《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 第六章定积分的应用 1、主要内容 定积分应用包含在几何中应用及在物理中应用。在几何中应用主要在于利用定积分计算 平面图形的面积：计算平面曲线的孤长：计算已知戴面面积函数的立体体积，旋转体体积与 侧面积：在物理中应用主要在于利用微元分析法处理在物理中的有关计算问题（包括不均匀 物体的质量、液体静压力、引力及变力作功等的计算问题) 涉及的计算公式： 1、几何中应用中涉及的公式 )平面图形面积：M=∫的f川本，M=打rd0 2)平面曲线孤长：1=∫V1+f(x),1=∫F2+严d0 3)截面面积函数已知的立体体积：=∫A(x)d 4)旋转曲面体积：V=∫πf(x)d 5)旋转曲面侧面积：S=2π∫fxW1+”()k 2、物理应用中涉及的公式（假设质量分布函数为常数，物体所受力为常力） 1)质量：M=P,S或M=PpV,这里P,和P,分别为物体的面密度和体密度 2)恒力所作的功：WfS1cos(f,5 3》两质点吸引力：F=Gmm 2 4)液体压强：P=Ph这里p是液体的比重，h为液体深度 川、教学要求 1.掌握定积分在几何中的应用，会用定积分计算平而图形的面积、平而曲线的孤长、旋转 体体积与侧面积。 2.会用微元法处理一些简单的物理问题。 第1页一共12项 来永安
《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 第一节定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设y=fx)≥0(x∈(ab)),如果说积分A=心fx)是以[a,b为底的曲边梯形的面积， 则积分上限函数A(x)=∫f)dh,就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积，而微分dA()=fx)k 表示点x处以为宽的小曲边梯形面积的近似值d4()=fx)冰称为曲边梯形的面积元素。 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A:就是以面积元素∫(x)为被积表达式，以[a,b]为积 分区间的定积分A=∫f(x) 一般情况下：为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上分布在[a,x上的量用 函数U(x)表示，再求这一所求量的元素为dU(),设dU(x)=U(x),然后以U(x)d为被积 表达式，以[a,b]为积分区间求定积分即得U=∫fx)d。 用这一方法求一量的值的方法称为微元法（或元素法） 第二节定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1.直角坐标系下平面图形的面积 (1)X一型与Y一型平面图形的面积 把由直线x=a,x=b(a<b)及两条连续曲线y=fx),y=(x),(f()≤5(x)所围成的 平面图形称为X一型图形：把由直线y=C,y=d(C<d)及两条连续曲线x=gy),x=g,y) (gy)≤gOy)所国成的平面图形称为Y一型图形 d 第2页一共12页 来永安
《高等数学》上册救案 第六章定积分的应用 注意构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点.把X一型图形称为X一型双曲边梯 形，把Y一型图形称为Y一型双曲边梯形. 1)用微元法分析X一型平面图形的面积 取横坐标x为积分变量，x∈[a,b]。在区间[a,b上任取一微段[x,x+],该微段上的图 形的面积dA可以用高为(x)-x)、底为的矩形的面积近似代替.因此 dA=[(x)-(x)]dx, 从而 A=∫[fx)-f (1) 2)微元法分析Y一型图形的面积 A=∫[g,0y)-g0yw (2) 对于非X一型、非Y一型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若千个X一型图 形和Y一型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积， 例1求由两条抛物线y=x,y=x所围成图形的面积A 解 解方程组少=元得交点0,0，. ly =x 将该平面图形视为X一型图形，确定积分变量为x,积分 区间为[0,1刂 由公式(1)，所求图形的面积为 本A可-- 3 例2求由曲线y2=2x与直线y=-2x+2所围成图形的面积A 2x+2得交点.22 解解方程组产2 积分变量选择y,积分区间为[-2， 所求图形的面积为4=∫0-》=心-寻名1。= 1所国成的形的而 例3求精圆子+2 解设整个精圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍，椭圆在第一象限部分在x轴上的投 第3页一共12页 来永安
