全国硕士研究生入学统一考试高等数学辅导 考研基本要求 考研数学一大纲： 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 1、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟 2、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 3、试卷内容结构 高等教学56% 线性代数22% 概率论与数理统计22% 4、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单选题8小题，每题4分，共32分 填空题6小题，每题4分，共24分 解答题（包括证明题）9小题，共94分 《高等数学》第一章：函数、极限、连续 (一)考试内容 函数的概念及表示法函数的有养性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、 反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关 系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量 和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则 运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹遍准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续 函数的性质
考试要求 1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性， 3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与 左、右极限之间的关系 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7,掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限 求极限的方法 8理解无穷小量、无穷大量的概念，学握无穷小量的比较方法，会用等价无 穷小量求极限 9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性 质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质 (二)考研试趣选解 1小201，数一，10分)求极限m0+,六 解：原式=++，六学e5器-。字-。 2201.数，5分》设a,=1++片-加n=l2-证明a:收敛 n+I-In(n+D) 1 所以{a,}单调递减
a=++>h0中+h0+3++0+-n n n =hn+0 {a,}单调递减且有券，故收敛 3、(2010,数一，4分)求极限mc-0K- x -a-0=me-e高e 4、(2009,数一，4分)当x→0时，f(x)=x-sin ax与g(x)=x2ln(1-bx)等 价无穷小，求a,b的值. 解：f(x)=x-sina与g()=x2ln(1-bx)等价无穷小，则 x-sin ax x-sin ax 61 所以广=仙.又因为吗存在，所以1-→0→0，放 a=6=吉 5、(2008,数一，4分)设函数f(x)在(0，+0)内单调有界，{x}为数列， 下列命题正确的是() ()若{x}收敛，则{f(x)}收敛(B)若{x}单调，则{f(x)}收敛 (C)若{f(x)}收敛，则{x}收敛(D)若{f(x)}单调，则{x}收敛 解：若{x,}单调，则由f(x)在(-o,+0)内单调有界知{(x)}单调有界，所 以{(x)}收敛，故应选(B). 6、(20o8,数一，9分)求极限mSnx-sm6sim小simy 解法：画一如n=四一如6动-n上到 x4 x 3x2
=m6 sin cos￥.1 6x 6 解法二：四鱼-ms￥-四-n由n-一 sinx =四名 7、(2007,数一，4分)当x→0时，与V等价的无穷小量是() (d)1-e (国@- (D)1-cos 解：当x→0时，1-e=-(e-)加灰：+-10： 1-cosV丘0=x故应选(B). 8、(2007,数一，4分)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是() 若m型存在，则0=0.@若四@+国行在，则0=0 ©若细四#在，则0作在o若回任在，0-0 解：()，(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推 导出/0=-0.若回9存在，则0=-0/0四。0m-0 x-0 可见(C)也正确，故应选(D). 0ms度，4分9 -2 2 10、(2004,数一，4分)曲线y=nx与直线x+y=1垂直的切线方程为 解：由y=仙)-士得x=1,可见切点为L0,于是所求切线方程为 v=x-1 11、(203,数，4分)im(cos)=
解：im(eos可=eam -sinx 而-四要月 做版式石 《高等数学》第二章：导数与微分 (一)考研基本要求 (本章考研大纲内容) 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何 意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用 导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函 数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函 数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及 反函数的导数 (二)考研试题选解 (针对本章的考研题及解答，可以有不同的解法) 1.(2011,数二，4分)己知f(x)在x=0处可导，且f0)=0,则 画92=()小 (a)-2f'(0)(B)-f'0) (C)f"(0) (D)0 分析：本题可以采用导数在一点处的导数的定义求解 四心但海9
