教案 姓名董寒晔 2010~2011学年第二学期 时间201131节次12 课程名称 高等数学 授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 向量及此线性运算 学时数 2学时 教学目的 了解空间直角坐标系，理解向量的概念，掌握向量的线性运算，理解掌握向量 的模、方向角与方向余弦 重 点 线性运算、模、方向角与方向余弦 难 点 投影及投影定理 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 立体几何知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 第八章空间解析几何与向量运算 第一节向量及其运算 回顾：空间直角坐标系知识（引领学生复习为主） 1、建立空间直角坐标系 5分钟 图1 右手坐标系，兰个坐标面，八个卦限 空间点的坐标：横坐标、纵坐标、竖坐标，M(x,y,2) (启发学生总结华标面与华标知上点华标的特点，) 讨论：习题8-17 5分钟 2、空间上两点间的距离公式： DM,M,=V:-x,)2+y-y)2+(,-2)月 例：在2轴上，求与A(-4,1,7)和B(3,5,-2)两点等距离的点 (一)向量概念（自学为主，注意与初等数学的徇接） 向量、几何表示、向量的符号、自山向量、向量的模、单位向量、零向量、向量的平 5分钟 行（共面）
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） （二)向量的线性运算 1、向量的加法（讲解延伸全多边形法则） 定义 三角形法则、平行四边形法则 6 10分钟 向量的加法的运算规律 a b 负向量、向量的减法 2、向量与数的乘法（重点介绍） 1.向量与数的乘法的定义 2.特别的：当=-1时，(1)a与ā互为负向量，故有(1)=-a。 5分钟 3.数量和向量的乘积满足下列运算规则 (1)结合律：(@)=4(a)=(d) 5钟 (2)分配律：（元+）a=ā+a:(ā+b)=ā+2b 土.定理设向量石≠0，则向量/a的充要条件是存在唯一的实数入，使石=ā 5分钟 5.向量的单位化 设0，则向量台是与a同方向的单位向量记为色 5分钟 例1.在平行四边形ABCD中，设AB=A,AD=b. 试用a和b表示向量M、AMB、MC、MD,其中M是行四边形对角线的交点。 5分钟 (引导学生分析思路并解题) (三)向量的坐标分解式、向量的坐标（作图加强理解） 1、向量坐标的预备知识 2、向量的坐标表达式：a={a,0,a,},M,M2={化-x2-,-} 5分钟 特殊地：OM={x,，z
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） （四)利用坐标作向量的线性运算（重点介绍 1、利用坐标作向量的线性运算 设a=(a,a,a,),6=(6,b,b) a±b=(a,±b,g,±b,a,±b,) 5分钟 ha=(Aa,ha,ha.) 2.利用向量的坐标判断两个向量的平行（推导证明） 6Maei=ae点-点-4 5分钟 例3：已知两点A(,片，)和B(x,片，22)以及实数2（≠-1），在直线AB上求点M 使AM=M店. 5分钟 (五)向量的模、方向角、投影（币点讲解） 1、向量的模与两点间的距离公式AH卧√G,-}+0,-?+6,- 5分钟 例4.已知两点A(4,0.5)和B(7,1,3),求与AB方向相同的单位向量e, 2、方向角与方向余弦 (1)非零向量r与二三条坐标轴的夹角a、B、Y称为向量的方向角 (2)向量方向余弦的坐标表示式：当Va+a+a≠0时， a a. cosa Vai+a;ta aitaita 、cosy= aitaita 10分钟 (3)方向余弦的特征：cos2a+cos2B+cos2y=1 特殊地：单位向量的方向余弦为3= 同cosa,c0 .co7 例5.设已知两点A(22,√2)和B(山，3,0)，计算向量AB的模，方向余弦和方向角 4.向量在轴上的投影 (1)空间一点在轴上的投影 10分 (2)向量在轴上的投毙P可j.ABAB1cos(AB) (3)投影的性质（教师课上作图提示思路，学生课下自己加以证明》
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） (六)课堂总结 本次课主要讲述了向量的概念、向量的加减法与向量坐标、向量的模、投影、方向角等 知识。向量的概念与坐标等知识是高中知识，做了相应的巩固与加深，向量的投影与方 5分钟 向角的概念需要加深理解。 布置作业：习题8-15,12、15、19
