《高等数学》下册教案第十一章曲线积分与曲面积分 第十一章曲线积分与曲面积分 §1、对孤长的曲线积分 一、概念与性质 1、引例：平面细长构件的质量 设该细长构件在坐标系中为曲线L,其线密度为，p=p(x,y)且px,)在L上连续，求L 的质量。 当p为常数即曲线均匀时，有M=Ps:s表示曲线L的孤长。 1性意分割曲线L为n段：A,△，，A△，其中△既表示第i小弧 段，也表示第小孤段的长度： (2(5,,)e△，则第i小孤段的质量△M≈p(5,n,)As,i=l,2,,n,则 M=∑AM≈∑p(5,n,)A 3说A=max s的直经，则M=m∑△M,=im∑p5,n)A· 定义1、设函数fx,)在光滑平面曲线L上有界。任意分割曲线L为：A,△2，，△。 任取(5，n,)e△s,i=l,2,,n,记A=max(△s,的直径]，如果极限im∑f(5,n)△存 在，称极限值为fx,y)在曲线L上对孤长的曲线积分也称作第一型曲线积分，记作： m2f⑤，nA=j,fx,达 注：①小对应于△，故山>0，称为孤长的微元或孤微分： ②由定义平面细长构件的质量可表示为：M=∫，P(x,y): ③光滑平面曲线L:y=y)指满足y'(x)连续：如果光滑曲线L方程为x=x),y=() 则x0、)连续且不同时为零： ④同理可以定义在空间的光滑曲线「上的对孤长曲线积分： im()As x.y.ds ⑤如果曲线L是封闭曲线，曲线积分可以表示为：∮，f(x,y)b 第1页一共33页 泰京安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 2、性质（以下总假定被积函数∫(x,y)是连续的） 1{f(x,)±g(x,y)=∫fx,y)d∫g(c,y)d: (2(x,y)d=k∫，fx,y)d(k≠0)： 3fx,d=fx,达+f,y达(L=4+L)。 3、对孤长的曲线积分的几何意义 当f,)=1时，∫.本=1m∑△y=s曲线的孤长 二、对孤长曲线积分的计算 r,x,+△K 设平面曲线的方程为L:y=x),a≤x≤b,y=(x)在[a,]上连续，则 △r=本=V()+(=V(2+0y)=V1+0y)'“孤微分公式 ∫f(x,y)d=1im∑f(x,xW1+yy=∫fx,(xN1+)' 故对于曲线L:y=y(),a≤x≤b,有 ∫fx,==fx,x+ 注：①由于△，>0，则>0，根据上面讨论可知，在>0，故将对孤长的曲线积分转化为定 积分时，上限>下限： ⑦果商线方程为L:051三，、功手高我连线卫不用时为家，则 k=x)d,d=y)d,d=V(2+()2=Vx)+y')dh孤微分公式 ∫fxy达==f0.0r+0d ③若L:x=x0,c≤y≤d,X0)连续，则视y为参数，即L:任=)，c≤y≤d y=y ∫fx,y)k==∫fx(0y,yW1+[xr ④若空间的光滑曲线「：x=x),y=),z=z0,a≤1≤B,x0、y0,0连续且 不同时为零，则对孤长曲线积分的计算为 ∫f(x,y,z)=∫f几p(0,w(,a0Np'(0+[w'+[mdh 第2页一共33页 泰依安
《高等数学》下册教案第十一章曲线积分与曲面积分 例1、计算积分∫√d。其中L是曲线y=x2上介于(0,0)、，)之间的一段孤。 解：L:y=x2,0≤xs1:dk=V1+(0y7k=√+4k Ay=x2 小k=iark0+4y-65-0 01 倒2、计算5，x+达，L是由x+y=1、x-y=-1与y=0围成的三角形区城的边界曲线。 解：L=L+L,+L +y= 4:+y=1或y=1-x,0≤x≤1：x+d==2d=反 4:y=x+1,-1sxs0:jx+杰-∫(x+x+1+Fdk=V(2x+=0 4:y=0,-1≤xs1:jx+yk=x+0W+0k=0 f,x+达=(x+达+(x+达+x+y=反 例3、计算积分2杰，『为连接4,02)与B(2,1-)的直线役。 