彭 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-06-16节次5-6 2008级信息管理与信息系统 课程名称 高等数学 授课专业及层次 本科1班 授课内容 常数项级数的概念、性质 学时数 2 教学目的 掌握各种级数的定义：收敛级数的性质 重点 各种级数的定义：收敛级数的性质 难点 难点：各种级数的定义：性质 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 相关知识：数列的极限及判定方法 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习提问 1、数列与数列极限 10分钟 2、等差与等比数列及其求和 二、习题订正 CT十 10分， 3 4) 5) 43)4) 授课内容 第十二章无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数顶级数的概念 1、定义：给定一个数列4，山，.，4n 则由这数列构成的表达式叫做（常数项）无穷级数，记为∑“。，其中第n项“。 叫做级数的一般顶。 2、级数收敛的概念 10分钟 定义：如果级数空，的部分和数列有极限，四。= 则称无穷级数∑“。收敛，这时极限叫做这级数的和：如没有极限， 则称无穷级·发散
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 3、应用 例1讨论级数元ag=a+a叫+ag++ag+.的敛散性。 5分钟 = 例2证明级数1+2+3+.+n+.是发散的。 10分钟 例3到定级数1223 1 1 1 .+ n(n+D +.的敛散性 5分钟 二、收敛级数的基本性质 性质1如果级数上，收效于和s,则级数∑仙，也收敛，日其和为ks 5分钟 性质2如果级数空、立，分别收敛于s和t则级数空，士 5分钟 也收敛，且其和为s±t 性质3、在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 5分钟 性质4如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的 5分钟 级数收敛。特别注意：此结论的逆定理不成立。 性质5（级数收敛的必要条件） 5分钟 如果级数立山。收敛，则它的一般项趋于零，即m”,=0 注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 三、柯西审敛法 定理（柯西审敛法），级数收敛的充要条件是：对于任意给定的E,总10分钟 存在自然数N,当>N时，对于任意的自然数p,都有下式成立 ul+u2+.+u<E 4列定级数三的数敏 5分钟 、小结：本将主要讲述了级数的定义、性质及审敛判别法 5分钟 1 正项级数的性质 调和级数的证明 五、作业 CT12-1P254 23) 4) 45 390 5分钟
教 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-06-18节次5-6 2008级信息管理与信息系统 课程名称 高等数学 授课专业及层次 本科1班 授课内容 常数项级数的审敛法 学时数 2 教学目的 掌握各种审敛判别法，会判定级数收敛 重点 各种审敛判别法 难点 难点：各种审敛判别法的灵活应用 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 相关知识：数列的极限及判定方法 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习提问 1、数列与数列极限 10分钟 2、等差与等比数列及其求和 3、级数收敛定义 4。经断收的性质 5、调和级数的发散证明方法 二、习题订正 CT12-1P254 4 5)5 4) 授课内容 第十二章无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法 、正项级数审敛法 10分钟 1、定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数。 定理1正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。 定理2（比较审敛法）设和∑，都是正项级数，且 以，≤v.n=123.若级数立收敛，则级2收敛：若级数立发散， 则级数∑也发散
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 2、应用 10分钟 例1讨论1 11 1 2+3+.+ +.级数的收敛性，其中常数p>0 例2证明级数了1 是发散的 台Vn(n+万 3、比较审敛法的极限形式 10分钟 定理3（比较审敛法的极限形式）没2和三都是正项级数。 )如果m兰=①≤11或当一= 时，级数发散 当P=1时级数可能收敛也可能发散。 例4证明1+23*+123a-* 1 1 例5判 收收，计污素 1010+10 定理5（根值审敛法，柯西判别法） 10分钟 设立纳下项袋数，如哭m瓦，=p 侧6判断级数22+6少 的敛散性。 定理6（极限审敛法）设∑”，为正项级数， 10分钟 ()如果mm,=>0mm=o,立，发散。 (2如果p>1,而imm,=10≤1<+四)收敛。则立，收敛
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 例7判定级数l+)的收敛性. 例8判定级数∑n+10-c0s马的收敛性 二、 交错级数及其审敛法 10分钟 1、定义：交错级数是指这样的级数，它的各项是正负交错 的，从而可以写成的形式：4，一4，+4-4+. 或 一+一%+一.其中,4，.都是正数。 定理7（莱布尼茨定理，交错级数审敛法） 如果交错级数∑-)%满足条件：，≥1(=1,2,. m,=0,则级数收敛，且其和s≤4，其余项的绝对值5从 三、绝对收敛与条件收敛 1、定义：设为常数项级数，如果它的各项的绝对值所构成的 10分钟 正项级数立a收敛，则称级数”，。绝对收敛： 如果级数立4，收敛，而级数发散则称级数，条件收敛 定理8 如果级数， 绝对收敛 则级数 必定收 *定理9绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛， 且与原级数有相同的和。 例9判定级数了血n口的收敛性。 合n2 例10判定级数卫(-少是0+的收敛性 四、小结：本将主要讲述了级数的定义、性质及审敛判别法 1、正项级数的性质 5分钟 2、 正项级数的比较判别法：自身判别法 3、交错级数的收敛判别法 4、条件收敛与绝对收敛 5、调和级数与p-级数的收敛判别 五、作业 5分钟 CT12-2P206 1 4)5) 2 33) 4) 3) 4)5)
