《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 第八章空间解析几何与向量代数 空间解析几何主要就是用代数的方法处理一些几何的问题。 §1、向量（夫量） 一、向量的概念 向量：既有大小，又有方向的量称为向量，常用的表示方法有：MM2,a,a: 向量的模：向量的大小或向量的长度，记作|M,Ml,|al,或a: 单位向量：模为1的向量称为单位向量： 零向量：模为0的向量称为零向量：通常记作，O、或0：（注：零向量的方向是任意的） 负向量：与向量a方向相反，模相等的向量称为向量a的负向量，记作：-a: 向径：起点位于坐标原点的向量称为向径，常表示为：OM,F: 向量相等：a=b一a与方同向，且模相等|aHbl,在此意义下，通常的向量都是自由向量。 二、向量的线性运算 1、加减法 a-6 规定：a-b=a+(-b) a a-a=0 向量的加、减法遵循平行四边形法则或三角形法则： 2、数来（数来向量） 2数量，a~向量，则ā仍然是向量，且当元≠0时，ā/a, 「与ā同向2>0 a-001aH刘{00 -2 与a反向元0，则a-同石是与后同方向的半位向量，记作：高：与a 1 1 牛行的华位的圣±司 (2)将上面的等式变形为：āā引a°，表明任一非零向量均可用与其同方向的单位向量的数乘 来表示，并且所来的系数就是该向量的模|āl。 3、线性运算的运算律 第1页一共28页 票东安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 (1)交换律与结合律（加法) a+b-b+a (a+b)+c=a+6+e (2)结合律与分配律（数乘） (ua)=(au)后 (+u)后=a+ua 后+)=a+i 定理1、设ā，万为非零向量，则a/万一存在非零常数元，使得方=1ā :如果āu6,则o.即古6=主0不士：反之由62近及数来的定义 a 可知a/b。 注：定理表明，当两个向量平行时，其中一个向量必然可以用另一个向量的数乘表示，或两 个平行的向量可以相互线性表出。 三、向量的投影与投影向量 1、向量的投影：设向量ā，b的夹角为0(0≤0≤π)，称acos日为向量石在向量b方向的 投影，记作Prjāa|cos9,且 〔>00≤0<号 Prjaalcose0=00=告 <0号<0≤π 若记ā=M,M,且M在向量B方向上的投影点R,M,在向量b方向上的投影，点B,则： Prjaalcos0=RE=b,-h。 定理2.（投影定理）Prj(∑a)=∑Prja,。 注：向量的投影是一个数量。 2、投影向量：设向量ā在方方向上的授影为Prjā=PB=b,-h,则称向量RB为向量ā在万 方向上的投影向量，其中P店=(Pr,ā丽=么-4) RB与万方向相同时： P吧PEI(PP)°Prjāb=(rjā万=6，-b: RE与万方向相反时： RP=RPI(PP)=Prjal(-b)=(-PrjgaX-b)=(Prja)b=(b:-6) 第2页一共28页 票依安
(高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 注：如果0≤0<号，P与6同向：三<0≤x时，P丽与6反向。 §2、空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 任意选定一参考点作为坐标原点，记作0。过点0作三条相互垂直的轴，依次称为x轴 y轴、z轴，它们的正方向符合右手规则，称为空间直角坐标系，也是右手系。 两两坐标轴确定一个平面，称之为坐标平面，简称坐标面，共有三个坐标平面：少面、 z面、r面。三个坐标面将整个三维空间划分为八部分，分别称为八个卦限。 空间，点M← 遮→有序数组(6，八，)，故称有序数组（化，以，）为M点的坐标，记作： M(x,y,z)。 例1、在坐标系中找出点M,(2,3,O),并写出其关于x0y面以及关于x轴的对称点的坐标。 解：M,(2,3,)关于x0y面的对称点M(23,-6):关于x轴的对称点M,(2,-3,6)。 特殊点及其坐标： 62 (1)坐标原点：0(0,0,0) (2在坐标轴上的点：如在x轴上的点M(x,0,0),· 3)在坐标面上的点如在xOy面上的点M(k,y,0）, 二、空间点的距离 设MG小、M,),则两点之同的距离为： M,M=V任2-x+y2-y}+62-} 特别，空间点M(x,yz)到原点O0,0,0)的距离为：r=OM=V2+y2+z 三、向量的坐标表示与分向量 1、向量的方向角：a,B,y,且0≤a,B,y≤π： 向量的方向余弦：cosa,cosB,cosy: 第3页一共28页 象来安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 基本单位向量：，，(，依次代表三个坐标轴x,八，2抽正方向的单位向量，即分别代表 三个坐标轴的正方向。 2、向量的分解（沿坐标轴方向的分解） a=-M,M=M,P+M0+M,R,又M,P-PE=Prj,ai=alcosa.i,同理， M,0 alcosa.j,M,R=alcosa.,记a,acosa,a,alcosB,a,月alcosy,则： ā=a,i+a,j+a“分量表达式；a=a,a,a}“坐标表达式。 