第十章重积分 本章和下一章是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们学习了不定积分和定积 分，同时我们也知道定积分是某种形式的和的极限，这种和的极限推广到定义在区域、曲线 和曲面上就是重积分、曲钱积分和曲面积分的概念。本章我们将介绍重积分（二重积分、三 重积分)的概念、计算方法以及他们的一些应用。 $1、二重积分的概念 一、二重积分的概念 1、引例与定义 (1)曲顶柱体的体积 设函数z=fx,),当（化y)∈D时，f(x,)20,且fx,)在D上连续。由曲面z=f(x,y)、 xy平而的区城D、母线平行于z轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，或称为以曲面 z=x,)为顶，以平面区城D为底，母线平行于2轴的曲顶柱体。 2=f(x,y) 已知：平顶柱体的体积=底面积×高 3,-f59,) ①分割：用平面曲线网将区城D分割为 A0,A02,·,A0,,A0。 相应地将曲顶柱体分割为n个小的曲顶柱体： AK,AV,...Av,...Av 其中△y表示第i个小曲顶柱体、也表示该柱体的体积，则：V=∑A: ②速V的近似值：(，n,)∈△g,△V≈f5,n,)△g(i=L,2,,n):故 V-2a业*2f5nAa (5,7) ③垡业的指确值：记=max所有△a,的直径倒，则，V=im∑f(乐，n)△a,: (2)平面薄板的质量问题 设平面薄板占有xOy平面上的区城D,密度函数为p=p(x,y),当(x,)eD时，p(x,)>0 且在D上连续。 同理可得，质量计其公式：m=m∑p(,n)△a,:
《高等数学》下册教案 第十章重积分 定义1、设函数∫(x,y)是有界闭域D上的有界函数。将D任意分割成n个小的区域：△口、 △、、△,（(△G,既表示第i个小区域也表示小区域的面积)：任取（⑤，）∈△, i=l,2,作和：之fG,na,:记=mmx△a,的直，若极限m之f八5，nAa,存在， 称极限值为函数f(x,)在区城D上的二重积分，记作：Iim∑f5,n,)△o,=川nfx,y)do 其中f(x,)—被积函数，D—积分区域，do—面积微元， xy—积分变量，f，)da—被积表达式，f八5，n)a,一积分和。 注：①do相应于积分和中的△a,故do>0: ②如果已知二重积分儿nx,)do存在，特别： (1)用直角坐标系中的直线网即平行于坐标的直线网分割区城D,除去边沿部分外，有 Ao,=AxAy,则 ∬。fxo=m2fG,n)Aa -im()Ao,+lim()Ao 4g=44y =lm∑f5,n)Ax4y=∬nfx,dhd 即：川nx,y)do=川nfx,y)kd一在直角坐标系下的二重积分 2)用极坐标系中的曲线网即以坐标原点为中心的圆孤、从坐标原点发出的半射线分割区城 D,除去边沿部分外，有△a,=r△△日，则利用直角坐标与极坐标的关系5=rcOs日， 7,=5sin日，此时 (ξ) (x.yda-lim()Ao △o≈rW△8 =m∑f5,n)Ao,+mΣfGn,)Aa, =lim∑f(cos6,rsin8)rAyA6=j∬nf(cos0,rsin0)rdd0一极坐标系下的二重积分 2、二重积分的几何意义 共29页一第1页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 1)当fk,)之0川。fx,dG的几何意义表示以区城D为底，以曲面2=fx,)为顶，母线 平行于：轴的曲顶柱体体积（位于x0y上方）： 2若化，川≡l,八nfx,da=川ndG积分值等于区城D的面积。 注：①fx,y)≤0时，nfx,y)do的几何意义表示以区拔D为底，以曲面z=fx,)为顶 母线平行于：轴的曲顶柱体的体积： ②若积分区域D关于x轴对称，D,是位于x轴上侧的一半区域 。fk.wo=2 f(,yda f(s.y=)f,- 0 f(x,)=-f(x,-y) ③设积分区域D关于y轴对称，D,是位于y轴右侧的一半区域，则 fr.yda-2 a f- 0 f(x,y)=-f(-x,y) 例1、根据二重积分的几何意义，指出下列积分值，其中D:x2+y2≤R2, D,:x+ys1,x≥0，y≥0：∬R2-x-yda,∬da,j∬0-x-to。 解：∬o=D的面积=xR:八R-r-少do=上丰球体体积=子xR 0--o=四面体的体积-名 例2、指出下列积分值，川(2-2+y)d6,其中D:x2+y2≤4。 