教 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-6-23节次5-6 2008级信息管理与信息系统 课程名称 高等数学 授课专业及层次 本科1班 授课内容 幂级数 学时数 教学目的 掌挥幂级数的收敛半径与收敛域的确定方法、会利用和函数的性质求级数 重点 幂级数的收敛半径与收敛域、和函数的性质 难点 希级数的收敛半径与收敛域的确定、利用己知函数项数求变形的函数项级数 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 泰勒级数 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 、复习提问 10分闭 1、级数的定义、性质及审敛判别法 2、正项级数的性质 3、正项级数的比较判别法：自身判别法 4、交错级数的收敛判别法 5、条件收敛与绝对收剑 6、调和级数与p级数的收敛判别 二、习题订正 CT12-2P268 3 4) 授课内容 第十二章无穷级数 第三节幂级数 一、函数项级数的一殷概念 10分钟 1、定义： 设4(，4，(x.,4,(x,.是定义在1R上的函数 ,则 24,国=4+因+u国 称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 2.收敛点与收敛域 3和函数 在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称s(x)为函数 项级数的和函数 例1求极数Σ女的收数比 二、幂级数及其收敛性 5分钟 1、定义： 形如公0.一y的级数称为签级题 15分钟 2.收敛性： 定理1(Abel定理) 如果级数立ar在x=飞化0)处枚敛则它在满足不等式x的一切x处发散 推论：如果幂级数∑a,不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数 轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质： 当R时，幂级数发散 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散. 定义：正数R称为幂级数的收敛半径幂级数的收敛域称为幂级数的收 敛区间 规定：（①）幂级数只在X=0处收敛，R=0 (②)幂级数对一切x都收敛，R=+∞， 定理2如果幂级数∑a,x的所有系数a,≠0， 10分钟 设合p使=阿=)
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） )则当p0时R=分②当p=0时，R= (3)当p=+时，R=0 例2求下列幂级数的收敛区间： 10分钟 0空-r号 (2)∑（-x): ④2w云 :来经数空学的收饭间 三、幂级数的运算 5分钟 1.代数运算性质： 收敛的函数级数对加减乘除封闭 10分钟 2.和函数的分析运算性质： 和函数在收敛区间内连续、可导、可积 10分钟 例4求级数立一广号的和函数 例5求幂级数∑(2n+1)x”的和函数. 例6求空g的和 常用已知和函数的幂级数 10分钟 2÷o2-r2r r 四、小结 @克-r行 5分钟 1,函数项级数的概念 2.幂级数的收敛性：收敛半径月 3.幂级数的运算：分析运算性质 五、作业CT12-3 15) 6 7) 8) 2
彭 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-6-25节次5-6 2008级信息管理与信息系统 课程名称 高等数学 授课专业及层次 本科1班 授课内容 函数展开成幂级数 学时数 教学目的 掌握函数的泰勒级数展开方法，会利用已知级数构造新级数，会近似计算 重点 函数级数的展开及应用 难点 利用常见函数的幂级数展开式构造新函数的幂级数 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 函数的泰勒展式 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习提问 10分钟 1、函数项级数，收敛点、收敛域 2、幂级数的定义及收敛性？ 3、Abel定理及其推论？ 4、幂级数的收敛半径与收敛域 5、幂级数的运算性质？ 6、和函数的运算性质 二、习题订正 10分钟 CT12-3p277 (1) (2) (3) 授课内容 第十二章无穷级数 第四节函数展开成幂级数 一、泰勒级数 1、导入 10分钟 2、收敛定理 定理2fx)在点x的泰勒级数，在U,()内收敛于f(x) 10分钟 =在U(x)内limR(x)-0. 定理3设fx)在U(x)上有定义.3M>0,对Vx∈(x。-R,x+),恒有
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） f()sM (n=0,1,2),则f()在(x。-Rx。+)内可展开成点x的泰勒级数， 二、函数展开成幂级数 10分钟 1、直接法（泰勒级数法） 步骤 0求a,= (2)讨论1imR.=0或f(≤M, 则级数在收敛区间内收敛于f(x). 20分钟 2、应用 例1将f)=c展开成幂级数 例2将f(x)=simx展开成x的幂级数 例3将f(x)=1+x)“(a∈R)展开成x的幂级数 3、间接法 20分钟 根据泰勒展式的唯一性，利用常见展开式 通过变量代换，四则 运算，恒等变形，逐项求导，逐项积分等方法求展开式. 例4将fx)=Vx+4r展开成x的幂级数 例5将fx)=sinxcos2x展开成x的幂级数 例6将f(x)=n(1+x+x)展开成x的幂级数. 例7 将fx)= =l布x=处展开成泰勒级数 A (展开成x-的幂级数)并求∫①. 三、小结 1.如何求函数的泰勒级数； 5分钟 2.泰勒级数收敛于函数的条件： 3.函数展开成泰勒级数的方法， 四、作业CT12-4 P285 5分钟 24) 5) 6