教 案 姓名刘桂姐2011~2012学年第一学期时间10.31节次1-2：3-4 课程名称 高等数学 授课专业及层次2011级电子信息本、计算机本 授课内容 中值定理、洛必达法则 学时数 教学目的 理解罗尔(Role)定理和拉格朗山(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理， 会应用中值定理证明一些命题。 重点 罗尔定理及拉格朗山中值定理的应用 难点 灵活应用中值定理证明一些命题 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 ,引言：本章主要讨论中值定理及导数的应用。中值定理是研究函数性态的基础 5分钟 车函数与它的导数之间起桥梁纽带作用并有很重婴的理论意义。 二、新课： 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节中值定理 15分钟 (-)罗尔(Ro11e)定理 1、费马引理：（教材第126页） 5分钟 (1)叙述并引导证明(2)举例分析条件中有一个不满足，其结论可能不成立. 2、定理1（罗尔(Ro11e)定理）（叙述并引导证明） 5分钟 例1、证明方程x一5x+1=0有月仪有一个小于1的正实根 10分钟 5分钟 (引导分析证明) 学生练习：习题3-11、5 5分钟 (二)、拉格朗日中值定理 1、定理2（拉格朗日中值定理） (重点讲解) (1)、几何解释： (2)分析证明的思路是作辅助函数(3)给出证明 10分钟 注意：拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导 数之间的关系 拉格朗中值公式又称有限增量公式。拉格朗川中值定理又称有限增量定理 5分钟 (4)穿插介绍科学家拉格朗山在数学方面的卓越贡献
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 2、推论：（教材第129页）叙述并引导证明。 10分钟 (引导分析证明) (三)、柯西中值定理 定理3（柯西中值定理） 10分钟 (1)画图给出几何解释(2)叙述并引导学生证明 注意：罗尔定理是拉格朗中值定理当f()=f)时的特殊情形：拉格朗小中值定理 5分钟 是柯西中值定理当8)=x的特殊情形 学生练习：习题3-1、6,11 5分钟 三、课堂总结：理解罗尔(Role)定理和拉格朗山(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy) 定理，会应用中值定理证明一些命题。 布置作业：习题3-18、9、12 5分钟
教 案 姓名刘桂姐2011~2012学年第一学期时间11.02节次12：5-6 课程名称 高等数学 授课专业及层次2010级计算机本、电子信息本 授课内容 洛必达法则 学时数 2 教学目的 掌程洛必达法则，会用洛必达L'hospital)法则求不定式的极限 重点 掌握用洛必达法则求不定式的极限 难点 洛必达法则的应用 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 无 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 、 复习回顾：1、极限的几种求法 2、中值定理 5分钟 二、新课： 第三章微分中值定理与导数的应用 第二节洛必达法则 5分钟 如果当x→a(或x→四)时，两个函数f)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大， 私会侣可他体，包程不体版家动号皮导夫 0 10分 (一)、0未定式 1、定理1（教材第133页，叙述给出定理的证明） 2、洛必达法则定义 注意：吴m侣物展号型具了，g⑧满是定现的条作，同以维续能用洛 5分钟 5分钟 ②)→。换成x→或→。或x→0或x→或x→0，只要把定理条件 相应改动，结论仍成立
讲授内容别要、要求及时间分配（附页） 3、讲解例题： 10分钟 arctan.x 例1米m二咖 x3-3x+2 lim 2 例2求四2-中例3、 (二)、0未定式 1、定理2：（叙述定理，课下学生自行证明） 10分饼 2、定理的应用：讲解例题： 例索下牙银限如学≥ 10分钟 创5、求卿h1-对 3、注意：使用洛必达法则时，号型与号型可能交替出现。洛必达法则是求未定式的 种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果史好。 5分钟 5分钟 （三)、其他类型的未定式 关复指它类未定式化为备地法到可的大型合（日 5分钟 1、乘积形式：00 0∞1 求法：通分， 例7、来me(0n) 2、和差形式：o士0 求法：取例数， 0-0
讲授内容纲要、要求皮时间分配（附页） 1 5分钟 3、暴指形式：0，0 0° f0.n0 对数 求法：取对数， 0 0ln→0 5分钟 例9、来细 倒10、来卿r 倒1、来im(cot)品 注意：洛必达法则的使用条件。 2.求期中 10分钟 三、课堂总结：使用洛必达法侧要注意条件，灵活运用洛必达法则求极限 5分钟 布置作业：习题3-21、(2)(5)(9)(12)(13)(16)
