(高等数学》上册教案 第一章函数与极限 高等数学课程简介 一、高等数学简介 1、高等数学产生的背景：从Newton(1642-1727)第二定律和开普乐(Kaplei)三定律等问题引入 2、高等数学的基本内容：高等数学以极限为基本思想和基本运算为方法，以实变实值函数为对象，主 要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算，利用这两种运算从微观和宏观 两个方面研究函数，并依据这些运算引进并研究一些非初等函数 二、高等数学的形成过程： 1、孕有于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想，公元前三世纪，就有了积分思想： 2、十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期，是微积分思想的发展、成果的积累时期： 3、十七世纪下半叶到十九时纪上半叶一微积分的创建时期： 4、十九时纪上半叶到二十时纪上半叶一分析学理论的完善和重建时期： 三、高等数学的特点 泛辑性很强，内容细致且深刻，先难后易。具体讲就是开头一部分有一定的难度，能努力学习， 度过国难时期，后面的学习就会容易一些：只要在课堂上专心听讲，一般是可以听得懂的，但即便能听 懂，习题还是难以顺利完成，这是国为数学分析技巧性很强，只了解基本的理论和方法，不辅以相应的 技巧，是很难顺利应用理论和方法的。论证训练是数学分析课基本的也是重要的内容之一，同时也是最 难的内容之一。一般懂得了证明后，能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎 是更难的一件事。国此，理解证明的思维方式，学习基本的证明方法，掌握叙述和书写证明的一般语言 和格式，是数学误程教学贯穿始终的一项任务。 有鉴于此，建议的学习方法是： 课前预习并弄请课中难点，课堂上认真听讲，必须记笔记，但要注意以听为主，力争在课堂上能听 懂七、八成： 课后不要急于完成作业，先认真整理笔记，补充课堂讲按中太简单或跳过的推导，阅读教科书，学 习证明或报导的款述和书写： 在基本掌提了课堂教学内容后，再去做作业。在学习中，要养成多想问题的习惯。 四、课堂讲授方法： 1、关于教材：没有严格意义上的教科书，这是大学与中学教学不同的地方，兰州交通大学工科各专业 《高等数学》拎课内容主要从以下救科书中取材： 指定教材：[]同济大学数学系主编，高等数学（第六版），高等教育出版社： 参考书：[2]兰州交通大学数学系常迎香栗永安主编，高等数学（第二版），科学出版社： [3]王锦森、马知恩主编，工科数学分析，高等教有出版社： 本课程基本按[1的逻辑顺序，主要在[、[2]、[3]中取材，课程只介绍高等数学最基本的内容。 第1页一共38页 系永密
《高等数学》上册教案 第一章函数与极限 2、内容多，课时紧：大学课堂教学与中学不同的是，这里每次课介绍的内容很多，因此，内容重复的 次数少，讲课只注重思想性与基本思路，具体内家或报导，特别是同类型或较简单的报理论证及报导计 算，可能讲得很简，留给课后的学习任务一般很重。 3、讲解的重点：高等教学概念的意义与理解，几何直观及几何解释，理论的体系，定理的意义、条件 结论、定理证明的分析与思路，具有代表性的证明方法，解题的方法与技巧，茱些新细概念之间的本质 差别。 五、要求、辅导及考试： 1、学习方法：尽快适应大学的学习方法，尽快进入角色。课前要预习，课堂上须认真听讲，并做好做 课堂笔记，课后一定要认真复习消化，补充笔记。一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1：3。须指 明的是：对将来准备从事科研与教学工作的本科生来说，课堂听讲的内容应该更为丰富，要认真评价教 师的课堂教学，把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验，这对未来的科研与教学工作是很有用的。 2、作业：作业以[门的练习题中横线以上的部分习题为主要内容。每周收一次作业，一次收清。作业的 收交和完成情况有一个较详细的登记，缺交作业将直接影响学期总评成绩。 