(高等数学》上册教案 第一章函数与极限 高等数学课程简介 一、高等数学简介 1、高等数学产生的背景:从Newton(1642-1727)第二定律和开普乐(Kaplei)三定律等问题引入 2、高等数学的基本内容:高等数学以极限为基本思想和基本运算为方法,以实变实值函数为对象,主 要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观 两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数 二、高等数学的形成过程: 1、孕有于古希腊时期:在我国,很早就有极限思想,公元前三世纪,就有了积分思想: 2、十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3、十七世纪下半叶到十九时纪上半叶一微积分的创建时期: 4、十九时纪上半叶到二十时纪上半叶一分析学理论的完善和重建时期: 三、高等数学的特点 泛辑性很强,内容细致且深刻,先难后易。具体讲就是开头一部分有一定的难度,能努力学习, 度过国难时期,后面的学习就会容易一些:只要在课堂上专心听讲,一般是可以听得懂的,但即便能听 懂,习题还是难以顺利完成,这是国为数学分析技巧性很强,只了解基本的理论和方法,不辅以相应的 技巧,是很难顺利应用理论和方法的。论证训练是数学分析课基本的也是重要的内容之一,同时也是最 难的内容之一。一般懂得了证明后,能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来,似乎 是更难的一件事。国此,理解证明的思维方式,学习基本的证明方法,掌握叙述和书写证明的一般语言 和格式,是数学误程教学贯穿始终的一项任务。 有鉴于此,建议的学习方法是: 课前预习并弄请课中难点,课堂上认真听讲,必须记笔记,但要注意以听为主,力争在课堂上能听 懂七、八成: 课后不要急于完成作业,先认真整理笔记,补充课堂讲按中太简单或跳过的推导,阅读教科书,学 习证明或报导的款述和书写: 在基本掌提了课堂教学内容后,再去做作业。在学习中,要养成多想问题的习惯。 四、课堂讲授方法: 1、关于教材:没有严格意义上的教科书,这是大学与中学教学不同的地方,兰州交通大学工科各专业 《高等数学》拎课内容主要从以下救科书中取材: 指定教材:[]同济大学数学系主编,高等数学(第六版),高等教育出版社: 参考书:[2]兰州交通大学数学系常迎香栗永安主编,高等数学(第二版),科学出版社: [3]王锦森、马知恩主编,工科数学分析,高等教有出版社: 本课程基本按[1的逻辑顺序,主要在[、[2]、[3]中取材,课程只介绍高等数学最基本的内容。 第1页一共38页 系永密
《高等数学》上册教案 第一章函数与极限 2、内容多,课时紧:大学课堂教学与中学不同的是,这里每次课介绍的内容很多,因此,内容重复的 次数少,讲课只注重思想性与基本思路,具体内家或报导,特别是同类型或较简单的报理论证及报导计 算,可能讲得很简,留给课后的学习任务一般很重。 3、讲解的重点:高等教学概念的意义与理解,几何直观及几何解释,理论的体系,定理的意义、条件 结论、定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧,茱些新细概念之间的本质 差别。 五、要求、辅导及考试: 1、学习方法:尽快适应大学的学习方法,尽快进入角色。课前要预习,课堂上须认真听讲,并做好做 课堂笔记,课后一定要认真复习消化,补充笔记。一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1:3。须指 明的是:对将来准备从事科研与教学工作的本科生来说,课堂听讲的内容应该更为丰富,要认真评价教 师的课堂教学,把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验,这对未来的科研与教学工作是很有用的。 2、作业:作业以[门的练习题中横线以上的部分习题为主要内容。每周收一次作业,一次收清。作业的 收交和完成情况有一个较详细的登记,缺交作业将直接影响学期总评成绩。 作业要按数学排版格式书写工整,使用兰州文通大学学生作业本 3、考试:按学分制的要求,只以最基本的内容进行考试,大体上考误堂教学和所布置作业的内容,考 试题为标准化试题。 