《高等数学》上册教案 第四章不定积分 第四章不定积分 §1、不定积分的概念 一.原函数与不定积分 定义1、设函数Fx)、fx)在区间I上有定义，re1,若有F'(x)=fx),则称Fx)是f) 在区间1上的一个原函数。 如果质点的路程函数为s=s,速度函数为()，已知s)=(0,由定义s)是)的 一个原函数：(sinx)=cosx,故sinx是cosx的一个原函数，… 问题：①在什么条件下，一个函数一定有原函数，是否唯一？ ②如何求原函数： 定理1、（原函数存在性定理）区间上的连续函数一定有原函数 注：①初等函数在定义区间内连续，故初等函数在其定义区间内一定有原函数： ②如果F(x)是fx)的一个原函数，即F(x)=fx):由于(F(x)+c)=x),表明F(x)+c也 是x)的原函数(c是任意常数)：表明原函数不唯一。 定理2、x)的任意两个原函数之间最多相差一个常数。 证：设Fx)、G(x)都是函数fx)的原函数，即F(x)=f(x),G(x)=f(x,对任意的x,有 F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0 即Fx)-G(x)=c,或F(x)=G(x)+c。 注：根据定理2，如果已知fx)的一个原函数为F(),则fx)的所有的原函数可以表示为 F(x)+c,即f)的原函数的全体为{Fx)+c,称为fx)的原函数族。 定义2、设fx)在区间I上的原函数的全体为Fx)+以，称其为fx)在区间上的不定积分， 记作∫fx女=Fx)+c。其中∫为积分号，x为积分变量，fx)为被积函数，fx 为被积表达式。 由此定义，由于s'0)=w),则「h=s)+c;由于(sinx)=cosx,则[cosxdx=sinx+c, acane 注：由不定积分的定义，f)的不定积分为Fx)+c是一族曲线，称之为积分曲线族。其特 点：只要作出其中一条曲线y=F(x)的图，通过沿y轴的上下平移，即可得到所有的积 第1页一共24页 泰永安
《高等数学》上册教案 第四章不定积分 分曲线y=F(x)+c的图形。 二，不定积分的性质 1.和差的积分等于积分的和差：「[fx)士g(xk=「f(xk±「g(x: 证：设F(x)=fx),G(x)=gx,则由定义， ∫fx±∫g(x=(F(x)+c)±(G(x)+e)=F)±G(x)+c {Fx)±Gx}=F'(x)±G(x)=fx)±gx) 表明，Fx)士Gx)是fx)士gx)的一个原函数，则 「rx)±g(xk=Fx)±Gx)+c=fx±g(x 2.非零常数因子可以从积分号中提出来：「(x达=kfx还： 3.积分与微分（导数)的关系： if(xkx;=f(x) ∫fx=fx)+c diff(x)de=f(x)d 「drx)=fx)+c 注：①在忽略任意常数的基础上，积分与微分互为逆运算： ②对于性质∫f":=fx)+c,但不能写成：∫(x=fx: ③当导函数f(x)已知求原函数fx)时，有fx)=∫fx)林-c,又因为不定积分「f"(x妆中 本身已包含了任意常数，故常常写作fx)=∫f(x还 三.基本积分公式 根据不定积分的定义，即若F'(x)=f(x),则f(xk=F(x)+c以及已知的基本初等函数 的导数公式，直接推出以下16个基本积分公式： m∫0&=c: (2)∫kh=+c: fa1: 5)「e'dk=e'+c: (7)∫cos.xk=sinx+e: (8)[sin xdx =-cosx+c: (9)∫sec2xdk=tanx+c: (10)csc2xdx =-cotx+c 第2页一共24项 泰永安
《高等数学》上册教案第四章不定积分 (11)[secxtanxdr=secx+c;(2 [cscxcotxdx=-cscx+c; 阳jk=am+c: womxce i5∫sinhxdx=coshx+c: i6∫coshxds=sinhx+g 对于公式∫=hl时+e说明知下：x>0时，n时=hx,且a=血-：x<0时， nl时=h(x,且a=(a(x=:因此的原函数是州，即∫片在=n+c,为了 书写简便，∫上k=hlx+e常常也被写作：∫片k=nx+c 四.简单的不定积分的计算 例1.计年不交板分-h, 解：小-hje-5rh=号9+e: ∫=k=-j-3+3-lk=小e-3+3-h=号-3x+3咖x++e 例2.多不交积分00++方，苦 :jw+r+2h品0m42 3不款b4,女， 1 解：∫(2+3yk=∫(2+32+223)=∫(4+9+26)d 1 26+c 了co2n本o-m女小osx+m达=x-eosx+e cosx-sin x ∫m=j=小eha4mr4e 第3项一共24页 泰永安