解：首先必须写出直线段Γ的方程5=AB={1,1-3},故 「：x=1+1,y=0+1,z=2-31（0≤1≤1) d内=+2+(ydh=√P+12+(-3=id 「a=0+2-0-h=而可-3r-f+20山=古而 例4、计算积分fV2+y,L为圆周：x2+y2=ar（a>0)。 y 解：写出L的参数方程： x=acos0 acososimg 0/t ds=+(y)do=(-2acos0sin0+(acos20)de =ado ds cos 0ado-2acos0d0=2a 如果选样参数为国中的1，则L:y号Smt ∫x=号+号cos ,0≤t≤2π： d=V灯+0Tdh=号dhVR+y=厚0+cosy+号sim=acos 第3页一共33页 泰京安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 yds-f"alcosdr=dlcosuldu =2acosudu-2d 但此题直接用直角坐标计算的比较麻烦。 例5、求机分，2+r+h,共中r:F+y+2=R (x+y+z=0 解：因为曲线「在球面x2+y+z2=R2上，故曲线上的点(x,少，2)总满足 2+y2+2=R2,从而：f(x2+y+=∮R2k=2πR。 注：在曲线积分的计算中，有时直接将曲线的方程带入被积函数中，可以将积分转化为很简 单的形式，避免复杂的计算。 三、曲线孤的对称性与被积函数奇、偶性的利用 设平面曲线L关于x轴对称，且位于上半平面的部分曲线为L,则 如果被积西数f(x,y)关于y是奇函数，则[f(x,y)d=0: 如果被积函数fx)关于y是偶函数，则∫fx,y)d=2fx,y)达： 设空间曲线厂关于y面对称，且位于xy面上半部分曲线为「。， 被积函数fx,,z)关于z是奇函数，则∫f(x,水，2)b=0: 被积函数f(x,y,z)关于z是偶函数，则∫f(x八)山=2nfx,八，z)d 例7、计算积分∫，(x3+y2)d,L:x+y=R。 解：因为L关于y轴对称，而被积函数x是x的奇函数，故：∫x山=0： L:=Rcoso U=Rsm80s8≤2，剥 ∫r+y)h=∫yd=j(Rcos0-Rsin O+(Rcos d =R+g200=R 又国为L关于变量x、y具有轮换对称性，即y广=山，从而 fyxs-Syd-if.c+yys-3Rd-R2R-mR 四、对孤长曲线积分的应用 第4页一共33页 床安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 1、曲线的质量M=∫，p(x,y)d达 M=[p(x.y,2)ds xp(x,y)ds yp(x,y)ds 2、曲线的重心坐标 平面曲线：下= p(x.y)ds V= Jp(x.y)ds 空间商线：%达 yp(x,y,z)ds pk p(x,y,2)ds p(x,y,z)ds Jp(x,y,z)ds 特例，如果曲线的质量是均匀分布的，即P=常数，则重心为 平面曲线：下= xdsxds :安间商：x 厂：并且在均匀的条件下，重心即为形心即重心在图形的对称轴上 例8、求半径为a,中心角为20的均匀圆孤的重心坐标。 所：建立尘标原如国所示，国曲线蒸元均力的，期重心坐标在x和上，甲了-0，地 I=ds=2ap xds="acos-a sin+a cos 0de-2a'sin y 天2迪9.0心全标：g20 p 3、转动惯量 平面曲线：I=∫yp(x,)dk1o=∫，(x2+y)p(x,)d 空间曲线：1，=∫(x2+y)p(xyz)h1o=∫(x2++z)p(x,,2 例9、设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=bt,其中0≤t≤2π，其线密度 为p(x,y,z)=x2+y2+z2,求相对于z轴的转动惯量。 解：b=√asin21+a2cos21+bdhb=√a+bd,x2+y2+z2=a2+b2,x2+y2=a2,则 I.