又a,a|cosa=Prja=x-x,a,=片-y,a=2-a,从而向量又可以写为： a=(32-x万+y,-y万+(32-2kā={，-xy2-22-z} 特别，对于起点在原点，终点为M(八z)的向量通常记作F=O,且 F=OM=xi+y+= 3、向量的坐标运算设ā={a,a,a,,万=，b,b,,则 a±i={a,±b,a,±b,a.±h} a={aa,0,a} a=i台a=b,a=b,a=ba/is万=a台点-久-点=元 a,a,a. 注：如果a,=0,则应理解为也有b=0。 四、向量的模、方向余弦的计算 1、模与方向余弦的计算 设向量为石=MM=(x-x)7+(y-片)i+(3-)k，且M,x水，)、M(:,y,2), 则向量的模即为M,与M,两点之间的距离，故 1āHM,M2=Vx-x)2+2-y)2+(32-z 或当向量写为：a={a,a,a}时，则 1a叶@+0+反oa-局oB-局oy-局 并由此可知，cos2a+cos2B+cosy=1(表明a,B,y不独立)。 2、时于与同方向的单在向量：司同是，因为 第4页一共28页 安
《高等数学》下册教案第八章空间解析几何与向量代数 aa=a,4a}=信，a}=coa.cop.cmy) 即：与a同方向的单位向量。的三个坐标分别为向量ā的方向余弦：cosa,cosB,cosy。 例1、已知A(4,0,5、B7,l3)试求与向量AB平行的单位向量。 解：AB={7-4,1-0,3-5}=3,1-2头，AE=V32+1P+2}=14,与向量AB平行的单位向 量为： 例2、向量ā=i+j+,万=2i+5k,求c=a-25以及c在x轴方向上的投影、投影向量。 解：=ā-25=+方+)-227+5f)=-37+j-4城={3,1，-4}，故在r轴方向上的投影为： -3:在x轴方向上的投影向量为：-3i。 例3、一向量的终点为B(2,-L,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7，求此 向量的起点A的坐标。 解：设起点为A(a,b,c),则AB={2-a,-1-b,7-c},由题意，有AB={4,4,7}, 2-a=4-1-b=47-c=7 即a=-2,b=3,c=0,所求向量的起点为：4(-1,3,0)。 例4、利用向量的相关运算证明：三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半。 证：设D、E分别为CA、CB边的中点，则 Di=元-ci=c-a=-ca0 6 即：D呢=B,表明DE∥B,且DE非1AB。 例5、设向量的方向余弦分别满足(1)cosy-1:(2)cosa=cosB=0:试指出向量与坐标轴或坐 标面的关系。 解：(1)c0sy=1:即y=0,表明向量与z轴正方向一致：（可否回答：向量垂直于x0y坐标面？) 2c0su=cos月=0：即a=B=了，表明向量既叁直于x轴又叠直于y轴，也就是说向量叠直 于x0y坐标面。（我因为cos2a+cos2B+cos2y=1,故当 cosa=cosB=0时，即cos2y=1,或cosy=士1，表明向量平行于：轴。 第5页一共28页 票来安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 §4、向量的乘法（非线性运算) 一、向量的数量积（点积、内积） 1、引例 (1)作功问题 有一方向、大小都不变的常力F作用于某一物体（如图），使之产生了一段位移，求力 F对此物体所作的功。 解：由物理学的知识，可得： ☐8 wF|cosa-51F-sl·cos8 且当0≤日00≤0<号 ③由定义，a.b-00=号 0<0≤π 2、性质 第6页一共28页 安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 (1)a,aa2 21交换律：a6=6.ā 分配律：(a+b)c=ac+b.c 结合律：(2-b=a:(ab=(a.b) 3)设ā，6为非零向量，则ā.i=0一ā1万 (4)点积的坐标运算：设a={a,a,a,},万=，b,b,},则：ab=a,b,+a,b,+a,b 因为：a.b={a,i+a,j+a.bi+bj+b.k =abi-i+abi-j+abi-k+abj-i+abj-j+ab.j-k +abk.i+abk.j+abk.k=ab,+ab,+ab 3、点积的两个应用 (1)求两个向量的夹角日的余弦 a.B ab+ab,+ab eos01a6回+a+a&+6+时 (2)求投影 资波票浸 例1、在xoy平面上求一向量6，使得6⊥ā。其中a=5,-3,4}且ā曰b1。 解：设6=b,b,b},将条件带入，有 万在x0y平面上，万1或i.k=0: b=0 i1a,6.a=0: 5b,-3b,+4h.=0 16Ha1即1bPa2: b+b+b=50 解得：乌0么点么指所水的：5一篇+治网： 例2、设a,6,为单位向量，且满足a+万+c=0,求ab+b.c+c.a。 