教案 姓名冯增2011~2012学年第二学期时间节次 课程名称 高等数学 授课专业及层次 授课内容 定积分的概念 学时数 2 教学目的 理解定积分的概念与几何意义了解可积条件。 重点 定积分的概念与儿何意义：灵活运用知识解题 难点 定积分概念的理解；灵活运用知识解题 自学内容 《高等数学例题与习题》相关例题，习题 使用教具 多媒体 相关学科知识 力学知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习回顾： 不定积分的概念 10分钟 2. 不定积分的计算方法 二、进行新课 第四章定积分及应用 第一节定积分概念和性质 y=f(x) (一)、问题的提出 1、曲边梯形的面积 10分钟 (1)分割：(2)近似：(3)求和：(4)求极限 ]：在以后的积分的学习中经常会用到四步走 2 求变速直线运动的路程 路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速 A= 度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程0 h 求得路程的精确值。 (1)分割：(2)近似：(3)求和：(4)求极限 二)、定积分的定义 1、定积分的定义：P225一P226 注意]：(1)积分值仪与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关 10分钟 [f(x)d =[=[f(u)du 2)定义中区间的分法和，的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a,b]上可积
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 2、函数f(x)可积的充分条件 5分钟 定理l:设f(x)在区[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积 定理2：设f(x)在区间[a,b]上有界，月只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上 可积 (三)、定积分的几何意义 10分钟 1.山图讨论得：「∫x)的几何意义：介于X轴 和两直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和。 2例题：利用定积分的儿何意义求积分 Sa-xdx 5分钟 第2节 定积分的性质：注：当a=b,fx)d=0：当a>b,fx)dk=-∫fx) 15分钟 1、性质1：[f(x)±g(x=∫f(x)dk±「g(x)k 2、性质2：「f(x)d=k「fx) 3、性质3：积分区间的可加性：a<cb,∫fx)dk=「f(x)k=∫fx)dk 4、如果在区间[a,b上，f(x)=1，「1dk=b-a 15分钟 5、性质5：在[a,b]上，fx)≥0，则：fx)d≥0 性质6：设M和m分别是函数f(x)在区间[a,b上的最大值和最小值，则 mb-a)≤〔f(x)k≤Mb-a) 性质7：（积分中值定理）：若f(x)在[a,b]上连续，在[a,b]上全少存在一点5，使： fx)-f()(b-a)(证明) 5分钟 几何意义：为曲边梯形的面积和同底的矩形的面积相等。 (四、学生练习：习题5-16、 10分钟 三、课堂总结：要对定积分的概念和几何意义加以理解， 5分钟 四、作业布置：习题514、(2)(4)10、(3)(4)13(3)(4)
教 案 姓名冯增哲 2011~2012学年第二学期 时间1127节次13 课程名称 高等数学 授课专业及层次 授课内容 微积分基本公式换元积分法 学时数 3 了解定积分的性质：学握上限函数的定义与性质、牛顿莱布尼茨公式，会用基 教学目的 本公式计算 重点 上限函数的定义与性质、牛顿莱布尼茨公式的推导 难点 上限函数的性质、牛顿莱布尼茨公式的意义 自学内容 《高等数学例题与习题》相关内容 使用教具 多媒体 相关学科知识 力学知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 一、复习提问 1、定积分的概念2、定积分的性质 5分钟 二、进行新课 第五章定积分 第二节微积分的基本公式 (一入、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 5分钟 设某物体作直线运动，己知速度V=V(t)是时间间隔[工，工]上t的一个连续函数，且 v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程 (二)入、积分上限函数及其导数（本目内容是重点，后多次用到 1、定义：如果上限×在区间[a,)]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有10分钟 一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记：(x)=「f)dk.称为积分 上限函数 2、积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数Φ(x)=[f(t)dh在[a,b] 10分钟 上具有导数，月它的导数是中()=/h=fx) (a≤x≤b)
