《高等数学》课程教学资源（内容讲义）第七章多元函数微分法及其应用.doc_大学文库

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性． 4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法． 5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法． 6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数． 7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程． 8．了解二元函数的二阶泰勒公式． 9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．二、内容提要（一）多元函数的极限与连续 1．二元函数的概念设 D 是平面点集，如果对每个点 P x y D ( , ) ，变量 z 按照一定的法则总有唯一确定的值和它对应，则称 z 是变量 x ， y （或点 P ）的二元函数，记作 z f x y = ( , ) 或 z f P = ( ) 称 D 是该函数的定义域．类似可以定义三元或三元以上的函数． 2．二元函数的极限设 z f x y = ( , ) 在区域 D 内有定义， 0 0 0 P x y ( , ) 是 D 的聚点，若存在常数 A ，使得       0, 0 ，当 0 P x y D U P ( , ) ( , )   时， f x y A ( , ) −   ，则称 z f x y = ( , ) 当 P P → 0 时以 A 为极限，记作 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A → = 或 0 lim ( , ) P P f x y A → = ，二元函数的极限也称为二重极限．注二元函数极限的存在，等价于点 P x y ( , ) 在 f x y ( , ) 的定义域中以任何方式趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时， f x y ( , ) 的极限都是 A，由此可知，如果 P x y ( , ) 沿某两种特殊方式趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时， f x y ( , ) 的极限不相同，则 0 lim ( , ) P P f x y → 不存在． 3．二元函数的连续性设 z f x y = ( , ) 的定义域为 D， 0 0 0 P x y ( , ) 为 D 的聚点，且 0 0 0 P x y D ( , ) ，如果 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = ，则称 f x y ( , ) 在 P0 处连续．此时，D 可以是开区域或闭区域，因此 P0 也可能是 D 的边界点．比较一元连续函数在闭区间上的性质，二元连续函数在闭区域上也有类似的性质．

（二）偏导数与全微分 1．偏导数定义如果 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y  → x +  −  存在，则称此极限为函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 0 P x y ( , ) 处关于 x 的偏导数，记为 0 0 0 0 ( , ), x P P f z f x y x x      或．称 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y ( , ) lim y f x y y f x y f x y  → y +  −  =  为 z f x y = ( , ) 在 0 0 0 P x y ( , ) 处关于 y 的偏导数．在不引起混淆的情况下，有时为了记号的简单，也将 0 0 ( , ) x f x y  和 0 0 ( , ) y f x y  记为 1 0 0 f x y ( , ) 和 2 0 0 f x y ( , ) ．由偏导数的定义可知，求偏导数实质上是求一元函数的导数的问题，如 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x x x d f x y f x y dx =  = ．因此，一元函数的求导公式和求导法则对求偏导数也是适用的．对三元或三元以上的多元函数亦可定义相应的偏导数． 2．偏导数几何意义二元函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 的偏导数 0 0 ( , ) x f x y  表示空间曲线 0 ( , ) : z f x y y y  =    = 在点 0 0 0 0 M x y f x y ( , , ( , )) 处的切线对 x 轴的斜率． 3．高阶偏导数设函数 z f x y = ( , ) 在区域 D 内具有偏导数 ( , ) x z f x y x  =   ， ( , ) y z f x y y  =   ，那么在 D 内 ( , ) x f x y  ， ( , ) y f x y  都是 ( , ) x y 的函数．如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们为函数 z f x y = ( , ) 的二阶偏导数．按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 2 2 ( , ) xx z z f x y x x x      = =         ， 2 2 ( , ) yy z z f x y y y y      = =         ， 2 ( , ) xy z z f x y y x x y      = =          ， 2 ( , ) yx z z f x y x y y x      = =          ，其中后边两个偏导数称为混合偏导数． 4．二阶混合偏导数相等的充分条件如果函数的两个二阶混合偏导数 2 z x y    及 2 z y x    在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个

