《高等数学》上册教案 第五章定积分 第五章定积分 §1、定积分的概念与性质 一.引例 = 1.曲边梯形（如图）的面积 设曲线方程为y=fx,且fx)函数在区间[a,上 连续，f(x)≥0。讨论以下曲边梯形的面积。 1)分割：任取n-1个内分点：a=x<x2<x<<x。<x1=b,分割区间a,b]为n个小区 间，记x1一x,=Ax,其中Ar既代表第i个小区间也表示第i个小区间的长度；与此同时将曲 边梯形分割为n个小的曲边梯形： 2求和：（求曲边梯形而积的近似值）设△4表示第i个小曲边梯形的面积，则A-=△4，又 AM=G·i-2n:(5是上的任意-点).4-空42传A (3)取极限：记1=max△r,Ax,,Axn},若极限1im∑f传Ax,存在，称之为曲边梯形的面积， 即：A=m∑A4=f儿形A。 2.变速直线运动的质点的路程 设质点的速度函数v=),考虑从时刻α到时刻B所走过的路程。设)在[a,B]上连续， )≥0，仍然采用分割的方法。 ①分割：a=1<12<(3<<1n<1n1=B: ②求和：在时间间隔，4]内，质点的路程近似为：△，≈（传△1，其中5是，‘]内的任意 一点，，=-，则5=A*M ③取极限：记2=max4山，4山，△，当元→0时，和式(5)M的极限就是质，点从时刻a 到时刻B的路程，即5=m∑传，A%,· 注：以上两例分别讨论了几何量面积和物理量速度，尽管其背景不同，但是处理的方式是相 同的。采用的是化整为零、以直代曲、以不变代变、逐渐逼近的方式：共同点是：取决 第24项一共1页 基永安
《高等数学)上册教案 第五章定积分 于一个画数以及其自变量的范固，含弃其实际背景，给出定积分的定义。 二.定积分的定义 1.定义： 定义、设函数fx)在区间[a,b上有界，在[a,b内任意插入n-1个分点： a=x<x<x<...<x<x=b 分割[a,为n个子区间：[k,x],x小，，xx],,kx小，第i个子区 间的长度为x1-x=Ax:任取5∈s,x小，i=,n,作和：∑fG)△x:对于 1=max△x,△x2,,△x,},如果极限im∑f传)Ax存在，称极限值为函数fx)在区间 [a,b上的定积分，记作：∫fx)im∑f传)△x,也称函数fx)在区间[a,上可积。 其中，{a,b“为积分区间，a“积分下限，b“积分上限，八x)“被积函数，x“积 分变量，∑f店)△x积分和。 根据定义，在引例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为A=∫∫x):变速直线运 动的质点的路程可以表为：s=∫)h。 注：①注意在定积分的定义中的两个任意性，函数可积即意味着极限值与对区间的分割方式 及在区间x,x]上点5的取法无关： ②定积分的积分值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关，即： ∫心fx达=∫foh=S"f(u)du: ③约定：∫fx)=-∫”fu)du,fx)k=0。 2.定积分存在的条件 (1)闭区间上的连续函数一定可积： (2)在闭区间上有有限个第一类间断点的画数也可积。 3.定积分的几何意义 若fx)20,由引例可知「fx)k的几何意义是位于x轴上方的曲边梯形的面积： 第24项一共2页 妻衣安
《高等数学》上册教案第五章定积分 若f)0,剩A=-fx)为位于x轴下方的曲边梯形面积，从而定积分代 表该面积的负值，A=∫fx)即： 一般，曲边梯形的面积∫门f(x)川k:而∫f(x)的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。 例1.用定义计算定积分xd。 解：被积函数∫x)=x在区间[口，]上连续，故一定可积。从而对于任意的分割、点5的任意 的取法，和式2f店△x的极限均存在且相等：因此 1n等分区间血小，年个子区间长度为4此-0,1=，分点为 =0,=0+2,与=0+2，，无=a+n2= 2取写k,]且为北区间的右端点，即5==a+二口，则 立店x-2=2a+月2-月交a+20 am26-l20- n2 广s=m2=6-ala+290+=6-加+与马1-，e 2 2 例2.将下列和式的极限用定积分表示： 1 1 1 *空2 1 此时，取A-日即积分区间长为1：取气==号正好是0训n等分后的分点：又 +守故+女，从而 1 1 1 1 例3.根据定积分的几何意义，指出下列积分的值。 第24项一共3页 惠永安