补充：如果F(t)连续， a、bW可号，则F=f0dt的导到 Po孟oh=f-alw 定理2：如果f(x)[a,b]上连续，则积分上限的函数①(x)=[fU)d就是f(x)在 10分钟 [a,b]上的一个原函数 重要意义：(1)肯定了连续函数的原函数是存在的。 (2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. (三)、牛顿一莱布尼茨公式 1、定理3（微积分基本公式） 10分钟 如果F(x)是连续函数f)在区间[a,b]上的一个原函数，则 [f(xydx=F(b)-F(a) (2节) 重要意义：一个连续函数在区间[a.b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 5分钟 [a,b]上的增量. 求定积分问题转化为求原函数的问题 2、应用例1求(2cosx+sinx-1)dk 10分钟 M:Ewo-g 求∫f(x)d 例3计算曲线y=Sinx在[O,π]上与x轴所用成的半面图形的面积。 15分钟 例4求文 (四)、学生练习：习题523、4、6、(6)(8)(9)7 15分钟 三、课常总结：1积分上限函数Φ(x)=∫(0)d山 5分钟 2.积分上限函数的导数Φ'(x)=f(x) 3.微积分基本公式f(x)k=F(b)-F(a) 四、布置作业：习题5-2：6(1)一(8)，9,10
教 案 姓名冯增哲 2011≈2012学年第二学期时间 节次 课程名称 高等数学 授课专业及层次 授课内容 微积分基本公式换元积分法 学时数 2 教学目的 掌握定积分的换元积分法和分部积分法 重点 第二类换元积分法和分部积分法 难点 第二类换元积分法 自学内容 《高等数学例题与习题》相关内容 使用教具 多媒体 相关学科知识 力学知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习回顾： 1.变上限函数的概念和性质 5分钟 2.牛顿-莱布尼兹公式 二、进行新课： 第五章定积分 第三节换元积分法与分部积分法 (一)定积分的换元法 1、定理：假设 (1)fx)在[a,b]上连续： 15分钟 (2)函数x=p()在[a月上是单值的且有连续导数 (3)当t在区间a,1上变化时，x=p)的值在[a,b]上变化，且(a)=a、 p()=b,则有「f(x='fLpr)lo'(rdt 给出证明：（先启发学生自己证明） 2、应用 例1计算cos'xsinxdx. 例2计算∫Vsin'x-sin'xdx. 10分钟
dx 例3： GWn0-n丙 5分钟 :品 5分钟 例5当fx)在[-a,a上连续，且有 10分钟 ①/)为偶函数，则工fx=2小/c达 ②/)为奇函数，则工fx达=0 牢记此结论，后面的重积分也会有此结论 (2节) 例7若f)在0,1上连续，证明： 10分钟 1(sindfcosd 2「s血xh-受f/simd 高女 (二)定积分的分部积分法 设函数)、()在区间血，)个上具有连续号数，则有 5分钟 h=lw时-da 例1计算广arcsin 10分钟 信 10分钟 (三)、学生练习 10分钟 、课堂小结 【,重点总结第二类换元法的方法 5分钟 2.几种方法的综合运用 四、布作业：习题5-3：1.偶数号题，7.奇数号题
教 案 姓名冯增哲 2011~2012学年第二学期时间节次 课程名称 高等数学 授课专业及层次 授课内容 反常积分 学时数 2 教学目的 了解反常积分的概念以及会计算反常积分。 重点 会计算反常积分 难点 反常积分的概念以及反常积分的计算 自学内容 《高等数学例题与习题》相关内容 使用教具 无 相关学科知识 无 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习回顾： 人、定积分的换元法 2、定积分的分部积分法 5分钟 二、进行新课： 第五章定积分 第四节定积分的分部积分法 (一)、无穷限的广义积分 1、定义1：设函数fx)在[a,+o)上连续，取1>a如果极限1im「f(x)d水存在，则 10分钟 称此极限为函数f()在无穷区间[a,+o)上的反常积分，记广”f(x)dk 即fx)达=mf)达，也称反常积分x)收敛： 如果上述极限不存在，称反常积分厂f(x)d体发散。 注：fx)=limF(x)-F(a=[F(xl 2、定义2：设函数f(x)在(-o,b]上连续，取t<a果极限im」f(x)存在，则 称此极限为函数f)在无穷区间(-0，b)]上的反常积分，记上∫x)d本， 10分钟 即上f)k=m了fx)本，也称反常积分上x)达收效：
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 3、定义3：设函数fc)在(o,+0)上连续，果反常积分f(x)k和f(x)k都 5分钟 收敛，则称上述两反常积分之和为函数f(x)在无穷区间(-0,0)上的反常积分，记 fd,即f)=工.x+fxd 这时称反常积分fx)本收敛，查则藏称反常积分了x)本发散 注：fx)=[F(x 5分钟 上述二类广义积分统称为无穷限的广义积分。 例1计反茶积分上高 这个广义积分值的几何意义是：虽然如图中曲线向左、右无限延，但是它与轴 所围成的面积却有有限值π。 15分钟 例2计算反常积分”e"d山 (p是常数，且p>0) 例3证明反常积分∫血(a>0)当P>1时收纹：当p≤1时发散。 (二入、无界函数的广义积分 (2节) 1、定义1：瑕点 5分钟 2、定义2： (1)设函数f(x)在(a,b]上连续，点a是f(x)的瑕点，取1>a,如果极限 5分钟 四了f(x达存在，则称此极限为fx)在(a,上的反常积分，记心 即矿fx)本=m了fx)k,称反常积分fx)本收效，刻如果上述极限不存在， 则称反带积分「fx)k发散。 注：/x=F)-imF()=Fb)-Fa')=[F北 (2)设f)在[a,b)上连续，点b是f()的瑕点，取1<b,如果极限1im∫f(x)dc 5分钟 存在，则定义[f)达=m/(还，杏则，称反常积分x)发敢 如果上述极限不存在，称反常积分∫(x)k发散。 注：广fxd=F(b)-limF(x)=[F(x]t
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） (3)设f(x)在[a,b]上除了e(a0) 例5讨论反常积分产的收纹性。 15分钟 10分钟 (三)学生练习 三、课常总结 1.无穷限反常积分，三种情况的概念和计算 5分钟 2.无界函数的反常积分的概念和计算 四、布置作业：习题5-5：1(1)一(6)