二阶混合偏导数必相等，即 2 z x y    = 2 z y x    ． 5．全微分的定义设 z f x y = ( , ) 在区域 D 内有定义， ( , ) , ( , ) x y D x x y y D  +  +   ，若存在与 x ，y 无关的 A 和 B，使  = +  +  − =  +  + z f x y y f x y A x B y o ( , ) ( , ) ( )  ， 2 2  =  +  → x y 0 ，则称 f x y ( , ) 在 ( , ) x y 处可微，且称 dz A x B y =  +  为 f x y ( , ) 在 ( , ) x y 处的全微分．二元函数的可微性是一元函数的可微性的推广．若 z f x y = ( , ) 在 ( , ) x y 处可微，则它在 ( , ) x y 处连续．一元函数可微与可导等价，但二元函数可微和存在偏导数却没有这样的关系．实际上，若 f x y ( , ) 在 ( , ) x y 处可微，则它在该点处的偏导数存在，且全微分为 z z dz dx dy x y   = +   ．但反之则不一定成立，比如本章例 14． 6．判别函数可微通常有两种方法方法 1 若 z f x y = ( , ) 在 ( , ) x y 的某邻域中的偏导数 ( , ) x f x y  和 ( , ) y f x y  存在，且 ( , ) x f x y  和 ( , ) y f x y  在 ( , ) x y 处连续，则 f x y ( , ) 在 ( , ) x y 处可微．方法 2 首先求 ( , ) x f x y  和 ( , ) y f x y  ，如果 0 [ ( , ) ( , ) ] lim 0 x y z f x y x f x y y →   −  +    = ，其中  = +  +  − z f x x y y f x y ( , ) ( , ) ， 2 2  =  +  x y ，则 f x y ( , ) 在 ( , ) x y 处可微．在利用方法 1 来确定 f x y ( , ) 的可微性时，通常根据多元初等函数的连续性可知 f x y ( , ) 有连续的偏导数．而适用于方法 2 的具体问题往往是考虑 f x y ( , ) 在一些特殊点的可微性，其中 ( , ) x f x y  和 ( , ) y f x y  一般要用定义求得．（三）多元复合函数微分法 1．复合函数的一阶偏导数设 z f u v = ( , ) 可微， u u x y = ( , ) 和 v v x y = ( , ) 存在偏导数，则 z f u x y v x y = [ ( , ), ( , )] 有如下关于 x 和 y 的偏导数： , z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y           = + = +           ．特别地，若 u u x = ( )， v v x = ( ) ，则 z f u x v x = [ ( ), ( )] 对 x 的导数为 dz f du f dv dx u dx v dx   = +   ．

称上述求导（或偏导）的公式为链式法则．注这里要注意求偏导数的对象，即是对复合前的函数求导数（或偏导数），还是对复合后的函数求偏导，例如 z f x y x = ( , ( )) ， dz f f dy dx x y dx   = +   ，这里的 f x   表示复合前的二元函数 z f x y = ( , ) 关于 x 求偏导数，而 dz dx 则表示复合以后的函数 z f x y x = ( , ( )) 关于 x 求导数，二者切不可混为一谈． 2．一阶微分形式的不变性设 z f u v = ( , )，u u x y v v x y = = ( , ), ( , ) 均可微，则无论将 z f u v = ( , ) 视为 u 、v 的函数，或视为 x 、y 的函数，其微分相同，称之为一阶微分形式的不变性．该性质可用来求多元复合函数的偏导数，而无需关注变量之间的关系．（四）隐函数的微分法 1．一个方程确定的隐函数隐函数存在定理 1 设 F x y ( , ) 在点 0 0 P x y ( , ) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 0 0 F x y ( , ) 0 = ， 0 0 ( , ) 0 F x y y   ，则方程 F x y ( , ) 0 = 在点 0 0 ( , ) x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y y x = ( ) ，它满足条件 0 0 y f x = ( ) ，并有 ( , ) ( , ) x y dy F x y dx F x y  = −  ．若 F x y ( , ) 有二阶连续偏导，则在相应条件下，有 2 2 2 2 3 2 xx y xy x y yy x y d y F F F F F F F dx F        − + = −  ．隐函数存在定理 2 设函数 F x y z ( , , ) 点 0 0 0 P x y z ( , , ) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 0 0 0 F x y z ( , , ) 0 = ， 0 0 0 ( , , ) 0 F x y z z   ，则方程 F x y z ( , , ) 0 = 在点 0 0 0 ( , , ) x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z z x y = ( , ) ，它满足条件 0 0 0 z f x y = ( , ) ，并有 ( , , ) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) x y z z z z F x y z F x y z x F x y z y F x y z     = − = −     ． 2．方程组确定的隐函数设方程组 ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 F x y u v G x y u v  =   = 确定隐函数 u u x y v v x y = = ( , ), ( , ) ，记 ( , ) 0 ( , ) u v u v F G F F J u v G G    = =     ，则对方程组关于 x 和 y 求偏导数可得