=S(+y)p(x.y.)ds=S"a.(@+b)+bd =匠+b2a+号2a门-2a后+a+号r] 第5页一共33页 泰京安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 §2、对坐标的曲线积分 一、概念与性质 1、引例：变力沿曲线的做功问题 设一质点在一变力F=P(x,y)+(x,)疗的作用下，沿光滑曲线L由A点移至B点，求 此过程中变力F所作的功 如果户是一个常力，作用于质点，使之沿直线从A点移至B点，户与位移方向5的夹角 为0，记F=F,15上s;则W=F5=F.s.cos0; 设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线孤L=AB上连续 1任意分割L为n个有向小孤段：M-M,i=1,2,…,n,M。=A,M。=B,其中M,(x,y): (5,n,)eMM,在MM,上近似地视F为常力，即 F(5,n)=P(5,n,)i+Q(5,n,)j 由条件M,M,是光滑的，位移可用弦MM代替M,M,且有 MM,=(x-x-)i+0y-y)j=△Axi+△yj (2)求近似：△W≈F(5,n,△=P(5,n)△x+Q5,n)△y,i=l,2,,n W-∑△形=2F5,n)MM=∑P5,n)Ax+05,n)Ay} 3记元=max{MM,则：W=im∑F(5,M.M=im∑P5nAx+05,m)Ay· 定义、设L是xOy平面上从A到B的有向光滑曲线，函数Px,)、Q(x,)在L上有界。任意 分割L为n个有向小孤段MM,i=1,2,,n,M。=A,M。=B,M,(,y),并记 A=-1,Ay=y-,(,)eMM,若极限m立P怎，n)Ay存在，称极 限值为函数P(x,)在L上对坐标x的曲线积分，并记作 m∑P5,n)ac=∫Px,d: 同理，若极限1im∑Q(5,,)4y存在，称极限值为函数Q(x)在L上对坐标y的曲线积分， 记作：imQ5,n)Ay=.0(xd· 第6页一共33页 床安
《高等数学》下册教案第十一章曲线积分与曲面积分 平面曲线上的对坐标的曲线积分的一般形式为 ∫Px,y)k+Qx,y)=∫P(x,y)d本+(xy)d=∫P+0 同理可以定义在空间的有向光滑曲线厂上的对坐标的曲线积分 [P(x,y,)d+(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz Pdx+Ody+Rdz 根据定义，变力沿曲线做功可表示为：W=」P+Q,其中F=Pi+O。 2、性质 ,Pk+Q=Pt+Q+P+Q,(L=L+山，且方向一致) (2∫，Pk+Q=∫P+Qd,（-L与L反向） 二、对坐标曲线积分的计算 设有向光清曲线L:起点参氨1=2，终点参=月：声1单阴跑从☑变到日 时，点M从起点变到终点；)、w()连续且不同时为零，P、Q在L上连续，则 P()Ax)A =lim∑PTpu,.wG,o'u,)a=∫Ptp0.ywop'0ed 同理，有∫，Q(xy)d=im∑Q(5,n,)4y=∫Q[p,w(0y'0)d,所以 J,Pd+Qdy-(d 注：①对坐标的曲线积分化为定积分后，应当注意曲线的方向，是起点的参数值，B是终 点的参数值。因此可能出现上限<下限： 回如果尚线方程为L:y=国，x从a到b:y0国在L上连续，L:则 ∫Pt+=」{Px,(x]+Ox,xy'(x)}d ③知米曲钱方程为L:x=x心，y从c到d:x0)在L上连续，L:区=)，则： y=y ∫Pt+0=∫x0h'o)+Qx0.y 第7页一共33页 泰永安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 ④对于室间有向光滑曲线『：x=)、y=y(0、z=),t:a→B,则 ∫Px,t+Qxy+yt -JiPo).v().ak(+Q(.v(.o(h(+RI).v().