山东第一医科大学(泰山医学院):《高等数学》课程教学课件(打印版)第七章 微分方程
第一节微分方程的基本概念 (Basic concept of differential equations) 一问题的提出 二微分方程的定义 (Definition of differential equations) 三 主要问题——求方程的解 四 小结思考判断题 第二节可分离变量的微分方程 (Differential equations of the variables separated) 可分离变量的微分方程 二 典型例题 小结与思考题 第三节齐次方程 (Homogeneous equation) 一齐次方程 二可化为齐次的方程 三小结思考题 第四节一阶线性微分方程 (Linear differential equation of first order) 一线性方程 (Linear differential equation) 二伯努利方程 (Bernoulli differential equation) 小结 思考判断题 第五节全微分方程 (Total differential equation) -全微分方程及其求法 二积分因子法 小结与思考题 第六节可降阶的高阶微分方程 y("=f(x,y,..,y("-)型 二y"=f(x,y',.·,y("-①)型 恰当导数方程 四齐次方程 五小节与思考题 第七节高阶线性微分方程 (Higher linear differential equation) 概念的引入 线性微分方程的解的结构 降阶法与常数变易法 四小结思考题 第八节常系数齐次线性微分方程 (Constant coefficient homogeneous linear differential equation) 一定义(Definition) 二二阶常系数齐次线性方程解法 三n阶常系数齐次线性方程解法 四小结与思考题 第九节常系数非齐次线性微分方程 (Constant coefficient non-homogeneous linear differential equation) 一f(x)=exPm(x)型 二f(x)=ex[P,(x)cos cax+P,(x)sin cax]型 三小结思考题
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第一节微分方程的基本概念 (Basic concept of differential equations) 一问题的提出 二微分方程的定义 (Definition of differential equations) 三 主要问题——求方程的解 四 小结思考判断题 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 1
问题的提出 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解设所求曲线为y=y(x) dy=2x 当x=l时,y=2 dx y=2x所以y=x2+C,求得C=1, 所以所求曲线为y=x2+1. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程? 解设制动后t秒钟行驶s米,s=s(t) 8=0.4t=0时,s=0,= =20, d v==-0.4+C,s=-0.22+C,t+C, dt 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室
代入条件后知 C1=20,C2=0 v=ds =-0.4t+20, _dt 故s=-0.2t2+20t, 开始制动到列车完全停住共需1二450(秒】 列车在这段时间内行驶了 s=0.2×50+20×50=500米). 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
二微分方程的定义 (Definition of differential equations) 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例y'=, y"+2y'-3y=e*, (t2+x)dt+d=0, 0=x+y, Ox 实质联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室
分类1常微分方程,偏常微分方程, 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之 分类2 一阶微分方程F(x,y,y)=0,y'=f(,y 高阶(n)微分方程F(x,y,y',y)=0, ym=f(比,y,y',.,ym-. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
分类3线性与非线性微分方程 y'+P(x)y=Q(x),x(y'2-2y'+x=0; 分类4单个微分方程与微分方程组. =3y-2z, dx dz 、dx =2y-, 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
三 主要问题-一-一求方程的解 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数 设y=p(x)在区间I上有n阶导数, F(x,p(x),p'(x),p(x)=0. 微分方程的解的分类 (1)通解微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
例y=y, 通解y=ce; y"+y=0,通解y=c,sinx+c2cosx (2)特解确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象微分方程的积分曲线, 通解的图象积分曲线族, 初始条件 用来确定任意常数的条件。 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题, [y'=f(x,y) 一阶 yx=x yo 过定点的积分曲线: [y"=f(x,y,y') 二阶 x==0,==6 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室