《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 影区间为[0，a],国为面积元素为k,所以S=4。d, 椭圆的参数方程为：x=acos1,y=bsint 于是 yd=bsintd(acost) =-4ab sin'tdt =2ab (1-cos 2t)dt =2ab.=abr 2.极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素 由曲线p=p()及射线日=心，日=B围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 ds=o0)do 曲边扇形的面积为 s-S"HoOdo 例4.计算阿基米德螺线p=a0(a>0)上相应于0从0变到2π的一段孤与极轴所围成的 图形的面积 解：S=B-rr-=arx 例5.计算心形线p=a1+cos)(a>0)所围成的图形的面积 解：5=2∫2[a1+cosd0=d。(号+2cos0+2c0s20d0 =a2号9+2sin8+sin286=号a2x 二、体积 1.旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴 常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体 第4页一共12页 来永安
《高等数学》上册教案第六章定积分的应用 设过区间[a,b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x),当平面左右平移 d后，体积的增量近似为△V≈π[f(x)]k,于是体积元素为dW=(x)k 旋转体的体积为 V=∫fx 例1连接坐标原点0及点Ph,r)的直线、直线x=h及x轴固成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算这圆锥体的体积 解：直角三角形斜边的直线方程为y=方x 所求圆锥体的体积为 r=∫。听x=6=号r 例2计算由精圆导+示1所成的圈形绕x轴硫特而成的戏特体（陵转精球保）的保积 解：这个旅转椭球体也可以看作是由半个椭圆 y=802-2 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体，体积元素为d=πy本 于是所求旋转椭球体的体积为 r=∫rg(a2-rw=reax-r-号mb 的并华老医类仁二的一共，直线y-0所国及的国形今别选：林了装特 而成的旋转体的体积 解：所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 g=∫yt=j。a-cos2al-cos)h =πa∫0-3cost+3cos2t-cos3t)d=5πa 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差，设曲线左半边为x=x)、 右半边为x=x0),则 y=∫。0d-∫。xxod 第5页一共12页 来永安
《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 =x,a2(t-sin)'asintd-元∫。a2t-sin)2.asintd =-a(-sinty sinid=6r'd 2.平行截面面积为已知的立体的体积 设有一立体，它夹在垂直于x轴的两个平面x=a,x=b之间（包括只与平面交于一点的情 况)，其中a<b,如图所示.如果用任意垂直于x轴的平面去截它，所得的戴交面面积A可 得为A=A(x),则用微元法可以得到立体的体积V的计算公式. 过微段[x,x+]两端作垂直于x轴的平面，截得立休一微片，对应体积微元d=A(x) 因此立体体积 V=∫A(x)k. 例4经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱 体一块楔形块，求此楔形块的体积V, 和：据周，精园方狂为学+后 过任意x∈[-2,2]处作垂直于x轴的平面，与楔形块 截交而为图示直角三角形，其面积为 40-yma=ma=320-子ma =8(4-x2)tana 应用公式(4) una(4--16ua(26una 设立体在x轴的投影区间为[a,b,过点x且垂直于x轴的平面与立体相截，截面面积为 A(x),则体积元素为A(x),立体的体积为 V=∫”A(x) 例5求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积 解：取底圆所在的平面为x0y平面，圆心为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行，底圆的方程 第6页一共12项 来永安