(Jo(jdr 例1、计算积分∫，xk,L为y2=x上从，-)到(，)的一段孤。 解：L:=y,y-l→1：9=产2=4。y=号 浅4：y=G,x:0→1：：y=F,x:1→0： ∫=k+小=+x()=2= 注：曲线不能用一个方程表示时，应当利用曲线积分的性质分段积分。 例2、计算积分重，b,L是(x-a+y2=a2与x抽国成的上半圆域逆时针方向的边界曲线。 :4:=0,0:6:{2.0 ∮，y=∫yt+∫yk 0 2a c02acos0sin0-(-4acos0sin0d0) =-l6a∫。cos0sin20d0=-l6a3fcos'01-cos2d0 16w经-名授受 保计果分手空学共中L有国用少-发时件方向 新手学产f的恤，1的参线方：仁8000 手湾-e.(-neR血0 =∫[cos20+sin20d0=2r 例4、设z轴的方向与重力方向一致，求质量为m的质点从（化，，）沿直线移至(x,y,2)时， 重力所作的功。 第8页一共33页 泰床安
《高等数学》下册教案第十一章曲线积分与曲面积分 解：若F=Pi+Q+R服，则沿曲线「所作的功为：W=∫P+Qd小+Rb:由条件， x=x+(x,-x)1 F=mgk,即F=0i+0j+mgk,「：y=片+(0y2-片1,1：0→1：故 M F 2=2,+(22-)1 W=∫Pk+Q+Rdk=∫mg止=mg(a2-z)h=mg(32-) 三、两类曲面积分的关系 设与曲线L=AB方向一致的切线向量5={k,例与x,y轴夹角分别为a,B,且曲线的方 向为参数增加的方向，即当点沿曲线从起点A移至终点B时，参数1从a变到B: L:r=0 {=ygas1≤Ba:a→B),则Pxn达=Pi0y0poah: 南于a阴一 1 p'0) w'0 dy ds Moof +twF f +IOF' A 以及孤微分公式：d=V[o'()+[w'0)d, 9(0 j.Peosa=p0v01oofvnooT+woT4 ="P.v((di 即∫P(x,y)=∫Px,)cosad,同理可得：∫(x,)d=∫P(x,y)cos Bds ∫Pt+d=∫，(Pcosa+Qcos B)h 其中cosa,cosB是曲线方向的方向余弦。 同理，若cosa,cosf,cosy是空间曲线方向的方向余弦，则 [Px+Qdy+Rdz=[(Pcosa+QcosB+R cosy)ds 例5、把对坐标的曲线积分∫P+Q小化为对孤长的曲线积分，其中L为曲线y=x上从(0,0) 到L,I)的一段。 ∫x=x 解：1：0→1：与线方向一的切线向量为：==2, 第9页一共33页 泰永安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 a阴-高2对-产高 1 1 cosa= 1 2x 1+4x2 cos I+w-cca0-器 §3、格林公式 一、格林公式 ①单连通与多连通区城： ②正向闭曲线： 单连通区城 多连通区城 定理、有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)、Q(x,y)在区域D内一阶偏导数 连续，则 y=9(x) 手点Q的-儿尝导如格会大 L 其中L是区城D的正向边界曲线。 y=Q(x) a 证：先设D是X型的简单区孩，如图。即D:a的Sy≤织，( asxsb o-广4本=广Peg=x%-xaa ∮P=++∫P,t=∫P,gd+0+∫P,a(达+0 =∫Px,9,(x)∫P(x,,(x)t=∫{Pxg,(x》-Px,gx 证得：手，Pk=号o:若D是y型的简单区执，月理可证：手.Q的=碧。 如果D既是X型又是Y型的简单区城，以上两部分同时成立，即 手ne小受器如 对于一般的平面区域，可以适当地划分为若千个既是X型又是Y型的简单区城，例如 D=D+D,如图，D,D,既是X型又是Y型的区城，则根据上面的讨论， 第10页一共33页 事衣安