第一章函数与极限 习题1-1 4,求下列函数的自然定义域 (I)y=V3x+2 解由3x+20得x>子函数的定义城为[子+m 2)y=1- 解：由1-x2≠0得x≠士1.函数的定义域为(-，-1)U(-1,1)U(1,+oo) r=名- 解：由x≠0且1-x2≥0得函数的定义域为[-1,0U(0,]. ④y4- 解：由4-x2>0得函数的定义域为(-2,2). (5)y=sin; 解：由x≥0得函数的定义域为[0，+∞). (6)y=tan(x+1); 解：由x+1:受eZ)得函数的定义城为r≠kr+-1keZ。 (7)y=arcsin(x-3); 解：由k-3到≤1得函数的定义域为[-2,4. （Sy=VB-x+arctan 解：由3-x≥0且x≠0得函数的定义域为(-o,0U(0,3)]. (9)y=n(x+1): 解：由x+1>0得函数的定义域为[-1，+∞]. (10y=e
解：由x≠0得函数的定义域为(-c,0U(0,+o0). 6.设p(x)= m冰5哈原-导.程 数y=(x)的图形 9(-2)=0.图形略。 7,试证下列函数在指定区间内的单调性： 0y=x: (2)y=x+lnx,(0,+o). 证明(1)对于任意的x,x2∈(-0,1)，有1-x>0,1-X,>0.因为当x<x时， 为%产a00. 所以两数y一产在区间（←》内是单调带加的 (2)对于任意的x,2∈(0，+)，当x<x3时，有 -⅓=低+h)-伤+血)=G-)+h毫<0. 所以函数y=x+nx在区间(0，+o∞)内是单调增加的. 12.求下列函数的反函数 ()y=+: c ⑧y-培由-c0: (4y=2sin3x(←-sxs2: (5)y=1+ln(x+2):
解：()油y=x+1得x=y+1,所以y=x+1的反函数为y=x+1. a油用：号所以，臣的反商数为长 ,8女若培的反数为产 cy-a" (④由y=2sin3x得x=aresin号所以y=2sin3x的反函数为y=arcsin (5)由y=1+ln(x+2)得x=e-2,所以y=1+n(x+2)的反函数为 y=e-l-2. O曲得=晚产所以y的反西数为=吸云 14.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于 给定自变量值x和x,的函数值。 0y=,业=油2张名=若与=骨 因ymw=2x-爱子 (③)y=i.4=1+x,x=1x=2: (4)y=e,=x2,x=0,x2=1: (5)y=u2,u=e,x=l,x2=-l. 解0y如，n君-分-音%=如号-月 6)y=+x.y=+F=反.为=+2=5. (4)y=e%=e°-ly2=e'=e
(5)y=e,h=e2m=e2,y2=e2-=e2. 「1IxK1 16.设/x)={0k上1，g(x)=e.求f几g(x】和g[/x1并作出这两 -1 Ixp1 个函数的图形. II lekI (1x0 [e IxkI e Ixk1 /(x=ew=e°x1.即：g/(x={1k1.图形略 习题1-2 1.下列各题中，那些数列收敛？那些数列发散？对收敛数列，通过观察{x,} 的变化趋势，写出它们的极限： 0x2 a=y 6x=2+ 司 (5)xn=n(-1)°： x m=n 8x收-旷+ 解0当m→时名分0，职子=0， ②当n→时=(y日0，回(-y日=0 当时品引品1品到
(⑤)当n→o时，x=n(-1)°发散 当→时号-)号0，▣号-0 0消味.怎=发敬 (阅当。→时，多=(-旷+片发散 2设数列的一复项k如 -.问Iimx。=?求出N,使当n>N时， x,与其极限之差的绝对值小于正数6，当6=0.001时，求出数N 解：limx,=0. 1k-0o@e受.V>0,要k.-0 n 取N=白，则vn>N,有k,-0即m>方 证到：因为v6>0V=方，当m>v时.有京-0K,所以疗=0
但分折析：要做心行 2n+1222n+4n 正明因为vG>03N=始，当a>N时有物水，所以 )分析：要使+口-1非F+日-n n n 你网号6，只资 证明：因为>0，V=马.当n≥N时.有+口-1K,所以 m证1. (0分折：要使p99-d，即a>1+号 证明因为VG>0,3N=l+lg之.当n>N时，有0.999.9-<6，所以 m02;91 习题1-3 1.对图1-28所示的函数f(x),求下列极限，如极限不存在，说明理由， (1)limf(x); (2)lim/(x): (3)limf(x): 解：(1)0：2)-1 (3)不存在，因为f0)≠(0). 2.对图1-29所示的函数f(x),下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ ()imf(x)不布在： (2)limf(x)=0: (③)lim f(x)=1: (4)limf(x)=0 (5)imf(x)不布在：
(⑥)对每个x∈(-l,),imf(x)存在： 解：(1)错： (2)对； (3)错： (4)错： (5)对： (6对. 3.对图1-30所示的函数f(x),下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ (0)1imf)=1: 2)imf不布在： (3)limf)=0 (4)limf()=1: (⑤)1imfx)=1: (6)1imf)=0: (7)limf(w)=0: (8)1inmf(x)=0: 解：(1)对： (2)对 (3)对： (4)错 (5)对： (6)对： (7)对： (8)借 习题1-4 1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之 解：不一定 例如，当x→0时，a)=2x)=3x都是无穷小，但m0-名 器不是无为小 2.根据定义证明： 0y:→时为无务 (2)y=xsin二当x→0时为无穷小 E明当x时H引H-3引.因为vc>036=e,当 0<x-3到<8时，有 1H-水8=c
所以当x→3时y=9为无穷小 +3 (2)当x≠0时1yHx‖sin二Sx-01.因为Ve>0,38=e,当0<x-0<6时， IyHxlsin-x-0k5-c, 所以当x→0时y=xsin为无穷小 4.求下列极限并说明理由： 02 a活 解：（④因为22+片而当x→m时片是无穷小所以m2-2 @烟为=1+x).面当x→0为无穷小，所以1 习题1-5 1.计算下列极限 号 @吗品 长 0)-2x+1 x2-1 -1)2 x-1
解，2=四21- 3x2+2.x 3x+2 例红+炉-r h 解：+-=回f+2+-=x+=2x h h om2-+: 解-22 x2-1 (i 解：m22-x12112 x2-1 xx2 2+ (8)im x2+x 解：m二0（分子次数低于分母次数。极限为到 或m311子了0 r2+r x2-6x+8 (9m2-5x+4 保源号号片 解：ml+2-之）=md+im2-=1x2=2
解：0+行 .1- 02im+2+3+·+a- n (n-1)n 解423山-”片号 n 13)im+1n+2n+3)」 5n :回a+2a)-号（份子与分母销次数相铜，极限为量商次项 系数之比). 或回a+o20-n0+0+0+月号 5n 0g六 3 13 1+x+x2-3 1-x)(x+2) 解：mx)0-0+x+-a-0++可 r+2 2.计算下列极限： 解国为，器-80，所以器= x2+2x2 2)im2x+1 解：m20因为分子次数高于分母次数