教 案 姓名刘桂姐2010~2011学年第二学期时间11.09节次1-2：5-6 课程名称 高等数学 授课专业及层次2010级计算机本、电子信息本 授课内容 泰勒公式 学时数 2 教学目的 了解泰勒(Taylor)定理，会应用泰物Taylor)定理解决一些相关的问题。 重点 泰勒公式，能应用它解决一些相关问题。 难点 应用泰勒公式求极限和利用泰勒(Tyor)定理证明题 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 一、复习回顾：1、拉格朗川中值定理2、柯西中值定理 5分钟 二、讲授新课： 第三章微分中值定理与导数的应用 第三节泰勒公式 10分钟 (一)、问题的提出 (二)、泰勒中值定理 1、定理1（泰勒中值定理）（叙述并引导证明，重点讲解） 15分钟 2、注意： 1)当n=0时，泰勒公式变成拉氏中值公式f()=f(:)+f(传x-x)(传在x,与x 2》取=0,5在0与x之间，因此可记5=：(0<0<)，从而泰勒公式变成 麦克劳林公式： a=0+0+t9+0r+0a<0 5分钟 24 n! 时横多衣四装技黄核多床肉 5分钟 (n+1)! 8、 应用：讲解例1、求f()=e的n阶麦克劳林公式
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 但x-x)→06x→x) (n+) 10分钟 讲解例2：求f(x)=sinx的带有拉格朗山型余项的n阶麦克劳林公式。 4、常用函数的麦克劳林公式（要求熟记） 10分钟 .x3 2n+nto(r2m 5分钟 2nj+or2 5分钟 h0+)=x-g+x 2+3+(← n++o 10分钟 1+x°=l+x+mm-》x2+.+mm-l少-m-m+Dx产+or） 21 讲解例题： 例3 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 10分钟 三、学生练习： 5分钟 四、课堂总结：本节主要讲述了泰勒定理及应用，要会利用泰物公式解决一些相关的问 5分钟 题。 布置作业：习题3-31、4,5,7
教 案 姓名刘桂姓2011~2012学年第二学期时间11.07节次1-2：34 课程名称 高等数学 授课专业及层次2011级电子信息本、计算机本 授课内容 函数的单调性与曲线的凹凸性 学时数 2 教学目的 掌程函数的单调性的判定，会判定曲线的凹凸性。 重点 掌握函数单调性的判别法。 难点 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式， 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习回顾：1、拉格朗中值定理2、柯西中值定理 5分钟 二、讲授新课： 第三章微分中值定理与导数的应用 第四节函数单调性的判别法 (一)、函数单调性的判别法 15分钟 1、若y=f(x)在a,b上单调增加（单调减少)则f'(x)20(f'(x)≤0) 2、函数单调性判别 定理1：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f'(x)>0,那末函数y=f(x) 在[a,b]上单调增加： (2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那末函数y=f(x) 在[a,b]上单调减少 3、注意：①[a,b]→1，结论仍成立： 5分钟 ②x∈1，f'(x)20(≤0)且只有个别点处f'(x)=0,则在1上fx)单调增加 例1、判定y=x-sinx在0,2x]上的单调性 5分钟 例2、讨论y=e-x-1的单调性
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 4、注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而 5分钟 能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单测性。 3、单调区间求法 1)问题：上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调。 2)定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间 3)关键：导数等于零的点和不可导点，可能是单调区向间的分界点 4)求法：用∫"(x)=0及f'()不存在的点来划分()的定义区间，然后判断区间内导 5分钟 数的符号。 例3、确定函数f)=(2x-5F的单调区间 例4，确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 10分 注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性。 例5、当>0时，试证x>1+x)成立。 10分 例6证明：当x>1时，2F>3- x (二)、曲线的四凸与拐点 1、问题：如何研究曲线的弯曲方向？ 2、曲线的凹凸： 设断)在区间1上连续，如果对1上任意两点x,x 15分 恒有产兰)西，影末称代1上的图形是《有DP的（成A证 5分钟 3、凹凸的判定法： 定理2：如果fx)在[a,上连续在(a,b)内具有一阶和二阶导数若在(a,b)内 ①f"(x)>0,则fx)在[a,b]上的图形是凹的 (2)(x)<0,则fx)在[a,b1上的图形是凸的 例7判断曲线y=x的凹凸性
讲授内容别要、要求及时间分配（附页） 4、拐点的定义：连续曲线上四凸的分界点称为曲线的拐点 5分钟 拐点的求法： (1)求出函数的二阶导数。 (2)令f"(x)=0,解出方程的的根，并求出f(x)=0不行在的点： (3)对于(2)中求出的每一个实根或一阶导数不仔在的点x, 检查f(x)在x左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时， 点(xfx))是拐点，否则不是拐点。 10分钟 5、进解颗 教师讲解例9例10 学生自练例11例12 三、课堂总结：本节主要讲述了函数单调区间以及函数的凹凸的确定，函数的拐点求 法 5分钟 布置作业：习题3-43、(2)(4)9(4)(6)