六、与后继课程的关系 1、《高等敏学》是基础误之一,并列“基础课首位”,并且在大学第一学期开设 2、除英语外,学时最多 3、后维课栏有:《大学物理》、《复变函数与积分变换》、《数学建模》、《数值方法》、《概率与统计》等 专业课程…,这些课都以《高等数学》为先修误程,如果不开《高等数学》或晚开《高等数学》,将 直接影响到这些课程的开设、勿用多言,从上述可见《高等数学》的“基础性”所在、大多数大学教师 都的这样的共识:“大学最关健的误程是《高等数学》、《线性代数》以及《概率论与数理统计》、有了这 三门课做基础,其它课程都可在此基础上自学完成”、所以希望大家过好《高等数学》这一关,掌提这 一工具、 七、学习体会 从高中到大学,显然是衔接的,但毕竟是不同的阶段、主要表现在: 中学教学 大学数学 1、在教村方面 内容少,较直观、具体、理论性不强 内容多、较抽象、理论性强 2、在听课方面 听 听+记笔记 3、在复可方面 由教师组织 学生个人及时复习 概念、论证多、理论性强、数学语言 4、在习题方而 计算多、验证少、理论性弱 表达要求清晰 第2页一共38页 系永会
《高等数学》上册教案 第一章函数与极限 第一章函数与极限 《高等数学》的内容包括一元及多元微积分学,无穷级数,常微分方程。其主体是 元及多元微积分,通常也称为—微积分。 数学研究的特点在于舍弃事物非本质的内容,研究其共性。如研究圆的面积引出了极限 的概念:对于切线斜率、变速直线运动的质点的速度、加速度的讨论,发现了它们的共同 点一变化率即引出了导数:通过对曲边梯形面积的研究,给出了积分的概念,…反过来, 利用这些数学概念进一步解决更多的实际问题。由于数学研究的确定性,在各个科学领城 中都得到了广泛的应用。 《高等数学》的学习,是整个工科数学的基础,也是其他后续课程的基础。通过对本 课程的学习,力求具备一定的分析问题、解决问题的能力。在整个学习过程中,应注意掌 握数学的一些基本概念、基本运算以及基本方法。 注:S1,S2函数及初等函数的有关概念自行阅读、复习。 §3、数列的极限 极限理论是整个微积分理论的基础及基本工具,贯穿于整个课程之中。在各种类型的 极限中,数列的极限是最简单的。 一、数列的概念 极限的概念是由于求解某些实际问题的真值而产生的。如古代数学家刘徽的“割圆术” 就是极限思想在几何学上的应用。 在一个圆内,做一个内接正六边形,其面积为A:再做一个内接正十二(6×2)边形, 其面积为4:再做一个内接正二十四(6×2)边形,共面积为4:,一般对于内接的正 6x2一边形,面积记作An(neN):得到一系列的内接正多边形的面积:A,4,…An,…, 形成一列有次序的数,而且越大即随着边数的无限增加,内接正多边形就无限的接近于 圆,同时A就越接近某个定值,此定值即为圆的面积。 1、数列的概念及表示 定义1、按照一定的顺序排成的一列数,称之为数列,可以记为 x,,…,…支{x},其中称为数列的一般项或通项。 若视数列为定义在自然数城N上的函数f),则x,=f以n∈N。数列的图示方法有 两种: 第3页一共38页 系永密
《高等数学》上册牧案 第一章函数与极限 。…· 2、数列的特性 (1)有界数列:M>0,使x≤M对所有的n都成立,称数列{化}为有界数列,其特点是所有 的x,都落在一条宽为2M的带子中。 如网侣分}《y)年是有界我阳 -M一 数列{n{(-1)°n2}则为无界数列。 注:有界数列的等价定义:存在常数a,b,使得a≤x,≤b,n∈N。其中a为下界,b为 上界。 (2)单调数列: x为3>>…>x>…单调减小数列 数到份:区一为苹成(有)数列.:2…为华增(无上 数列,而{(-0}:-1,1,-1,1,…则为非单调(有界)数列。 二、数列的极限 观察下面数列的变化趋势 哈京 2→0→) n n 1子kr片…x-(r0→) 共同点:存在常数a,当n无限增大时,x,无限接近于a。这一类数列统称为“收敛数 列”,▣则为数列的板限。不具备这一条件的数列则为发散数列。如数列,{(-少},{n} 均为发散数列。 问题:如何用数学的语言描述数列的收敛或发散?收敛或发散的数列有什么样的性 质?如果数列收敛,如何求其极限? 对于收敛的数列{x},当n充分大时,x,充分接近于a,即|x,-a可以充分的小。 数列+(少观察可得:怎=1+(r片1→小:此时a-1:即当n充分大时, 第4页一共38页 系永会