作业要按数学排版格式书写工整，使用兰州文通大学学生作业本 3、考试：按学分制的要求，只以最基本的内容进行考试，大体上考误堂教学和所布置作业的内容，考 试题为标准化试题。 六、与后继课程的关系 1、《高等敏学》是基础误之一，并列“基础课首位”，并且在大学第一学期开设 2、除英语外，学时最多 3、后维课栏有：《大学物理》、《复变函数与积分变换》、《数学建模》、《数值方法》、《概率与统计》等 专业课程…，这些课都以《高等数学》为先修误程，如果不开《高等数学》或晚开《高等数学》，将 直接影响到这些课程的开设、勿用多言，从上述可见《高等数学》的“基础性”所在、大多数大学教师 都的这样的共识：“大学最关健的误程是《高等数学》、《线性代数》以及《概率论与数理统计》、有了这 三门课做基础，其它课程都可在此基础上自学完成”、所以希望大家过好《高等数学》这一关，掌提这 一工具、 七、学习体会 从高中到大学，显然是衔接的，但毕竟是不同的阶段、主要表现在： 中学教学 大学数学 1、在教村方面 内容少，较直观、具体、理论性不强 内容多、较抽象、理论性强 2、在听课方面 听 听+记笔记 3、在复可方面 由教师组织 学生个人及时复习 概念、论证多、理论性强、数学语言 4、在习题方而 计算多、验证少、理论性弱 表达要求清晰 第2页一共38页 系永会
《高等数学》上册教案 第一章函数与极限 第一章函数与极限 《高等数学》的内容包括一元及多元微积分学，无穷级数，常微分方程。其主体是 元及多元微积分，通常也称为—微积分。 数学研究的特点在于舍弃事物非本质的内容，研究其共性。如研究圆的面积引出了极限 的概念：对于切线斜率、变速直线运动的质点的速度、加速度的讨论，发现了它们的共同 点一变化率即引出了导数：通过对曲边梯形面积的研究，给出了积分的概念，…反过来， 利用这些数学概念进一步解决更多的实际问题。由于数学研究的确定性，在各个科学领城 中都得到了广泛的应用。 《高等数学》的学习，是整个工科数学的基础，也是其他后续课程的基础。通过对本 课程的学习，力求具备一定的分析问题、解决问题的能力。在整个学习过程中，应注意掌 握数学的一些基本概念、基本运算以及基本方法。 注：S1,S2函数及初等函数的有关概念自行阅读、复习。 §3、数列的极限 极限理论是整个微积分理论的基础及基本工具，贯穿于整个课程之中。在各种类型的 极限中，数列的极限是最简单的。 一、数列的概念 极限的概念是由于求解某些实际问题的真值而产生的。如古代数学家刘徽的“割圆术” 就是极限思想在几何学上的应用。 在一个圆内，做一个内接正六边形，其面积为A:再做一个内接正十二(6×2)边形， 其面积为4：再做一个内接正二十四(6×2)边形，共面积为4：，一般对于内接的正 6x2一边形，面积记作An（neN):得到一系列的内接正多边形的面积：A,4,…An,…, 形成一列有次序的数，而且越大即随着边数的无限增加，内接正多边形就无限的接近于 圆，同时A就越接近某个定值，此定值即为圆的面积。 1、数列的概念及表示 定义1、按照一定的顺序排成的一列数，称之为数列，可以记为 x,,…,…支{x},其中称为数列的一般项或通项。 若视数列为定义在自然数城N上的函数f),则x,=f以n∈N。数列的图示方法有 两种： 第3页一共38页 系永密
《高等数学》上册牧案 第一章函数与极限 。…· 2、数列的特性 (1)有界数列：M>0,使x≤M对所有的n都成立，称数列{化}为有界数列，其特点是所有 的x,都落在一条宽为2M的带子中。 如网侣分}《y)年是有界我阳 -M一 数列{n{(-1)°n2}则为无界数列。 注：有界数列的等价定义：存在常数a,b,使得a≤x,≤b,n∈N。其中a为下界，b为 上界。 (2)单调数列： x为3>>…>x>…单调减小数列 数到份：区一为苹成（有）数列.：2…为华增（无上 数列，而{(-0}：-1,1，-1,1，…则为非单调（有界)数列。 二、数列的极限 观察下面数列的变化趋势 哈京 2→0→) n n 1子kr片…x-(r0→) 共同点：存在常数a,当n无限增大时，x,无限接近于a。这一类数列统称为“收敛数 列”，▣则为数列的板限。不具备这一条件的数列则为发散数列。如数列，{(-少}，{n} 均为发散数列。 问题：如何用数学的语言描述数列的收敛或发散？收敛或发散的数列有什么样的性 质？如果数列收敛，如何求其极限？ 对于收敛的数列{x},当n充分大时，x,充分接近于a,即|x,-a可以充分的小。 数列+（少观察可得：怎=1+(r片1→小：此时a-1:即当n充分大时， 第4页一共38页 系永会