教案 姓名董寒晔 2010~201L学年第二学期 时间20113.8 节次34 课程名称高等数学授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 数量积向量积 学时数 2学时 教学目的 然练堂握数量积、向量积的运算， 重 点 理解数量积、向量积的定义性质，熟练掌运算 点 向量积的定义性质 自学内容 混合积 使用教具 多媒体 相关学科知识 功、力知等物理学知识 教学法 讲授、启发式教学、练习指导 讲授内容纲要、要求及时间分配 (一)两向量的数量积（重点介绍） 引例：力沿直线做功：W=cos0（由旧知识引出新内容) 5分钟 1、数量积定义：a.6=5cos0(其中0为a与6的夹角 5分钟 2、结论：两向量的数量积等于一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上投影的 5分钟 乘积.a.6=lPmj.b=bPrj.a 3、关于数量积的说明：(1)a·ā=(2)a6=0一a16 5分钟 (讨论两条性质，学生完成证明) 4、数量积符合下列运算规律： (1)交换律：a6=6,a (2)分配律：(a+b)c=ac+6. 5分钟 3)若元为数：(b=a(5)=(a.b若元、μ为数：()(b)=u(a.b 5、数量积的坐标表示：a-6=a,b,+a,b,+a.b: 6.两有量夹角余孩的坠标表不o0厅+可，+C6++ ab,+a b,+ab. 10分钟 两向量垂直的充要条件：a⊥万一a,b,+a,b,+a,b
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 例1已知a=11,-4},6=1,-2.2,求(1)a6(2)(a^6(3)a在6上的 10分钟 例2：已知三点M(1,1,)、A2,2,1)和B(2,1,2,求∠4MB 例3：设液体流过Ψ面S上面积为A的一个区域。液体在这区域上各点处的流速均为 (常向量)加，设n为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向n所指 方的液体的质量P液体的密度为p). 5分钟 (教师完成例题讲解，指导学生练习：P221(3)6) (二)两向量的向量积 引例：力知的求法（设定问题，引导学生回顾已有知识得到问题的答案） 5分钟 1、向量积定义：×6也称为“叉积”、“外积”（重点讲解） c的模1 alsin0,其中0为a与b间的夹角 c的方向垂直于。与b所决定的半面，c的指向按右手规则从a转向6来确定 10分钟 那么，向量c叫做向量a与b的向量积.记作a×b,即c=ab. 2、关于向量积的说明： 5分钟 )axa=0.(0=0→sin0=0)(2)ā∥6=→axi=i.(a≠0,6≠0) 3、向量积符合下列运算规律：(1)ā×b=-b×石(2)分配律 (a+b)×e=a×e+bxe(3)若1为数：()×b=a×(b)=A(a×b) 5分钟 1、向量积可用阶行列式表示：x6=口，,a bx b b. 10分钟 (启发学生共同完成推导过程) 5、补充：后×表示以ā和6为邻边，的半行四边形的面积 5分钟 (举一反三，启发学生求二角形面积) 例4设a(2L,-1,6(1,-1,2),计算a×b. 5分钟 例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2.3)、B(3.4.5)、C(2.4.7).求三角形ABC 的面积 例6设体以等角速度。绕1轴旋转，计算刚体上一点M的线速度 (三)课堂总结： 5分 本节重点介绍了数量积与向量积的定义、性质及运算。特别是向量垂直、半行与数量 积向量积的关系，在后续知识中尤为重要。 布置作业：P23、7、9(1)(3)
教案 姓名董寒晔 2010201学年第二学期 时间2011314 节次12 课程名称高等数学授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 曲面及出方程 学时数 2学时 教学目的 理解曲面方程的概念，掌握球面、旋转曲面、柱面方程的特征，了解二次曲面及 出方积 重 点 球面、旋转曲面、柱面方程的特征 难 点 二次曲面及共方程 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 无 教学法 讲授、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 第三节曲面及其方程 (一)曲面方程的概念（结合多媒体课件讲解） (山曲面S上任一点的坐标都满足二元方程F(化，八，)=0： 5分钟 (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,八，)=0， 那么.方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程而曲面S就叫做方程F(,y,z)=0的 图形。 5分钟 例2设有点A1,2,3)和2.-1,4.求线段AB的垂直半分面的方程.（学生完成） 【研究曲面的两个基本问题】： ()已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程 (②已知坐标、y和：间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状 (二)常见曲面（重点讲解，数形结合） 1、坐标面与平行于坐标面的面 2、球面 10分钟 例1球心在点M()半径为R的球面的方程(x-x2+0o+(e-2-R 例2方程2+y2+2-2+4=0表示怎样的曲面？ 3、旋转曲面 1)定义： 2面上的曲线C:f(x,)=0,绕Z轴旋转而成曲面方程：f仕√X2+y2,z)=0 10分钟 (设置问题，引导学生发现规律，找出曲线绕y轴旋转而成的曲面方程)
