《高等数学》上册教案 第二章导数与微分 第二章导数与微分 §1、导数的概念 微分学部分的第一个基本概念就是导数。导数的概念既不是从天上掉下来的，也不是人 们头脑里固有的，而是从各种客观过程中的变化率问题中提炼出来的。 一、引例 1、平面曲线的切线斜率 圆的切线一与圆只有一个交点的直线： 设曲线方程为y=fx),M、N为曲线上的两点， 且M(x,fx》,N(x。+△x,fx+△x),则过两点割线斜率 kn=+A-)-g=mg △x 让点N沿曲线逼近点M,则割线以M为定点旋转，当N与M最终重合时的割线到达了 某个极限位置，称为曲线在点M的切线，且割线的倾角®逼近于切线的倾角《，如果极限存 在，则切线斜率为 大=am=gamp=色是典飞+ △x 2、变速直线运动的速度问题 设、表示质点从某一时刻开始到时刻1所走过的路程，则、是1的函数，即路程函数为 s=s),且是连续函数。考虑在时刻。时质点的瞬时速度。 基本想法是：整体来说速度是变的，但局部来说可以近似看成是不变的。即当时间间隔 1很小时，认为从6到。+△山这役时间内，近似看成匀速的运动，则在时间间隔，+△]内 质点走过的路程为△=s北。+山)-s),在此间隔内的平均速度为：下==北。+A)-s北 △f △f △越小，平均速度越接近于时刻，的瞬时速度，自然得到： )片=典点回业北 △1 同型，半均加造度为后一名也+，如采视限存在，则质点在时甜1=时的啡时 加晚度别：)-典i=典签典6+ △1 第1页一共28页 泰来安
《高等数学》上册教案第二章导数与微分 对这样一类问题的讨论，最终都归结为一种平均变化率的极限问题，统称为变化率问题， 舍弃其实际背景抽出其共同的数学形式“变化率问题加以研究，就得到了导数的概念。 二、导数的定义 定义1、设y=fx)在点x,的菜邻城U)内有定义，xn+△x∈U(x,),对于函数的增量 Ay=f(+△x)-f(x),如果极限 是典飞+心园 存在，称函数y=∫x)在x。点可导，并称极限值为y=fx)在x。点的导数，记作 盥·盟，人小 出D发交的平特天上， ②架无话数一阳在间商△内的平为变化率，从而巴是为高筑在点的变化率： 回芳极限一然不存在，称属数了=阳在气点不可华，当一然=0助，习情上也称学数 为无穷大： ④根据导数的定义，有k=f"(x,)=s',)以及a)=): ⑤如果函数y=fx)在区间(a,b)内点点可导，称y=f(x)在区间(a,b)内可导，即x∈(a,b), 学款了阳)邮存在，且是点x的禹数，餐因为y=间的学属数，筒帮为学数。记作密 去.：烹烹- Ar 三、导数的几何意义 画款在点可示，即一存在。由引例1，在南钱y=)上点化化》处切线的针 率=，=是 一-0时，画数=阳在点不可平，但无南我在应化化，》处仍然有坐直切钱。 四、左导数与右导数 第2项一共28页 票永安
《高等数学》上册教案第二章导数与做分 定义2、若一知-一飞+（四）存在，导损限位为高数 Ar x-Xo ”心在气点的右孝我.记作)：若一是=典+ (一因化)存在，兼规限值为高数)=内在与点的左导数，记作，）。 x-xo 左、右导数的几何意义分别是曲线y=(x)在点(x,f,》处的左半切线与右半切线的斜 率。根据左右极限与极限的关系，不难得出下面的定理。 定理1、y=fx)在x点可导的充分必要条件是y=f)在x点的左、右导数存在并且相等。 例1、研究函数fx)=d在点x=0是否可导。 解：△y=f0+△x)-f0)=f(Ar)=△ 0=是10-母款斜 所以fx)=在，点x=0不可导，或导数不存在。 五、可导与连续 由上面的例子，连续不一定可导：反之，如果函数y=)在x点可导，则 巴是=代，旅摆西数板限与无方小的关系，有袋=代，口，也可以写作 Ay=f"】Ar+aAr,易知，imAy=0,即函数y=f)在x点连续。 定理2、若函数y=)在x。点可导，则必然在x。点连续。 注：可导必然连续，但连续未必可导：如果函数在某一点不连续，则在该点一定不可导：可 导是连续的充分条件，而连续则是可导的必要条件。 :0+如0-四签 △x 00如之马是0 △x 因为f(0)≠(0)，故f)在x=0不可导。 例3、已知函数fx)在。点可导，试问A与f(x)的关系？ 第3项一共28页 象来安