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 k-时1+人r日-非日可以充分的小,成委俊k-川足够的小,只要让a充分大即可 如委俊化-川日k01,显袋只要m>≥10:如果要利民--日01,只要n>10:如 果要求x-1=月1000, 一极,对于任意小的正数8,要使x,-=:记N=白,则当n>N 时,必有n>从而有利民川日8, 定义2、e>0,3N>0,当n>N时,若有x,-d0,3N,n>N时,9”-000e骺。故系 N=,当≥,即n合*,,审证得=0 例2、证明:2n+12 运:v8>0,欧”水5,只到2D广2,中可解得n公 从而,在N=片会,当n>Nn心 -0时, 第5页一共38页 系永密
《高等数学》上册牧案 第一章函数与极限 有Da0,被水,只安 2ra0anr 11 即:n心之取N=中当>心=的时,必有n>之别水 (2)一般证明mx=a的方法是:6>0,由k,-dn(e),取N=[n(e]即可。 三、收敛数列的性质 定理1、(唯一性)若数列{x}收敛,则其极限是唯一的。 证:(反证法)假设,mx=a,mX,=b,且a≠b,由定义 o limx,=a 当n>N时,有n>N,N2,从而x。-d0,N,当n>N时,总有k-dN时, x.=x-a+asx.-a+la0 3N,n>N y-aN,.-ad<e 第6页一共38页 需永金
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 即e>0,3N=max{N,N2},当n>N时,有n>N,N2,从而yn-d0N,当m>N时,以-d=k号,从而Ve>0,3N,当n>N时, k,-0,N,n>N 时,x。-d0,N,当n>N时,/n)-d0,3X,当>X时,/(x)-<6,称A为x→0时,fx) 第7页一共38页 系永金
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 的极限,记作imfx)=A,或f)→A,(x→o)。 注:①描述mfx)=A的语言称为使用的为£~X语言; -----F- ②E的任意小性,X=X(e)的存在性,一般E越小,X越大: ③从图像上看,若imf(x)=A,则y=A是曲线y=fc)的水平渐近线: ④问题:极限1imf(x)=A,imfr)=A应如何用£-X语言来描述。 树1、证明:=9=0 证:(应证明,VG>0,3X,当时>X时,mx-0lsm0,欲使1血x-0上ls血0,36>0,当0<-<6时,若有/(x)-A<e,则称当x→x时,函数 f)以A为极限,记作mf)=A或)→A(x→)。 注:(1)描述极限m)=A的数学语言称为c~6语言: (2)注意定义中e的任意小性,6的存在性,一般越小,6也越小: 第8页一共38页 需永盆
《高等数学》上册教案 第一章函数与极限 (3)定义中00,不纺设1x)趋于x时,有x)→A,称A为函数)在,的右极限,记 作imfx)=A,或fx,+0)=Iimf(x)=A: x-1x0 解:f0-0)=mf)=m-)=-l,f0+0)=mf)=m(+)=l 很显然,f0+0)≠f0-0)。 例4、观察图中的fx。+0)与(。-0)。 解:(1)、(2)中的左、右极限均存在,但是不相等,(3)中的左右极限存在且相等。 问题:左右极限与极限的关系,以上三例中的极限是否存在?注意到 第9页一共38页 系永密
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 函数极限的定义,则 mf)=A:6>0,36>0,当00,38>0,当00,36,>0,当00(A0(fx)0,由定义:e>0,38>0,当0A-E>0 注:事实上取E=,还可以得到更强的结论:若m)=A(40),则存在。的去 心邻城U),当xeU)时,有1fbl。 定理2、对于茉个8>0,设x∈N(住,)时,且有f)20(orf)≤0),imf)=A,则 必有A≥0(orA≤0)。 第10页一共38页 需永会