解：被积函数2=2-√+少≥0，（化，）∈D,根据二重积分的几何意义，积分值等于以曲面 z=2-√2+y2为顶，以D:x2+y2≤4为底的曲顶柱体的体，即等于底半径为2，高为2 2-F+aa2y2- 例3、指出下列积分值，其中其中D:x+y10 ∬。xF+rda f∬n3-x2 sin xy)do 解：川nxVF+ydo=0 共29页一第2页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 川n6-sin xyda=3go-j。sin xyda=3-0023=60 二、二重积分的性质 可以证明，连续的函数一定可积，以下总假设二重积分存在。 性质1、川nfx,y)do=nf(x,y)do,k为非零常数： 性质2、∬n/x,)gxdg=川。fx,do±川。gxda: 性质3、若D=D,+D,且D∩D,=(除边沿部分外)，则 ∬nfx,dg=。fcdg+∬nfx,do 性质4（保序性）、若fx川≥gx,川，(x,)∈D,剥：川。fx)do≥川。g(xo: 表明，当积分区域相同时，被积函数越大，则积分值越大，可以依据此性质比较两个积分值 的大小。 特例：(1)若fx)20,(x,)∈D,则∬nfx,y)do≥0： 21∬(das∬lfx,川da 其中2)几何意义在于：左端—体积的代数和，右端—体积。 性质5、（估值定理）若m≤fx,)≤M,(c,)∈D,则 mc≤∬nf,y)do≤Ma （g是D的面积) 注：利用此性质可以估计积分值的范围。 性质6、（中值定理）若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在（⑤，）∈D,使得： ∬nfx,y)do=f(5,n)o(o是D的面积） 证明：因为f(x,)在有界闭区域D上连续，则在D上可以取得最大、最小值M与m,即 m≤fx,)≤M,(xy)∈D;根据性质4， 八。mda≤j。fx,dos∬。Mia 即mo≤川nf心，o≤Mo,浅m≤号川。fdo≤M,由闭区城上连续画数的性质，存在 (传，eD,使得f5,0=号。fxdo,即：广。fx,da=f5,0a 例4、比较积分∬。(x+dg与川。x+do的大小，D由(x-2)+0-)=2围成的圆城。 共29页一第3页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 解：当(x,)eD时，总有x+y之1，故x+y≤(x+y,∬x+do≤川x+ydc。 例5、试估计二重积分值川x+y+1)do,其中D是矩形区城：0≤x≤1,0≤y≤2。 解：fx,)=x+y+1,则当（化，y)∈D时，m=0+0+1=1,M=2+1+1=4,故：1≤fxy)≤4： 且0=2×1=2，则 2≤mo≤，(x+y+I)do≤Ma=8 (例4图) (例5图) §2、二重积分的计算 一、在直角坐标系下计算二重积分 1、平面上的简单区域及其不等式表示：X型与Y型 =0 X型： Y型： a≤x≤b 「c≤y≤d D:sy D,:{,0sx5w.0 例1、将下列平面区城用不等式表示 g- 解：1D,D,:Cyd a≤xsb 共29页一第4页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 -R≤xSR 0≤y≤R 2)Dx: 0≤y≤VR2-x D:R-ysys-yi 3)Dx: 「0sys1 及0≤，2-：D:{55x2-y 2、在直角坐标系下二重积分的计算 例1、计算曲顶柱体的体积V=川nfx,y)do,f(x,)20。 解：设曲顶柱体的底为x0y平面上的区域D,顶为曲面z=f(x,)20:设区城D为X型区域 且D: 「a≤x≤b (9)≤y≤g,(x) x,∈[a,,过x点作垂直于x轴的平面 平面与曲顶柱体有一截面，设数面面积为A(x), 则4，)为：40)=∫6： y=g(x) 由x∈[a,的任意性，有x∈[a,创，我面面积为：Ax)=∫%fx,)d 根据平行截面面积已知立体体积的计算公式，曲顶柱体的体积为 vds 从而，川。f化，dg=业=红)本二次积分（累次积分） 注：①对于一般的二重积分川nfx,y)do,若其积分区城D为X型区城，即D: ass只.剥也有：fdo=fdh: [asx≤b 为了书写方便，二次积分常写为： 。f,do=jmfd=fx4 csysd ②同理，若积分区装D为y型区城，即D:{05:,的则有 dadyds ③如果积分区城不是简单区域，则应当适当划分为简单区城再逐个积分。 共29页一第5页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 例2、计算二重积分川。