《高等数学》上册教案 第四章不淀积分 为了检验积分的结果是否正确，可利用F(x)=()。 例4.问2x、0s2x、0x是否是同一函数的原函数？是哪一个画数的原函数？ 解：行m2x=-日o2x+号 -7osx=-4c0s2r-号 所以n、o2、msx之间只相是-个书数，且 1 分n2xw=←4cos2xy={2cos2x对=sn2x 从而它们都是函数，s加2x的原函数。 例5.计算积分「V1-cos2xdk。 解：V1-cos2 x -sin xl:在不定积分中，约定VA2=A,即V-cos2x=simx, 从而：∫V-cos2xdk=∫sin xde=-cosx+c 例6.质量为m的物体，自100米高处以初速度。=0自由下落，问经过多长时间能到达地面？ 到达地面时的速度是多少？ 解：根据牛顿第二定律：F=ma,有a=g:由于a=v,即=g，从而 v=∫yh=∫gdl=g+G:再由o=0,得G=0,v=g。 国为s'=v=g,故s=∫sd=∫gdl=2+c:由于s0)=0,得c2=0,求得s=2: 到达地西时，8三100，所需时间为：1尽=10（秒)：到达地西时的建度为：一 钢7.由线y=在点：的动线的斜丰为水=名+成未由线的方程，已知点侧 在曲线上。 解：巴知，y==+2故 yjh-小eh-号，m*e 第4页一共24项 泰永安
《高等数学》上册教案 第四章不淀积分 当x=0时，y=l,可得c=1。所求商线为：y=子名+arctanx+1. 例8.已知f(tanx)=sec2x,fO)=2,求f)。 解：f'(tanx)=scc2x=l+tan2x,故f(x)=l+x,则 e-jre-j+=++e 由条件f0)=2,求得c=2,所求函数为：fx)=x+。x2+2。 注：利用基本积分公式时，必须严格按照公式的形式。如已知，∫sinxd=-cosx+c,但 「sin2xk≠-cos2x+c。 例9.计算∫f'nx,{fnx), 解：国为：血y=fh),则：Jf=小hy达=f)+c f(Inx)dey'=f(Inx) §2、换元积分法 不定积分厂sim2.xd就不能直接用基本积分公式sinx=-cosx+c来计算，因此还必须 介绍计算不定积分的一些方法。 一、第一换元积分法（凑微分法） 定理1、设Fu)是fu)的一个原函数，且“=(x)可导，则 「fld(x)lo(x)kh=FLo(x+c 证：因为F'u)-fu,而F[lo(x】是由Fu小、u=ox)复合而成，故 (Flo(x)=F(u)o(x)=f(u)o(x)=flox)lo(x) 由不定积分的定义。就有[fe(xp(xk还=Fp(r】+c。 注：①fa(x)xu=o(x)∫fuh=Fu)+c=F[o(x】+c,故称此法为第一换元法： 其特点是将被积函数中的某一部分函数视为一个新的变量： ②fo(xpx)h=fexo(x)=Fo(x刃+c,因此，第一换元法也称为凑微分法。 第5页一共24页 泰永安
《高等数学》上册教案 第四章不定积分 例1.求积分「sin2xdk。 解：小m2=2红恤wa=ww+c=m2x+e 例2.求积分ed。 解：fod ua ie咖e+e=e+c 例3.求积分2xek。 解：∫2xekx2=u∫e"dhm=e"+c=e+c 例4.求积分「xW-x2 解：-1en血=-小=+e=0-r+e 注：①一般，对于积分「xfx,可以选择代换为：M=x",支者凑微分为： ∫xfek=fle ②如米利用了第一换元法，积分完成后应当变量回带。 练习1、用第一换元法计算下列积分（要求写出所采用的代换）》 1.ju=1-x-j片加=-hu+c=-h0-x+c 2.Jcse'3xde u-3xfcsud--cotccot3x+e 3.年2=2+2片如=hu+e=h+2小e 4.fx cosxds u=x fcosudh-isinu+e-sin+e 5.fve'd ueeeete 6.Jxsin(2-dssin udu --cosu+c-cos(2-)+c 例5.凑微分练习 =日ar+)t=ak+)=支a-2到 第6页一共24页 泰永安
