x2+y2+z2≤R}
(6)uarcos 解：要使函数有意义，必须x2+y2≠0且 F+1,即s+,故 函数定义域为D={(x八，zz2≤x2+y2,x2+y2≠0. 习题92 1、求下列函数的偏导数 (1)z=x'y-y'x: 解会-y-八客-r-3 (2)=+2 u: (3)z=√n(y): k会6m-2可 1 同理袋-2网 1 (4)z=sin(xy)+cos2(x); 解，会-cay42 =Mcos(y)-sin(2.xy】] 根据对称性可知 等-cow-n2o1 (5》z=lham号
yyyy 2-1 (6)z=(1+xyy: 解会0*y=少0*y 等-8司 =0+y0+ (7)u=x: 解 (8)u=arctan(x-y): 解：0x- x1+(x-y)2 0-2-y)- y1+(K-y)1 ou (x-y)In(x-y) 1+(-y)2
班因%哥有g-g 8Vg 所以 0 跳周为会沙之容的 所以 设/c,羽=x+-)arcsin臣，求fK 解：因为c)=x+0-arcsin后=. 所以化-点= 4在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少？ y=4 解：空-2xx2 4交xle4的=l=ana, 故a= 习题9-3 1、求下列函数的全微分： 解：-+=0++6e当w (2)z=e: 解：止在+等布=当+ew
(3)z= P+ :因为袋+)” RF- vx+y 2 x+v (x2+y2) -YV 2+r(t-. (4)u=x :因为兴g一号产n,密hx 所以 du=yzx"dx +zx In xdy yx In xda 2、求函数z=n0+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分. 鼎因会器 分 所以 +动 3、求函数z=上当x=2,y=1,△x=0.1,△y=0.2时的全增量和全微分. 解：因为加=+A-马，也=-兰Ar+Ay, x+△rx 所以，当x=2,y=1△x=0.1,Ay=-0.2时， 582-ao b=-4x01+2x-02)=-0.125 4、求函数z=e”当x=1,y=1,△r=0.15,△y=0.1时的全微分
新，因为在会+客4eA+w 所以，当x=1,y=1,△x=0.15,△y=0.1时 dk=e0.l5+e-0.l=0.25 习题9-4 1、设=+，面=+，=-，求会器 米会会g+会名2a12120+ -座.0+.-2w1+2-=20u-0=4y dy du dy ov oy 2设=a,商=宁=-2，求会器 条食会兴会会 -h+片3-n6r-2os5np 3x2 产-色.+. 8y du dy av by =2ulhv(点)+4 之s≥《2 2x2 设：=e,面=血1，y=,求会 解：也-空.在+应少=eco1+e(-2)-3r dxd山d =e-2y(cos1-612)=em-(cos1-62). 水设：=一小面，少=，求给 饰会会会+等含而nw -1
31-42) 1-(3-4r) 5、设：=ca,雨y=e,求安 解：央+正中。y 6、设u=,而y=m,=0s,求会安 解：h-+少 在x正 -ae"0y-2e" ac0sxsinx) e a2+1+ 7、设：=acam三雨=+，y=-,验证名+亮 2111 )+11+1 1 2v M-v =x中y2+ 8、求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）： (1)u=f(x2-y2,e9): 解：将两个中间变量按顺序编为L,2号， 是术2+行g-2+e6 x
容-a的之哈-2 器不8月+号白的京+ 是会白+是的=-÷ (3)u=f(x.xy.xyz) 解：0-1+公y+r=++以。 器E=听+时. 产-公邓=球 习题9-5 小、设血y+e-w=0,求安 解：令F(x,y)=siny+e-y2,则F=e-y2,F,=cosy-2y, 安黄 么、设hF+行=m之水杂 解：令F(x,y)=nV2+y2-arctan艺，则 高的兴 2.x 品中带 1 2v 会是兴
品段42+-2际0求会及编 解：令F(x,八，2)=x+2y+z-2√2，则 =1点=2后=1品 4、设h三求密等 解：令F化)=h子，则 y 所以=￡。：正。E。 a成F"x+2'Fx+可 5设2sx+2y-3=x+2y-3,证器+影=1 证明：设F(x,八，z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z,则 F=2c0s(x+2y-3z)-1, F,=2c0s(x+2y-3z)2-2=2F, F=2cos(x+2y-3z)(-3)+3=-3F, 于是 dx dy F.F 33 6、设x=x(y,2),y=y(x,2),2=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所确定的