《高等数学》上册教案第二章导数与微分 解：A-▣飞+-) 4=飞+2a-26+2-2） △x 2△r 4=四飞+-0=m+,飞-=2 六、几个基本初等函数的导数公式 例4、用定义，求函数fx)=simx,a,x“,log。x的导数。 解：/)上+-马6+A-血 即f'(x)=cosx,戎f"(x)=cosx,得(sinx=cosx:同理：(cosx)=-sinx 小+园-典心典 △x -回02-0 f(x)=aha,戎f)=ana,即a)=rha,当a=e时，(ej=e: 0-受 fk）=,或(x)=a-,即(）=-：特别(x)=1。 s学客动其 )=1 “60甲/代)ha,支g矿a:特别当a-e时，仙- 用定义还可以证明：常数的导数等于零(c)=0: 几个基本初等函数的导数公式： 第4项一共28页 票永安
《高等数学》上册教案第二章导数与微分 (sinx)=cosx (cosx)=-sinx (a)=a'ma (e)=e (e）=ax(c)=0 但仅仅有这些公式对于求导数还远远不够。 例5、设f(x)=10,求')，f"0)。 解：fx)=0）=10'n10,所以：f)=10n10,f0)=n10 注：f'x)≠[fx。 cosx x0 解：f0)=l,mf)=mr=0,由此即可知，f)在x=0不连续，从而f)在x=0不 可导，即∫0)不存在。 例7、求曲线y=√在点(4,2)的切线及法线方程。 解：广2办粮据学数的几行意又。在点2习切线鲜率为大子 4切线方程：y-2=-41 法线方程：y-2=4(x-4),y=4x+18。 例8、成=伊0就东0以/ 解：当x0时，f(x)=(x=1:对于分段函数的分界点， x=0,f0)=sim0=0, ro)=0=m:10)=▣0©血-1 x-0 x-0 (cosx x0 注：如果求分段函数的导数应考虑两部分内容：其一，函数在每一个子区间内的导数（用导 数公式，或导数运算法则)：其二，在分界点处的导数由定义讨论。 第5项一共28页 票来安
《高等数学》上册教案 第二章导数与微分 §2.求导法则 一、函数和、差、积、商的求导法则 定理1、设u=(x),v=)均在点x处可导，则 (x)±x)=u'(x)±v'x): (xx订=u'(xhx)+(xh(x) [周e,om: 2() 证：设Fx)=(xx),利用导数的定义， Fk)小=飞+=▣+a6大a- △r Ar =画+ar,+aA-+ar+A(+ar,h】 =四+-k+ark±=kM片ee) 即F'(x)=(xhMx)+xhN(x),证得：u(x)(x)y=u(xx)+xwx)。 注：①不难推出，若c是常数，则：(c(x》=c'(x: ②此法则可以推广到有限个函数的积的导数，如 [u(xh(xm(x]=u(xh(xlu(x)+u(xhv(x)(x)+u(xh(x)(x) 利用法则和已有的导数公式，就可以进行简单的求导运算。 例1、设f)=压smx+ang,求f0,了孕： 解：间=6m时4mg-la+aj-效油+ax f(1)=Isin1+cosl 注：tam是常数，共导数等于零：f0≠Y,f(孕*/孕y。 倒2、)=anx,求f)及f受 解：6-mj=-血josx二eos_oc+m上=acxf经=2 cos2x 第6项一共28页 票永安
《高等数学》上册教案第二章导数与微分 即(tanx=sec2x,同理可得，(cotx=-csc2x。 例3、证明导数公式：(secx)=secxtanx及(cscx=-cscxcotx。 ee( 同理可得：(escx=-cscxcotx 例4、设f(x)=√tanx,求f'(x)。 解：)-m=(同ym+my-2器+Gae 例5、设fx)=xscx,求fx)。 解：e-e-号er+e-t+m 例6、设f(x)=x10*2,求(x)。 解：f'(x)=100x10'y=100(x)10+x00-y=10010+x10h10}=10010(1+xlh109 倒7、设s)=eisect,求s'0. :s0=tfse1+20c1+dise1iam1 练习一利用导数的四则运算法则，求下列函数的导数 y=2x2-3x2+4x+7:y=6r2-6x+4 yhs:y(hy-n r f(x)=3e'cosx:f'(x)=3(e'cosx)'=3e"(cosx-sin x) y=3x4-42+2e:y=(3x4-16'+2ey=12x2-16n16+2e (1+x)2 (1+x) :9.92 1+x2)3 二、反函数的求导法则 定理2、设x=p)单调、连续、可导，且'y)≠0，则其反函数y=f(x)存在且可导，有： 烹客可y宁 第7项一共28页 票来安