1 ( , ) ( , ) u F G x J x v   = −   ， 1 ( , ) ( , ) v F G x J u x   = −   ， 1 ( , ) ( , ) u F G y J y v   = −   ， 1 ( , ) ( , ) v F G y J u y   = −   ．特别地，若方程组 ( , ) ( , ) x x u v y y u v  =   = 确定的隐函数（即反函数）为 u u x y v v x y = = ( , ), ( , ) ，则 u y 1 x J v   =   ， v y 1 x J u   = −   ， u x 1 y J v   = −   ， v x 1 y J u   =   ，其中 ( , ) 0 ( , ) x y J u v  =   ．由此可验证 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) x y u v u v x y    =   ．这里并不是要求读者记忆这些公式，而是要掌握推导它们的方法，即由方程组两边对自变量求偏导数的方法．（五）方向导数与梯度 1．方向导数（1）设 z f x y = ( , ) 在 0 0 0 P x y ( , ) 的某个邻域内有定义，方向向量 l ={cos ,cos }   ，若极限 0 0 0 0 0 ( cos , cos ) ( , ) lim f x y f x y       → + + + − 存在，则称该极限为函数 f x y ( , ) 在点 P0 处沿 l 方向的方向导数，记为 P0 f l   ．（2）设 z f x y = ( , ) 在 0 0 0 P x y ( , ) 处可微，则 f x y ( , ) 在 P0 处沿任何方向 l ={cos ,cos }   的方向导数都存在，且 0 0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos x y P f f x y f x y l    = +    ．（3）偏导数给出了函数沿坐标轴方向的变化率，而方向导数则可刻画函数沿不同方向的变化率，因此其在实际问题中有重要的应用．（4）对三元函数 u f x y z = ( , , ) 类似地亦可定义相应的方向导数． 2．梯度设二元函数 z f x y = ( , ) 在点 ( , ) x y 存在一阶连续偏导数，则称向量 , f f f = x y           grad 为 f x y ( , ) 在点 ( , ) x y 的梯度．同样地，对可求偏导的三元函数 u f x y z = ( , , ) ，其梯度为 , , fff f = x y z           grad ．