《高等数学》上伊教案 第五章定积分 ∫3冰=3b-a） Soxdbr= ∫0-xk=m [cosxd=0 §2、定积分的性质 设f(x)、g(x)在[a,b区间上可积，则定积分有以下的性质。 1.∫k=b-a: 2.[Imf(x)+ng(x=m[f(x)dx+n[g(x)dx 3.若a<c<b,则∫fx)=∫fr)+∫fx)d,e“内分点： 注：如果c是区间[a,的外分点，且b<c,f()在[a,c上可积，则等式 ∫fx)d=∫fx)k+∫fx) 仍成立：即不论a、b、c之间是否有大小关系，上述等式均成立。 4.(定积分中值定理)设f)在区间[a,上连续，则存在E∈[a,,使 ∫心fx)k=f56-a) 证：由定义∫心f=m∑f〔传)A:国为)在区间a,上连续，故可以在[a,上取得 最大值M和最小值m,则 6-0空GM-0表2rGsM 取颜限可得：加s。广8恤≤M:脚广达是介于因k小上展大位M、最 小值m之间的一个数。再利用闭区间上连续函数的介值定理，存在5∈(a,,使得 因广e,灯7=6-a. 注：①定积分中值定理的几何意义：曲边梯形的面积等于某个矩形的面积： ②若对[a,b进行n等分，则 第24项一共4页 惠衣安
《高等数学》上册教案第五章定积分 ∫广7e=2m2片2=之G) 故广山也表示闭区间上连续高数的平均值。 5.xe[a,b小，若fx)2gx,则fx)d≥∫g(xd:特别，当f)20时，∫fx)dt≥20： 6.若函数x)在区间[a,b上可积，则/(x也可积，且fx)长∫f(x川k:如果 Vx≤M,则1fx)≤Mb-a)。 7.(估值定理)若函数fx)在区间a,上可积，且m≤fx)sM,则 m(b-a)s∫fx)ksM(b-a) 例1.计算连续函数x)=√4-2在区间[0,2]上的平均值。 :网=4-2-号 例2.比较积分的大小：∫xdk,∫n(l+x)d。 :侵0+小e创，因古产0.表期，@学，卫 f0)=0,从而f>0即r>h1+x,证得∫x>(1+x。 例3.估计积分值0+sim2x)体。 精：在区同厚子上，1s1+mx52,b-0-好-号-，所以。 π≤+sim2x0h≤2π 例4.证明：m+eosk=2b-o)。 解：m」1+cos=mV+cos写6-a)=56-a) §3、牛顿一莱布尼兹公式(NL公式) 一.NL公式 第24项一共5页 基永安
《高等数学》上伊教案 第五章定积分 已知变速直线运动的质点的速度为v=),由引例2，从时刻a到时刻b质点走过的路程： s=∫)d: 如果已知质点的路程函数为s=s),则从时刻a到时刻b质点走过的路程 s=s(b)-s(a): 即∫0)d=s(b)-s(@):又s)是)的一个原函数即s')=)。表明，)在[a,b上的 定积分恰好等于其原函数s)在区间[a,b]上的增量。问题：在什么条件下，下面等式成立？ ∫fxt=Fb)-Fa)（F'(x)=fx),x∈[a,b) 定理1、设函数fx)在区间[a,上连续，且F(x)=f(x),则 ∫fx)=Fb)-Fa)“牛顿“菜布尼蓝(wL)公式 注：为了计算中书写方便，通常将NL公式写作：∫f(x)=Fx北=Fb)-F(a) 例1.利用NL公式，计算下列定积分 1.ie-or-or点-r 2.o)- -g时 7=+6-h--6-f-月-2 4.∫g==叶-叶d=-l 5.∫值-cos2x=值V2sin2x=v2 sin=2可°sinx+sin xd =V2(-cosx/+2(osx儿%=2+反=2反 二.NL的证明 1.积分上限的函数 中丁山=号，记-号，则)-可且p=,表明治好是孩积西数的原 第24页一共6页 惠衣安