3do,其中积分区城D为矩形：≤x≤h (csysd' 解：根据上面的讨论，视D为X型区摄，D:a≤x≤B lesysd”则 ∬ndo∫d=)d2-cd=子62-ad-c=jw 特例：若积分区城D为矩形区城D:口5x5办.被积禹教恰好可以写为，)=不W6。 lc≤ysd' 则∬。0do=fx∫0。 例3、计算积分川3x2ydo,其中D由曲线x=y2-1与x-y=1围成。 y+1 解：1视D为y型域，则D:-13xSy+1 ∫-1≤y≤2 2 ∬n3xdo=」时3x=∫3x =∫yx本=∫0+-02-y -io4r-o4hG2-d02-0 =0+-0w呢其cr-呢-9 2视D为X型城，则D: 15x0及{0x3 -x+l≤y≤+1x-1≤x≤Vx+ 川3xdo=小3do+。3xdo=j3x+3xd -3rw+3xw-3rr 引x1--达-器 例4、计算积分川nxV2+ydG,D由y=a-x2与y=0围成。 -a≤x≤a a 共29页一第6页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 。xVR+rdo=FxP+y= 0≤x≤a :{--55-可.则 儿F+o广F+F-a-0 例5、计算积分川neda,D由x=2、y=x及x轴国成 所DxD:852为 edoe-ieai-ieie-f生 多D有r线n: 川nedc=eh此积分无法用牛顿莱布尼滋公式计算 注：以上例题表明，在直角坐标系下计算二重积分时，应注意积分顺序的选择，二重积分计 算的关键是转化为二次积分。 例6、将二重积分1=川。f化，y)o化为直角坐标系下的两种不同顺序的二次积分，其中D由 直线y=x、y=2x及y=2图成。 2 2 所a::{a品4 x≤ys2' 1=f,1=∫f+fx 例7改变二次积分1=层k,达的积分顺序。 解：由条件可得：D: 少≤r≤学，则积分区战为： 0≤y≤4 4信eh=cocg =f+fx, 共29页-第7页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 例8、计算由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0以及抛物面x2+y2=6- 截得的立体的体权。 解：此立体为以D(由x=0,y=0,x+y=1围成)为底，以曲面 之6-x2-y z=6-x2-y2为顶的曲顶柱体，则 r=川6-2-yda=6o-j6。x2+yd x+y=1 =6号e0-+0-h=3-兮名 练习 1、将下面的二重积分∬nfx,y)do化为二次积分（两种顺序都要），其中积分区城D:①由 x+y=1、x=1及y=1国成：②由x=√R2-尸与y轴为成。 解：①。f(x.yda=∫fxd=jfc,d ②，在a小广-可fh 2、文换积分顺序：，k。 解：小Ff,t=f+。Ffx,t 3、计算积分川。+少-a,其中D由直线y=x、y=及x=2国成。 解：∬。r2+y2-do=∫x+y- +r贤r 192432313 244836 二、在极坐标系下二重积分的计算 1、极坐标系下的二重积分 (r,) 极坐标系下的坐标为：(，)，与直角坐标的关系 r. =rm日0s052:极坐标系下的坐标南线： 〔x=rcos0 0 共29页一第8页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 r=常数“以原点为中心的圆孤；日=常数一从原点发出的半射线 谈=重积分存在，则。x6=-之低，na: 用极坐标系中的曲线网分割区域D时，除去边沿部分外，均有： ag+ara0-a0 =2rw+(P1A0=22斯+1A0=2+G+1AA0=·wA0 考虑圆孤r=斤上的一点(G,0),取5=rcos6,n,=rsin瓦，则 ∬nfx,dg=m2f传，n)Aa,=m∑f5,mAa+∑fG,n)Aai =m∑可，7sm0raA0=(rcos0.rsin9dhd0 jj。fx,yda=J∬cos0,snd0 注：二重积分的面积微元do在极坐标系下为：do=rddB: 2、极坐标系下的简单区域 半射线日=日，与区域D边界曲线的交点不超过两个，则D为极坐标系下的简单区域。 「a≤0≤B 1)D: g(msrsp,(O则 ,fteasarsn0rti0-ajwesrsnt j∬f(co8,rsin8)rdd0=∫dog”f(rcos8,rsin8t ∫0≤0≤2m 3D:osrs 则 rsinOrdrdodosinrd -≤日≤& 4D:0≤rs9' 则 ∬nf0cos0,rsin0rdd0=∫dof(os0,rsin0)rh 共29页一第9页 果水安