因为f0)=0,且f(x)在x=0处可导，所以 原式=m=f0-2 2lim0-f0,-2f0)=-f0) 3 所以正确答案是(B). 2.(2011,数三，4分)设fx)=imx1+30,则f)= 分析：本题涉及求极限和求导两个方面的知识，求极限时要分析x的情况】 解：x=0时，显然f(x)=0: x≠0时，f)=iml+3)=xim+30=xe六. 年m女2， x≠0时，f"()=e+3xe: x=o时，."0=1imf(0+△二o02=i巴Ax=ime=1. △x 所以f"(x)=e+3xe. 3.(2011,数三，4分)曲线an(x+y+孕=e在点(0.0)处的切线方程 为 分析：要求曲线在一点处的切线方程，除了这一点的坐标外，还要知道过这 点的斜率，也就是曲线在这点处的导数，即相应隐函数的导数，求隐函数的导数 可以通过对方程两边求导得到， 解：对函数两边关于x求导，得 sec(x+y+)(+)=e.y, 所以y(0)=-2,曲线在点(0,0)处的切线方程为y=-2x. 4(2010,数4分)设x=e,y=0+)则4 分析：此题是一个含积分上限函数的参数方程所确定的函数的二阶导数，可 以按照参数方程所确定的方程的求导公式计算，对积分上限函数求导时也按相应
的公式计算 解在，音-+小盘0 d(dy= .md+)+e 2t n(1+i) e·lh1+r)+e.2z 1+2 d'y dtd [ln1+12] e2-ln1+-e2.21 1+2 dx e [n1+2P d 5.(2010,数二，4分)函数y=ln1-2x)在x=0处的n阶导数y(0)= 分析：求函数的高阶导数一般常用的方法是先逐次求导，然后寻找规律。 解：=-2x0-2=-21-2x, y"=-2(-1)(1-2x)2.(-2)=-22.141-2x)2, y"=-22.(-2)-1-2x)(-2)=-2.241-2x) y4=-24.35(0-2x), ym=-2”(n-1051-2x), ym(0)=-2"(n-1)！ 6.(2010,数三，4分)设可导函数y=(y)由方程ek=xsin21d确 定，则杂。=一 分析：此题涉及积分上限函数以及隐函数的导数，其中可以通过对方程两边 求导从而求得隐函数的导数。 解：将x=0代入方程，得∫ek=0sin1d,即了e=0 所以x=0时，y=0
对方程两边关于x求导，左边=1+y)以， 右边=xsin21dh=∫sin21d+xsin2x. 所以+e=si21dh+xsin2x,将x=0、y=0代入，得y=-1. 所以安=-小 1.(209.数二，4分)询线x-了g在@0处的切线方程为 y=2ln(2-2). 分析：要想求切线方程，需要先求斜率即导数，从而此题转变成对含积分上 限函数的参数方程所确定的函数的求导问题. =2m+ -21_2(2-f2)lm(2-r2)-2r3 2-2 ==22-fn2-2Y (2-f2)e- 当x=0时1el架2 所以所求的切线方程为y=2x。 8.(2009,数二，4分)设y=y(x)是方程y+e'=x+1确定的隐函数，则 分析：此题可以通过对方程两边求导从而求得隐函数的一阶导数，然后对 阶导数继续求导就可以得到二阶导数， 解：将x=0代入方程，得y=0, 对方程两边关于x求导，得 y+x.y'+e'.y'=I 由(1)式得'(0)-1，对(1)式继续关于x求导，得 y+y+x.y"+e.y.y+e.y-0.y=_2yte( -,y"(0)=-3. x+e
所3 9.(2009,数三，4分)设某产品的需求函数为Q=Q(P),其对应的价格P 的弹性5。=0.2，则需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元. 分析：此题是微积分在经济学中的应用，需要掌握经济学中的一些术语，以 及它们之间的关系：5，-皂.？，产品的收益函数R=QP,而此题中的所求与 dp o' dp 有关 已知5=02，Q=10,得器-1200，所以价格增加1元会使产品数益 增加12000元. 10.(2008,数一、数二，4分)曲线si(xw)+n(y-x)=x在点(0,1处的切 线方程为一 分析：需要先求隐函数的导数，可以通过对方程两边求导从而求得隐函数的 导数. 解：对等式两边关于x求导，得 cogX0+y+-1-1,y0)=1. 所以在点(0，)处的切线方程为：y-1=x,即x-y+1=0. 1.(208,数四，4分)已知函数连续且m型-2，则曲线y= 上对应x=0处切线方程为 分析：此题需要先求出函数在x=0处的导数，虽然题目没说函数可导，但 由函数连线且四-2可知，0=0，所以可以用函数在一点处可号 的定义来求导数. 解：由四四存者，可知四)=0：面函数连续、所以f0=0
所以f0,=imf0+-/0=im-0=im/国=2，所以曲线 y=f(x)上对应x=0处切线方程为y-0=2(x-0),即y-2x 12.(2007,数一一数四，4分)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误 的是(). W若细型行在则0=0 ⑧)若四+0存在，则 f(0)-0 0若回型行在，则r0存若@若四国-国行在，则0， 存着 分析：此题可以通过函数在一点处极限存者、连续以及可导的定义间的关系 来解决. 解：若m但存在，则必有mf)=0 已知函数f)在x=0处连续，所以可以得出f0)=im()=0:从而 0=回0+-0=▣0-m/型.所以W、0正商 若m团存在，则/+-0.因为函数阳在x=0处 连续，所以m[/()+(-)=20,从而f0=0.所以0)也正确，那么错误 的只能是（®）. 18.（20,数二，4分)角线=o11上对应于1-是的点处的法战 y=I+sint 斜率为 分析：此题可以通过求参数方程所确定的函数的导数来求得. 解，告-1-2awsm1盘=ws1,杂mr40o cost 号=sin1+2sin1cos1-号V2+2 法线的斜率为5+2，即1+5