《高等数学》上册教案第四章不定积分 r=点啡叫=-1吗片的 六=品日）女山 sin xdx=-1 d(cosx) 血os=-支dlos 血osk=支6m如osh=支as2d e=ke=a)=支ae 注：第一换元法通常也写作：∫f[o(xp(xk=∫f[(xo(x=F[p(x】+c,即p'(xk=do(x, 称为凑微分法，要求熟练掌握凑微分法。 例6.用凑微分法计算下列积分： 解：jam-j=-小a小-ho* ∫nk-ra白-nm+c j-e哼m。 注：补充基本积分公式： i7 [tanxo水=--In cosx+c;i8∫cotxdx=Insinx+c: 1 例7.计第下列款分r看积，血. 解：r-4=-4r=-4rd） =-4rad-4r)=00-4+e=0-4x+c ∫nhnr本-hn-in()=mhixtc 1 1 1 第7页一共24页 泰永安
《高等蚊学》上册教案 第四章不定积分 =g2-2+c=-6-2+e 162-gai2am得 练习2、计算下列不定积分 1.=+e 26-66- =6-2y+c=6-2y+c 3.jdtk-2可-2可w-2amvi+c 解：解1：j4-不e可=j可=可krne+ 将法2：je。-e+e可4-6+可4=ne+c 解法3：j。密nm6动小e 例9.计算被积函数为三角函数的积分：∫cos3 x COS xc,∫cos2xd, ∫sin'xdk,∫tansec2xdk,∫tan'xsec'xdk,∫sec xd。 解：∫cos3 ixcos.xd=j6eos4r+cos2x=sn4x+sn2x+e mh=j小-g2k-+2x fsin'xd =-fsin'xd(cosx)=-f(-cosxcosx)=cos'x-cosx+c ftan x.sced=ftand(tanx)tane [tan'x-secx=[tan'x-sec'xd(secx)=[(secx-1)sec'xd(secx) 第8页一共24项 泰永安
《高等数学》上册教案第四章不定积分 -se'x-se'x+e j小eh-小e二-小ae+m小-homc secx+tanx 注：补充积分公式： (21)[sec xdx =In(secx+tanx)+c (22)[csexdx =In(cscx+cotx)+c 练习3、计算下列不定积分 1-m 2后o2--的 -nn号x+好o-F+e 3=副0-)=-+e 4女-o-em0-no.1g时 2h10+ 5.a'-小a0=ox-lcae)-有ocx-ex+e §2、换元积分法 二.第二换元法 在第一换元法中，代换u=px),从而使得积分由∫f((x咖'(r女变为积分∫fuh,从 而利用f仙)的原函数求出积分。但是对于这样一类积分如「-x,若仍然采用代换 “=(x),则总是无法完成积分的计算。因此必须寻求新的积分的方法。 定理2、设函数x=p0)单调且o't)≠0，函数f(t)加)的一个原函数为F),则有： [f(x)=Fo-(x)+c 事实上，Fox由函数F)与1=p'()复合而成，故 第9项一共24页 泰永安
《高等蚊学》上册教案 第四章不定积分 he=ro)ga=de0而iao0w 注：∫fx)x=o0∫fp)ott=FO)+c=Fo-'(x+c,相当于作了 代换x=),称此换元的方法为第二换元法，其特点是将积分变量x视为某个新的函数。 1.被积函数中含有a-x、√±a的积分 例1.米积分小-，京，。 1 1 a 解：∫V-xkx=asin1∫小Va2-a2sim2d=a∫cos2d -号引0+o2h-受-20+c-号-mome -+c jhamo+dmx-dwh 1 -fo(cet+tamt)c n aa =mkx+va+xte ∫。e了ea-小h inceci+tamt)e=ine)e a 注：①被积函数中如果含√a2-x2、√r2±a2可以考虑使用三角代换，其目的之一是去掉被 积函数中的根号：去掉根号后，还应该结合凑微分法完成整个积分： ②如果使用三角代换，则应在变量回带时，应作出相应的变换三角形： ③补充的两个基本积分公式： 四a-六n8 an=+e 1 1 第10页一共24项 票衣安