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 k-时1+人r日-非日可以充分的小，成委俊k-川足够的小，只要让a充分大即可 如委俊化-川日k01,显袋只要m>≥10：如果要利民--日01，只要n>10:如 果要求x-1=月1000, 一极，对于任意小的正数8，要使x,-=:记N=白，则当n>N 时，必有n>从而有利民川日8， 定义2、e>0,3N>0,当n>N时，若有x,-d0,3N,n>N时，9”-000e骺。故系 N=,当≥，即n合*，，审证得=0 例2、证明：2n+12 运：v8>0,欧”水5，只到2D广2，中可解得n公 从而，在N=片会，当n>Nn心 -0时， 第5页一共38页 系永密
《高等数学》上册牧案 第一章函数与极限 有Da0,被水，只安 2ra0anr 11 即：n心之取N=中当>心=的时，必有n>之别水 (2)一般证明mx=a的方法是：6>0，由k,-dn(e),取N=[n(e]即可。 三、收敛数列的性质 定理1、（唯一性）若数列{x}收敛，则其极限是唯一的。 证：（反证法）假设，mx=a,mX,=b,且a≠b,由定义 o limx,=a 当n>N时，有n>N,N2,从而x。-d0,N,当n>N时，总有k-dN时， x.=x-a+asx.-a+la0 3N,n>N y-aN,.-ad<e 第6页一共38页 需永金
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 即e>0,3N=max{N,N2},当n>N时，有n>N,N2,从而yn-d0N,当m>N时，以-d=k号，从而Ve>0,3N,当n>N时， k,-0,N,n>N 时，x。-d0,N,当n>N时，/n)-d0,3X,当>X时，/(x)-<6,称A为x→0时，fx) 第7页一共38页 系永金
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 的极限，记作imfx)=A,或f)→A,（x→o)。 注：①描述mfx)=A的语言称为使用的为￡~X语言； -----F- ②E的任意小性，X=X(e)的存在性，一般E越小，X越大： ③从图像上看，若imf(x)=A,则y=A是曲线y=fc)的水平渐近线： ④问题：极限1imf(x)=A,imfr)=A应如何用￡-X语言来描述。 树1、证明：=9=0 证：（应证明，VG>0,3X,当时>X时，mx-0lsm0,欲使1血x-0上ls血0,36>0，当0<-<6时，若有/(x)-A<e,则称当x→x时，函数 f)以A为极限，记作mf)=A或)→A(x→)。 注：(1)描述极限m)=A的数学语言称为c~6语言： (2)注意定义中e的任意小性，6的存在性，一般越小，6也越小： 第8页一共38页 需永盆
《高等数学》上册教案 第一章函数与极限 (3)定义中00,不纺设1x)趋于x时，有x)→A,称A为函数)在，的右极限，记 作imfx)=A,或fx,+0)=Iimf(x)=A: x-1x0 解：f0-0)=mf)=m-)=-l,f0+0)=mf)=m(+)=l 很显然，f0+0)≠f0-0)。 例4、观察图中的fx。+0)与(。-0)。 解：(1)、(2)中的左、右极限均存在，但是不相等，(3)中的左右极限存在且相等。 问题：左右极限与极限的关系，以上三例中的极限是否存在？注意到 第9页一共38页 系永密
《高等数学》上册教案第一章函数与极限 函数极限的定义，则 mf)=A:6>0,36>0,当00,38>0,当00,36,>0,当00（A0(fx)0,由定义：e>0,38>0,当0A-E>0 注：事实上取E=,还可以得到更强的结论：若m)=A（40),则存在。的去 心邻城U),当xeU)时，有1fbl。 定理2、对于茉个8>0，设x∈N(住，)时，且有f)20(orf)≤0)，imf)=A,则 必有A≥0(orA≤0)。 第10页一共38页 需永会