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 绕y轴旋转而成曲面方程：f(化，士Vx2+z)=0 10分钟 3)圆锥面：z=a(±√x2+y2) ()常见：旋转抛物面旋转椭球面旋转双曲面 10分钟 (学生导出公式，教师结合多媒体介绍上述曲面形状) 4、柱面 1)引例：方程x2+y2=R2表示怎样的曲面 5分钟 (启发学生讨论相同方程在平面与空间分别代表的含义，导出下列定义) (2②定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做杜面。C:准线L 母线 10分 ①不含z的方程f(化，)=0Lk轴 ②不含x的方程fy,z)=0Lx轴 5分钟 ③不含y的方程fx,z)=0Ly轴 3)常见杜面：1.y2=2x抛物杜面 2.y=x过z轴的Ψ面 5分钟 (引导学生想路，指导作图) 三、二次曲面 (结合多媒体课件重点介绍仲缩变形法，学生课下自学截痕法) 5分钟 二元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 山方程研究曲面形状的方法： 1、痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线的形状然后力 以紧合，从而了解曲面的立体形状 2、伸缩变形法：设S是一个曲面，其方程为Fx八=0，S是将曲面S沿x轴方向伸缩 2倍所得的曲面显然，若xy)eS,则(x水S:若xy)eS,则（兮x)eS.因此 对于任意的yeS,有F(x=0，即F(x)=0是曲面S的方程 椭圆维面：方程手+芳-所表示的曲面称为椭阀锥面。 (②)球面：方程+卡+号1所表示的曲面称为球面 10分钟 ()单叶双曲面：方程导+-1所表示的曲面称为单叶双曲面
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 4双叶双曲面：由方程一兰一1所表示的曲面称为双叶双曲面 a b c 5保低抛物面：方程导长：所表示的鱼面移为的图脑物面 (⑥双曲抛物面：方程号-是-：所表示的曲面称为双曲抛物面， ()二种二次曲面是以二种二次曲线为准线的柱面： 5分钟 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。 四、课堂总结 本节重点介绍了空间曲面及其方程，如建立球面方程、旋转曲面方程，也分析了一些) 程所对应的曲面的形状，如柱面方程、二次曲面等，关键是理解曲面与二元方程的关系 5分钟 与一些特殊曲面的形状。 布置作业：P313、7、9、10(3)(4)
教案 姓名董塞晔 2010-20山学年第二学期 时间201L315 节次34 课程名称高等数学授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 空间曲线及其方程 学时数 2学时 教学目的理解空间曲线的一般及参数方程，会求空间曲线或立体的投影 点 空间曲线的一般及参数方程，曲线或立体的投能 空间曲线的方程及其图形：空间曲线或立体的投彪 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 无 教学法 启发式讲授，辅以多媒体教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 回顾：空间曲面方程： 5分钟 常见空向曲面形状（球面、杜面、旋转曲面等） 第四节空间曲线及其方程 (一)曲线的一般方程 般方程： F(x.).2)=0 10分钟 G(x.V.z)=0 创1方程组仔之表不怎样的自线 例2方程组尔 0分钟 -鄂+2-（表示怎样的曲线 (通过学生讨论，利用多媒体课件予以演示) (二)空间曲线的参数方程（设置问题，导出定义） 1.引例.如果空间一点M在圆柱面x之+y=d上以角速度 ù绕：轴旋转，同时又以线速度v沿平行于：轴的正方向 上升（其中，v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺 10分钟 旋线.试建立其参数方程. 2参数方程： 5分钟 3.将曲线的一般方程化为参数方程 5分钟 练习：P75(1) 5分钟