（3）设空间曲线  的方程是以 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z  =   = 的形式给出, 则曲线  在点 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 处的切线方程为 0 0 0 0 0 0 y z z x x y y z x y M M z x M x x y y z z F F F F F F G G G G G G − − − = = ．曲线  在点 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 处的法平面方程为 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 y z x y z x y z z x x y M M M F F F F F F x x y y z z G G G G G G  − +  − +  − = ． 2．曲面的切平面和法线设光滑曲面 S 的方程为 S F x y z : ( , , ) 0 = ，则 S 在 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 处的切平面方程为 0 0 0 0 0 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 F M x x F M y y F M z z x y z    − + − + − = ，相应的法线方程为 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x y z x x y y z z F M F M F M − − − = =    ．特别地，若 S 的方程为 z f x y = ( , ), 则相应的切平面和法线方程分别为 0 0 0 0 0 0 0 ( , )( ) ( , )( ) ( ) 0 x y f x y x x f x y y y z z   − + − − − = 和 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 1 x y x x y x z z f x y f x y − − − = =   − ，其中 0 0 0 z f x y = ( , ) ．（八）多元函数的极值 1．二元函数的一般极值（1）设点 0 0 0 P x y ( , ) 是二元函数 z f x y = ( , ) 定义域中的一个内点，若存在   0 ,使得当 0 P x y U P ( , ) ( , )    时，有 0 0 f x y f x y ( , ) ( , )  ，则称 f x y ( , ) 在点 P0 处取得极大值， 0 0 f x y ( , ) 称为 f x y ( , ) 的极大值， P0 称为 f x y ( , ) 的极大值点．类似地可以定义极小值以及极小值点．（2）若 z f x y = ( , ) 在点 0 0 0 P x y ( , ) 处的偏导数存在，且 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y   = = ，则称 P0 为 f x y ( , ) 的驻点（或稳定点）．若函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 0 P x y ( , ) 处的偏导数存在且取得极值，则 P0 一定为 f x y ( , ) 的驻点，因此，若 z f x y = ( , ) 在区域 D 内偏导数存在，则 f x y ( , ) 在 D 内的极值点一定是驻点．

（3）二元函数取得极值的必要条件：设函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 0 P x y ( , ) 具有偏导数，且在点 0 0 0 P x y ( , ) 处有极值，则有 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y   = = ．（4）二元函数取得极值的充分条件：设 z f x y = ( , ) 在 0 0 0 P x y ( , ) 处存在二阶连续偏导数， 0 0 0 P x y ( , ) 为 f x y ( , ) 的驻点，记 0 0 ( , ) A f x y xx =  ， 0 0 ( , ) B f x y xy =  ， 0 0 ( , ) C f x y yy =  ，则有 2  = − AC B  0  0 = 0 A>0 A<0 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 处取极小值取极大值不取极值是否取极值不能确定，需另作讨论 2．条件极值求函数 f x y ( , ) 在条件 ( , ) 0 x y = 下的极值的方法与步骤：（1）令 F x y f x y x y ( , , ) ( , ) ( , )   = + ；（2）求使 0 FFF x y   ===    的点 0 0 ( , ) x y ，即为可能的极值点；（3）由函数取得极值的充分条件或定义来确定 0 0 ( , ) x y 是否为极值点；（4）求极值．上述方法称为拉格朗日乘数法．该方法可推广到多个变量的函数在多个约束条件下的条件极值问题．例如，要求函数 u f x y z t = ( , , , ) 在附加条件 ( , , , ) 0 x y z t = 和 ( , , , ) 0 x y z t = 下的极值：可以先作拉格朗日函数 L x y z t f x y z t x y z t x y z t ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ), = + +   其中  , 均为参数，求其一阶偏导数，并令一阶偏导数为零，然后与两个附加条件方程联立起来求解，这样得出的 0 0 0 0 ( , , , ) x y z t 就是函数 u f x y z t = ( , , , ) 在附加条件 ( , , , ) 0 x y z t = 和 ( , , , ) 0 x y z t = 下的可能极值点．再由函数取得极值的充分条件或定义来确定 0 0 0 0 ( , , , ) x y z t 是否为极值点． 3．最值若 f x y ( , ) 在有界闭区域 D 上连续，则 f x y ( , ) 在 D 上存在最大值和最小值，求最大值和最小值的方法是：求出 f x y ( , ) 在 D 内的驻点和偏导数不存在的点，将其函数值与 f x y ( , ) 在 D 的边界上的最大值和最小值进行比较，最大者为最大值，而最小者为最小值．（九）二元函数的泰勒公式设 z f x y = ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 的某一邻域内连续且有直到 n +1 阶的连续偏导数， 0 0 ( , ) x h y k + + 为此邻域内任一点，则有 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2! f x h y k f x y h k f x y h k f x y x y x y         + + = + + + +            

《高等数学》课程教学资源（内容讲义）第七章 多元函数微分法及其应用

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