第九章多元函数徽分法及其应用疑难题详解 习题9-1 6、求下列各极限 1）imon+ 1-xv 解：号品 条92n 》-2a xy 条2严- (2+√+4) a雨月 -1 (4)io+11 x(y+1+1) 解：了o1-m+1++1- i巴m4=2 y (5) 22 0
解典护 ==0=0 8画发：一艺之点在将生问 解：因为当y2-2x=0时，函数无意义，所以在y2-2x=0处，函数 空 习题9-2 6求下列画数的票总高 (1)z=x+y-4x2y2: 银会-4-w2装=12-8 赛-4-8器-r-6 -是w-8w=-16w (2)2-arctan y 8'z 解：=，少之F衣+ 2xv 2.xy 2+y22+y2 (3)z=y
解会 等叫器 7、设f(xy,z)=xy2+z2+zx2，求人(0,0，)，f-1,0,2),f.(0,-1,0)及 f(2,0,1). 解：因为人=y2+2x2,人.=2z,f=2x, ,=29+22,fn=2z, /=2z+x2,/=2y,/=0, 所以 f(0,0,1)=2,f1,0,2)=2,∫-0，-1,0)=0，fa(2,0,1)=0 8设：=m,未器及器 0z 解盘=ho+r号=hol. 器 器器 9、验证： )y=6sma满足器=大尝， 证明因为g=e的如底仁=-ie的油 会=ecas,是=油
袋-g如m 所等-器 2》r+拥足整0+整月 证明： 由对称性知 r2、0z2r 因此 整00， 3 3r2-(x2+y2+z3r2-r22 3 习题93 5、考虑二元函数fx,)的下面四条性质： (1)f(x,)在点(，乃)连续： (2)(化，)、，(x,)在点()连续： (3)f(x,y)在点（化）可微分： (4)(G)、f(x)存在。 若用“P→Q”表示可由性质P推出性质？，则下列四个选项中正确的是 ( (A)(2)→(3)→(1) (B)(3)→(2)→(1) (C)(3)→(4)→(1) (D)(3)→1)→(4) 解：由于二元函数信导数存在且连续，则该函数必定可微：二元函数可微分
则该函数的偏导数一定存在并且此函数一定连续，因此答案选(A) 选项(B)中(3)(2)，选项(C)中(4)>(1)，选项(D)中(1)>(4). 习题9-4 9、设：=9+，面兰F0为可号函数证明x密+年=+ 证明：会y房 =心+F+Fo0+y+fo0 =y+F）-F'u+y-c+F'a】 =y+xF()）+y=z+y 0、故：7广万中@为可导圈数验会+将号 1 跳将器 2=(w-'(-2y》=1 -22 f2(u） m+子向 所以 器意芳兴是 小、设：=心+兆中/具有=阶导数来装忘器 解：令w=x2+y2,则z=f0), 器=层2 0-2r+2w0-2+r
器-r2w器r4 习题9-5 7、设p(u,)具有连续偏导数，证明由方程p(cx-a,cy-bz)=0所确定的函数 c满是会+6乐-e 证明：因为 p·c c9。 ax-g.·a-9,·bap.+bg c0. -g.a-贝bag.+bg 所以 C9 2C0 10、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： +2-0求会安 解：视y=y(x),z=z(x),方程两边对x求导得 t ,即 4+0，+ 解方程组得 Y=-x(6z+D.业」 x2(3z+10’k3z+1' 解：视x=x(z),y=y(),方程两边对z求导得
2空+2毫+2=02空+2空2 解方程组得 (3)设0》中了g具有-阶莲续偏号数求架器 lv=g(u-x,vy)" 解：视u=u(x,),v=(x,y),方程两边对x求偏导得 倍-ru*尝+方盘 ,即 -会+盘听 解之得 w_-42yg-1)-fgg(x”+”-1） (-12g-)-fi8-12ng-1)-i8 （4)设=e+wsiv,求，产， y=e"-ucosv ax’dy'x'y 解：视=(x,),v=v(x,),方程两边微分得 dy=e"du-cos vdu+usin vdy" (e"-cosv)du+usin vdy=dv 从中解出du,得 sinv -cosv d(sincos)sincos) siny+e" dv= cosv-e e(sinv-cos)e(sin-cos) 从而= sin v -COS V x e"(sinv-cosv)+1'dy e"(sinv-cosv)+1
cosv-e sinv+e" e(sin v-cosv)+]ue(sinv-cosv)+1 11、设y=f(x,),而t是由方程F(x,)=0所确定的x,y的函数，其中了，F 都具有一阶连续偏导数，试证明： ol dy dr 升由方化”。司定两个无设数化方青达对 t=1(x) x求导可得 亚-过过dh dx ex'Bt do 移项得 dy of dr of Ox 1 -of 在D= OF Of OF af ≠0的条件下， 81 ofofOF of OF _1ax DF 习题9-6 6、求曲线r+产+2-3x=0 在点(1,11)处的切线及法平面方程。 2x-3y+5z-4=0 解：设曲线的参数方程的参数为x,对x求导得
2+242会30 -2+3 2+2： 即 解此方程组得 少_10r-4z-15.6x+4y-9 -10y-6z’dk-10y-6z 所求切线方程为 ,即。， 1 169 16 -16 法平面方程为 -+2-6-0=0,g16r49-24=0 13、设4()、)是可导的向量值函数，证明： (2)-t): (3)4 u0x]=to)x0+u0)xva =+a0-0±+a-0=w0士0， A 其中用到了向量值函数的极限的四则运算法则. 2）a0-0=g+a-0+y-0@ =四++-0++四“0+)-00 -画+0-1画++-0▣+-) =')v(t)+u)v'(), 其中用到了向量值函数极限的四则运算法则以及数量积与极限运算次序的交换
3)uxw]=画“+ax+)-x0 =m+△xW+A-0XI+)+a0)x1+△M)-m0xM四 △t =四"t+a0-0x+a+plu0x+A-0 At -+0@x吧++吧x吗+0 =u'(0x0+u()xv'0, 其中用到了向量值函数极限的四则运算法则以及向量积与极限运算次序的交换 习题97 线方向的方向导数 从而点(x,y)处的法向量为 i-北-5 在（分·方）处的内法向量为 停斜布9 单位内法向量为 b 8-（F+石）=@saom 又因为 所以