《高等数学》上册救案 第六章定积分的应用 为x2+y2=R2,过x轴上的点x(一R<x<R)作垂直于x轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形， 这截面的面积为 A(x)=h.y=hR2-x 于是所求正劈锥体的体积为 v-R-xdh=2Rhf cos 0do-3h 三、平面曲线的孤长 设AB是曲线孤上的两个端点，在孤AB上任取分点 A=M,M,,M,M,…,Mn,Mn=B,并依次连接相邻的分点得一内接折线，当分点的数日 无限增加且每个小役MM,都缩向一点时，如果此折线的长∑MM,的极限存在，则称此极 限为曲线孤AB的孤长，并称此曲线孤AB是可求长的. 定理光滑曲线孤是可求长的 1.直角坐标情形 设曲线孤由直角坐标方程 y=f(x)(a<x<b) 给出，其中f(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数，现在来计算这曲线孤的长度. 取横坐标x为积分变量，它的变化区间为[a,b],曲线y-fx)上相应于[a,b]上任一小区 间[x,x+]的一段孤的长度，可以用该曲线在点(K,f(x》处的切线上相应的一小段的长度来 近似代替，而切线上这相应的小段的长度为 V)2+()2=V1+y2 从而得孤长元素（即孤微分） ds=+y2dx 以V+y山为被积表达式，在闭区间[a,]上作定积分，便得所求的孤长为 s=∫+y 在曲率一节中，我们已经知道孤微分的表达式为山=+y”,因此这也就是孤长元素」 第7页一共12项 来永安
《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 例1计其鱼线)=2上相应于x从兮到的一役孤的长度 解：y=3x2,从而孤长元素内=√+y2k=+9xd 因此，所求孤长为 例2计算悬链线y=ch上上介于x=-b与x=b之间一段孤的长度. 解：从而孤长元素为 ds=1+sh2dr=ch d 因此，所求孤长为 s=∫ch三k=2j。ch三k=2dsh6=2csh 2.参数方程情形 设曲线孤由参数方程r=0 (a<1<)给出，其中p),w(0)在[a,]上具有连续导数 y=w() 在=p)h,所以孤长元素为 所求孤长为 s=∫Vo0+vodh 例3计基送化）0c2对一#的长交 解：孤长元素为 sin Od0-cos0d0=2asin 所求孤长为 s=j2asim号d0=2d-2cos号1=8a. 第8页一共12项 来永安
《高等数学》上册救案 第六章定积分的应用 3.极坐标情形 设曲线孤由极坐标方程 p=p)(a0)相应于日从0到2π一段的孤长. 解：孤长元素为 s=va202+a2d0=a+0d0 于是所求孤长为 s=。a+fa0=g2+4标3+n2r++41 第三节定积分在物理中的部分应用 一、变力做功 物体在一个常力F的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s时，F所作 的功W=Fs, 物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解.设力F的方向不变，但其大小随着位 移而连续变化：物体在F的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动.取物体运动路径为 轴，位移量为x,则F=F(),现物体从点x=a移动到点x=b,求力F作功W, 68:职a: x 在区间[a,b]上任取一微段[x,x+d],力F在此微段上做功微元为dW.由于F(x)的连续 第9页一共12项 来永安
《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 性，物体移动在这一微段时，力F()的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段上 就可以使用恒力做功的公式.于是，功的微元为dW=F(x)d. 作功W是功微元dW在[a,b]上的累积，据微元法 w=∫dm=∫F. (12) 例1在弹篑弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧，需要克服弹力作功.已知弹簧每拉长 0.01m要用10N的力，求把弹簧拉长0.2m时，外力所做的功W. 解：据虎克定律，在弹性限度内，拉伸弹簧所 需要的外力F和弹黄的伸长量x成正比，即 F(x)=,其中k为弹性系数. 据题设，x=0.01m时，F=10N,所以 10=0.01k,得k=1.0×103(N/m). 所以外力需要克服的弹力为 F(x)=1.0x103x. 由(12)可知，当弹簧被拉长0.2m时，外力克服弹力作功 w=J81.0x10x=×1.0x10×r82=20) 例2一个点电荷0会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A产生沿径向OA作 用的引力或斥力：电场内单位正电荷所受的力称为电场强度.据库仑定律，距点电荷，=O4处 的电场强度为 F()=k号(k为比例常数，9为点电荷o的电量) 现若电场中单位正电荷A沿OA从r=OA=a移到r=OB=b (a<b),求电场对它所作的功W. 解：这是在变力F()对移动物体作用下作功问题.因 为作用力和移动路径在同一直线上，故以，为积分变量， 可应用公式(12)，得 m=∫号=M-=合为 第10项一共12页