§9.5函数展开成幂级数 上次内容复习： 1、讨论多项式与系数之间的关系 pn(x)=a+a(x-x)+a2(x-x)2+.+an(x-xo)”(1) a,=p.x4-.4,=）,a,=) 21 n! 2、通过一个阶可导的函数构造泰勒多项式 2=f0x)+24x-x)2x-x ++f(x-x f(k)(xo)=T,(xo). k=0,1,2,.,n
§9.5 函数展开成幂级数 上次内容复习： 1、讨论多项式与系数之间的关系 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )n n n p x a a x x a x x a x x = + − + − + + − (1) ( 0 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), , , , 1! 2! ! = = = = n） n n n n n p x p x p x a p x a a a n 2、通过一个n阶可导的函数构造泰勒多项式 0 0 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ( ) ( ) ! n n n f x f x T x f x x x x x f x x x n = + − + − + + − ( ) 0 0 ( ) ( ), 0,1,2, , k n f x T x k n = =
3、（泰勒(Taylor)中值定理) 设函数f(x)在 [a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)内存在 (n+)阶导函数，则对任意饱x∈[a,b]，至少存在 一点5∈(a,b),使得 -)fx)-+G) 21 +fx-x+R,网 其中 5是介于x与x (4) (n+1) 之间的某个值
3、（泰勒(Taylor)中值定理） 设函数 f (x) 在 a b, n (a b, ) (n +1) x x a b , , 0 (a b, ) 上存在直至 阶的连续导函数，在 阶导函数，则对任意的 ，使得 内存在 ，至少存在 一点 0 0 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n = + − + − + + − + ( ) ( ) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) (4) 1 ! n n n f R x x x n + + = − + 其中 (3) 是介于 与 之间的某个值 0 x x
在泰勒公式(3)中，如果取x。=0,泰勒公式变成带 有拉格朗日型余项的麦克劳林Maclaurin)公式 =00r+9+10rgx n! (n+1)川 (5在0与x之间) e e*=1+x+ 一十十 2! n!(n+1)！ sinx=x- 35I .+(-1)"、x2m- (2m-1)川 +R2m(x) sin 6x+(2m+) R2m(x)= 2m+l 0<θ<1 (2m+1)川
在泰勒公式(3)中,如果取 x0 = 0 ，泰勒公式变成带 ( ) ( 1) 2 ( 1) (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) 2! ! ( 1)! n n n n f f f f x f f x x x x n n + + = + + + + + + 有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式 （ 在 0 与 x 之间） ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 2 1 1 2 2 1 2 sin 1 ( ) 3! 5! 2 1 ! sin 2 1 2 ( ) 0 1 2 1 ! m m m m m x x x x x R x m x m R x x m − − + = − + − + − + − + + = + 2 e 1 e 1 2! ! ( 1)! n x n x x x x n n + = + + + + + +
COSx=1- 2141 +R2m+1(x) (2m) Rn=os[s+m+l]g: 0<0<1 (2m+2)川 1+划=xx+产-++ (-1)” R(x)= a+I1+0xmr1 (0<8<1) 1+xy=1+x+.+a(a-a=n+Dx+R(, n! R(x)=aa-1)-.（a-n+1a-m（a+0xe-x (0<0<1) (n+1)川
2 4 2 1 2 1 cos 1 ( 1) ( ) 2! 4! (2 )! m m m x x x x R x m − = − + − + − + + ( ) ( ) 2 2 2 1 cos 1 ( ) 0 1 2 2 ! m m x m R x x m + + + + = + 1 1 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) ( ) 2 3 n n n x x x x x R x n − − + = − + − + + 1 1 ( 1) ( ) (0 1) ( 1)(1 ) n n n n R x x n x + + − = + + ( 1) ( 1) (1 ) 1 ( ), ! n n n x x x R x n − − + + = + + + + 1 1 ( 1) ( 1)( ) ( ) (1 ) (0 1). ( 1)! n n n n n R x x x n − − + − − − + = + +
二、泰勒(Taylor)级数 若函数f(x)在x的某邻域内具有任意阶导数，则称 f0)+fXx-0)+x-} 2 +.+f(o(x-x）+. (1) 为f(x)的泰勒级数。 当x=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数. 待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)?
二、泰勒(Taylor)级数 则称 当x0 = 0时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上,和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 为 f x( ) 的泰勒级数。 （1）
定理2设函数fx)在点x的某一邻域U(xo)内具有各 阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足：lim R(x)=0. 证：0-立-r.e n->o -d-w f(x)=Sn+1(x)+R,(x) lim R(x)=lim[f(x)-S,n+1(x】=0,x∈U(xo） n->oo 1n-→0
定理2 阶导数, 则 f (x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x)的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 x x 设函数f (x)在点x0 的某一邻域 内具有各
在式fx)+fox-)+"ox-0乃 21 ++f0(x-+. n! 中令x=0则有 fo+/0x+0r++0r+a) 21 n! (2)式称为函数f(x)的麦克劳林(Maclaurin)级数
f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 在式 中令 0 x = 0 则有 (2)式称为函数 f x( ) 的麦克劳林(Maclaurin)级数. f (0) + f x (0) + 2 (0) 2! f x ( ) (0) ! n n f x n + + + （2）
定理3若f(x)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同. 证：设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+ax+a2,x2+.+anx”+.,x∈(-R,R) 则 ao f(0) f'(x)=a1+2a2x+.+nanx-1+.; a1=f'(0) f"()=2a2+.+nn-1)anx-2+;a2=f"(0) fm)(x)=nlan+. an =mf((0) 显然结论成立
定理3 若 f (x) 能展成x的幂级数, 则这种展开式是 唯一的,且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f ( ) 2! ( 1) ; 2 f x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f
三、 函数展开成幂级数 直接展开法一 利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一 利用已知其级数展开式 的函数展开 1、直接展开法 函数f(x)展开成幂级数的步骤如下： (1)求函数及其各阶导数在x=0处的值； (2)写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; (3)判别在收敛区间(-R,R)内limR,(x)是否为0. 例1将函数f(x)=e展开成x的幂级数
三、函数展开成幂级数 1、 直接展开法 函数 f (x)展开成幂级数的步 （1） 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; （2） 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; （3） 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为0. 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 例1 将函数 展开成 x 的幂级数
例2将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数。 ex=1+x+ sinx=-动x3+分x-+(-2r2m1+ 类似方法可以得到： x∈(-0，+00) (1+x)m=1+mx+mm-1）x2+. 2 +m-1)-(m-n+Dx+ n! 称为二项展开式. (-1<x<1)
例2 将函数 展开成 x 的幂级数. + − 2 2! ( 1) x m m + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) + x = + m x + m (1 ) 1 称为二项展开式 . 类似方法可以得到： , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x sin x = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 +