《高等数学》上册教案第五章定积分 函数。一般，若心)在区间a,上连续，)=f)h“称为积分上限浅变上限的函数。 定理2、设禹数f八)在区间[a,小上连续，则积分上限函数)=0)dt,x∈a,是被积函 数fx)在区间[a,b]上的一个原函数，即o(x)=fx),x∈[a,b小 证：△p=r+A)-)=∫i"f0)dt-if0dt =f0t+∫fu0ad0-∫/odt=∫f0d=f传ax(其中，5∈k,x+A) 0典是奥G 注：①定理2也称为原函数存在性定理，表明积分上限函数()是被积函数fx)的原函数： ②g-,或8=f.即f0dy=.支r0h=f因： dx 2.证明NL公式 函数)在区间a,上连续，且F')=f),则：∫=F)-Fa 证：设F)是f)在区间la,上的任意一个原函数，则F)=f:又对于()=∫0)dh, 有ox)=fx),则px)-Fx)=c,或x)=Fx)+c,从而，∫f)h=F(x)+c,xe[a,b。 取x=a:∫fu)dh=F(a+c,即Fa)+c=0,c=-F(a: 取x=b:∫f)d=F(b)+e,即∫f)dh=F(b+c=Fb)-F(a). 三，关于积分上限函数的运算 1.jf0ay=f,浅∫f0t= 例2.设x)=∫sinP'dt,求导数p(x). 解：p(x)=sinr2 倒3.设k)=∫m产山，求导数x,p受 解：o)=sm产d=-sin Pdr,故p)=-sinF,p=-l 第24项一共7页 泰衣安
《高等数学)上册教案 第五章定积分 培 例5.设50r+40=f0)h,求f)及c。 解：两边求导数：150x2=fx),则，50x+40=∫150rdh=50r=50x-50c, 0,c=得 2.如果)=”f0h,则)=。f0dy=fx%. 倒6.求函数)=sind的导数。 解：pr)=sin rdry=sinF.(rj=2 xsin|xl 创7.泰∫o. 解：因为，∫cos=cosP+od=-cosfd+os 故，孟=oarh+orh -odky-kj+es--2xcsr+2os 发广 创9.已知，e+小广cow恤=0，求盘 解：注意到y是x的高载，两边对x求子，得ey+cos2x2=0,求得安-广-2ecos2。 例10.设g(x)处处连续，f)=∫(x-1g0)h,求f(x,f(x)。 第24项一共8页 惠衣安
《高等数学》上册教案第五章定积分 解：f)=x-g0t=xs0h-∫后g0h,剥 f'(ax)=∫g0t+xg(x)--xg(x)=∫g0)dh f(x)=g(x) .0-:d00-0ad装 解：若-1sx≤0：则F)=/0h=+1h=6+: 若0<x≤1：则F)=0dt=u+1+=长+： -能d 例12.计算下列积分，并进行比较。 ∫sin xdx=-cosx+c ∫snxt=l ∫s血h=l-cosx 0a=阳 品0=2w品j0w=o 品o=6 &oh=o 广恤=0 §4、定积分的换元积分法 L公式：∫心r本=Fr比=F6)-Fa),其中F)=) 一.定积分的换元积分法 定理1、设函数fx)在区问[a,b]上连续，函数x=)满足： ①在区间a,]上可导，且)连续： ②a=a),b=(B),当1e(a,时，xe[a,b小，则 =(d 证：由条件，两端的被积函数均连续，故定积分存在：设F(x)是f(x)的一个原函数，则根据 NL公式，fx)k=Fb)-F(a): 设()=F(p(0),则'u=F'(g()p'u)=f(o()p'(0,表明D(0是f(p)o'()的一个 第24项一共9页 基永安
《高等数学)上册教案第五章定积分 原函数，再根据NL公式 d()-()-F())-F()-F(-F(a) 证得：∫fx达=∫f((0ou)d。 注：①fx∫fp加)d,故称为定积分的换元法； ②换元要注意换积分限：换元后，不一定有B>a,要注意上下限对应关系a→口，b→B: ③换元的公式从右到左进行，即为凑微分方法： 1并交根分 解：代换：x=amu,则x=0→u=0:x=-1→=-年：ue[-牙0时，xe10,满足 定理条件，故 十八c=h=邮ocw+m吧 =0-lnl√2-l-ln(2-) 解：x=50c1,k=8c1amd,x=-2→1=2，x=-一反→1=3，故 女二m巴--名 例3.计算定积分”2+血k。 :了22“e-2+咖-2+兮 f2+m-f(2+xd2+--4)- 注：①换元的同时注意要变换积分限。 第24项一共10页 泰衣安