《高等数学》上册教案第二章导数与做分 证：对于反西数y=(x)的自变量的增量△x,由函数的单调性，当△r≠0时，△y≠0，再利 用x=0y可导，有 安一然生 11 例7、设函数y=arcsinx,上l,,求y'。 解：y=arcs血x,【川是函数x=s血y在受爱上的单澜连续的反函数，且x=s加y的导数 在(-受爱内不为本，由定理2的条件，则： 1 1 本帝(6m可osy-sin2y"- ←1) af立·时可：e-点（ 例8、证明：(ecam,长+a小 运：y=m,xe(+)是画纸x=my在ye(受受上的单调连续的反禹鼠，故 少=1」 票(tany)sec2y1+amy1+ p:aanj·长么w小：同理可得：6ceou,(么w 注：至此，所有基本初等画数的导数公式已全部推出： 暴函数：(x“y=a-: 对教、指数函数：(og.)=xha a=！(ary=arna(ey=e 三角反三角函数：((sin x)=cosx(cosx')=-sinx(tanx)'=sec2x (cotx)'=-csc'x (secx)'=secxtanx (cscx)'=-cscxcotx (arcsinx)'=- 看-京aosy= (-1,1) (aretanx)= 1 1 (arccotx)= (-0,+0) 阙9说-产子是421，康 第8项一共28页
《高等数学》上册教案第二章导数与做分 :y=2登号.0=-24-28+2=30，-0=24+28-2=0 例10、设y-3号本会 3lnx+x2 解：少-层+3r8hx+r)-仁+22hx+x-2x-3x2+9rnx-4xh dx (3nx+x) (3nx+x 三、双曲函数与反双曲函数的导数 因为ey=y=0d-=.e,则 e r-,e:ry=《eY_Ce=r,故ry=h:月理可得：err=sr: 2 2 :y=尝r-ycr恤.ix hr=边r」 ch'x ch'x ch'x 1 (y=ah（+w） 利用反函数的求导法则，可得反双曲函数的导数 arshr In(x):(arshey 1 archx=In(x+Vx2-1):(archx)'=- 20+w 1 a-h告 ((arth)=1文() 注：尽管已经了解了所有基本初等函数的导数公式，以及导数的四则运算法则，但是对于函 数y=six2,y=V1-x2等等初等函数的导数，还需要介绍其他的求导方法。 四、利用法则和导数公式求下列函数的导数 1、y=(2-3x)5-6x2)=10-15x-12x2+18x3:y=-15-24x+54x2 2.y=cosx.sinx y'=-sin2x+cos'x=cos2x 3.y=sin 2x =sin xcosx y'=cos2x 4.y=3x'e'cosx y=3(5x'e'cosx+xe'cosx-xe'sin x)=3e'(5x'cosx+xcosx-x'sin x) 5:y=arctanx+ 第9项一共28页 票来安
《高等数学》上册教案 第二章导数与做分 6.y=aresinx:y=aresinx+ arcsin.x V1-x2 7.y=xi(arcsinx-arccosx): 4 8y号+h3:y--22 x 1 1 9、yn:yxh 0y二由0. (l+cost)2 (1+cost)" y-fcsex-xcsexcot-csex)csex-xcscxcotx) 1+x22 1+x2)7 12.mcm(orcy) 1 arccosx (arccosxaresin x-arceosx 1 3、景：y-20+2- 1+x2)2 1+x2y 14、y=xshr+xchr: y'=(shx+chx)+x(chx+shx)=(I+x)(chx+shx)=(1+x)e 15,y=ch'x y'=(chx.chx)'=2shxchx 16.y=ch'x y'=(ch'x)'chx +ch'x(chr)'y'=2shxch'x+shrch'x=3shxch'x 17.y=arshr arthx arthx arshx 五、复合函数求导 1、复合函数的求导法则 定理、如果函数u=p(x)在x点可导，函数y=fu)在相应的u点可导，则复合函数y=几p(x] 在x点可导，且 第10页一共28页 票床安