重点：二重积分的定义及性质 难点：二重积分的性质 关键：与定积分的定义与性质比拉 相关基础知识：定积分的外算 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
第十章重积分 第一节二重积分的概念与性质 第二节二重积分的计算法 第三节三重积分 第四节重积分的应用 第五节含参变量的积分 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 2
第一节二重积分的概念和性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、本节小结 五、作业 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
关于定积分的定义与性质 1、定义设函数f(x)在a,b]上有a,b]中任意插入 若干个分点a=x,<x,<x,<.<x<x。=b 把区间a,b]分成n个小区商小区间的长度依次为 △x;=x,-x1-1,(i=1,2,·路小区间上任取 一点5(5，∈△x,)作乘积f(5;)△x,(i=1,2,) 并作和S=2f(5,)△x, 记元=max{△x1,△x2,.,△xn},如果不论对[a,b] 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
怎样的分法，也不论在小区间[x1,x,上 点5，怎样的取法，只要当入→0时，和S总趋于 确定的极限I,我们称这个极限I为函数f(x) 在区间a,b]上的定积分，记为 积分上限 积分和 fxwk1=im2f传A i=1 积分下限 积表达式 积分变量 [a,b)积分区间 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
2、存在定理（仅给出内容，不做证明） 定理1 当函数f(x)在区间a,b上连续时， 则f(x)在区间a,b]上可积 定理2 设函数f(x)在区间a,b]上有界， 且只有有限个间断点， 则f(x)在 区间a,b]上可积. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
3、定积分的几何意义 f(x)>0,f(x)=A 曲边梯形的面积 f(x)<0,f(x)=-A曲边梯形的面积的负值 [f(x)dx=A-A +A-A 2012.329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
几何意义： 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条 直线x=4,x=b之间的各部分面积的代数和 在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面 积取负号 X 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
定积分的性质 对定积分的补充规定 (1)当a=b时， Ff(x)dx=0: (2)当a>b时， 心fx)s=-Sf(x)d 说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不 考虑积分上下限的大小. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
性质1 f(x)±g(xdc=f(x)dc±g(x)d. (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质2心付(x)=kf(x)d本(k为任意常数) 性质3假设a<c<b f(x)dx=[f(x)dx+f(x)dx. 补充：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立. (定积分对于积分区间具有可加性) 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室