解：a(a+b+c)=0 a.a+a.b+a.c=0 a.b+a.c=-1 6.(a+6+c)=06a+6.6+6.c=06.a+6.c=-1 c.(a+b+)=0ca+c.b+c.c=0 c.a+c.b=-1 第7页一共28页 象来安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 将上面的三式相加： 2(a.6+6.c+c.a)=-3 a6+68+8a-月 二、向量的向量积（叉乘积，外积) 例1.力矩问题 设O为杠杆的支点，力F作用在杠杆上P点处（如图）， 0 根据力学知识，力下对于支点O的力矩为向量M,其方向 垂直于力F与向量O驴所确定的平而，且从OP到F按照右手规则确定，其模为 |MHoC-F1oPlF1sin0。 定义2、设有非零向量五，6，夹角为0(0≤0≤π)，定义一个新的向量R,使其满足 ①1Hal61sin0: ②R⊥ā，R⊥万，R的方向从ā到6按右手系确定。称R为石与的向量积，记作： R=a×b,读作a叉乘i。 注：(1)ā×b是一个既垂直于a,又垂直于万的向量； (2ā×b日-5-sin0的几何意义：以ā、万为边的平行四边形的面积。 2、性质 6 ①a×a=0 ②“交换律”：axb=-bxa 分配律：a×(⑥+c)=a×b+axc 结合律：(2)×6=a×(b)=(a×b) 例2、证明基本单位向量i、j、K满足：i×j=kj×k=iK×i=方 证：i×7 H7I-sini号=1，表明，ix了是单位向量： 由定义i×711,j,且从万到7满足右手系，故i×方的方向正是z轴的正方向，即i×j的 方向与k的方向一致：从而证得：×=k。 ③ax6的坐标计算 axb={ai+a,j+a,k×地，i+b,j+b,k -abixi+abixj+abixk +ab.jxi+ab,jxj+ab.jxk 第8页一共28页 象衣安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 +a,bk×i+ab,k×j+ab.k×k =(a,b.-a.b,)i+(a.b,-ab.)j+(a b,-+ab 小 如ā={礼，0,2，万={-11,0，则 6 -110 ④设a,6为非零向量，则：ax万=0台a/6一点.么.点 国ad=o.收-长-o.收收-o长g。 即：a,h-a6,=0,a4-aA=0,a4-a,A=0,整理得：么=2=点 aaa 例3、已知三角形的顶点为A(3,4,-2),B(2,0,3),C(-3,5,4),求三角形的面积。 解：AB={-1,4,5},AC={61,6 A =-29i-24j-25k={-29,-24,-25} 5=B×4d-2-29+(29+(-25-22042 例4、已知ā-{2，-1，}，方=1,2，-}，求一个单位向量，使之既垂直于ā又垂直于b。 解：解法1)根据向量积的定义，c=a×b满足既垂直于ā又垂直于b。 方利 元=a×i=2-11=-i+3j+5k=-l,35}=V1+9+25=35 12- 满足条件的单位向量为：=士 第9页一共28页 票来安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 解法2)设所求向量为：C={C,C,C},利用条件 c⊥a,即c.a=0: 2cg-C,+c=0 c⊥b,即c.b=0: c+2c,-C:=0 |c上1或1=1： c2+c2+c=0 1 解此方程组，可得c=于35,6=±5，c=±5即=土51B,5: 例5、求向量ā=4，-3,4)在向量6={2,2,1}方向上的投影。 :ma6a6.r-爵m晋号， 例6、设向量ā=3,5，-2，向量6=2,1,4，问2，μ满足什么关系，向量ā+b与z轴垂直。 解：c=1ā+46=23,5，-2}+{21,4}={31+24,5元+4，-22+4u 由于c⊥k,则ck=0,即-21+4μ=0，即元=24。 例7、设室间三个点为AL,-3,4,B(-2,1,-),C(-3,-1,),求∠ABC A 解：BA=3,-4,5},BC={-1,-2,2, BAFV9+16+25=V50,|BC上+4+4=3 B m0既高号 0=年 例8、已知某向量模为2，与x轴、y轴的夹角相等，与z轴的夹角是前者的两倍，求此向量。 解：设所求向量为a,则其方向角a,a,2a,则ad={cosa,cosB,cosy门={cosa,cosa,cos2a cos'a+cos'B+cos'y =cos'a+cos'a+cos2 2a=1,cos2a+cos2 2a=0,cos2a=0 cos2a=-l,即2u-号或2a=,从6a-年支u-号：又a叫a7-212a 所以-29号=5发-20a-=0a8 例9、设a+3617a-55,a-4617a-25,求向量a,5间的夹角0。 a.6 :o0且a+617a-56:G+67-场=0.71a+16-6-1515f=0 a-4617a-2b:(a-4b)-(7a-2b)=0,71a2-30a.6+8bP=0 第10页一共28页