§10.3一阶线性微分方程 一、线性方程 一阶线性微分方程标准形式： dy+P(x)y=Q(x) d 若Qx)=0,称为齐次方程； 若Qx)丰0，称为非齐次方程
§10.3 一阶线性微分方程 一、线性方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ;
1.解齐次方程 dy+P(x)y=0 d 分离变量 dy=-P(x)dx y 两边积分得 lny=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce∫P(x)dx
( ) 0 d d + P x y = x y 1.解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y Ce − ( )d =
2.解非齐次方程 dy+P(x)y=Q(x) d 用常数变易法：作变换)=(x)e∫P()dx则 WePp(eP(x)e Q() 即 (dir. 两端积分得 u=JQ(x)ePdx+C 故原方程的通解 y=ere[dx+c 即 y-Cee)dx 齐次方程通解 非齐次方程特解
对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则 − P x x u e ( )d + P(x) − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − + ( )d ( )d ( ) d P x x P x x y e Q x e x C − = + 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = + ( ) d ( )d 两端积分得
例1求解微分方程y'-ycotx=2 xsinx。 例2求方程 y+y=CoSx满足初始条件 xm=1的特解。 例3求解微分方程 y=-y-x 2y(x+1)
例1 求解微分方程 y y x x x − = cot 2 sin 例2 求方程 xy y x + = cos 满足初始条件 1 x y = = 的特解。 。 例3 求解微分方程 2 2 ( 1) y x y y x − = +
例4求方程(y2-6x)y'+2y=0满足初始条件 x-2=1的特解。 例5已知fn(x满足f(x)=fn(x)+x"-e, 1,仙；，求函数项级数 ∑f(x)之和
例4 求方程 2 ( 6 ) 2 0 y x y y − + = 满足初始条件 2 1 x y = = 的特解。 f (x) n n x n n f (x) f (x) x e −1 = + n f n e (1) = ( ) 1 f x n n = 例5 已知 满足 ，求函数项级数 之和.
二、伯努利(Bernoulli)方程 伯努利方程的标准形式： dy+Pey=Qaxy”(n≠0，l) d 解法：以yn除方程两边，得 雅各布第一·伯努利 yd+P()-=Q(x) dx 令：=y风张-w dx dz +(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)(线性方程) dx 求出此方程通解后，换回原变量即得伯努利方程的通解
二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: ( ) ( ) d d 1 P x y Q x x y y n n + = − − 令 , 1 n z y − = x y n y x z n d d (1 ) d d − 则 = − (1 ) ( ) (1 ) ( ) d d n P x z n Q x x z + − = − 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程)
例6求方程 +y=a(Inx)y2 的通解 dx 解：令z=y,则方程变形为 dzz =-alnx dx 其通解为 z-eT [(-alx)eJ+c] -x[C-9(Inx)2] 将z=y1代入，得原方程通解： yx[C-号(m)2]=1
例6 求方程 的通解. 解: 令 , −1 z = y 则方程变形为 a x x z x z ln d d − = − 其通解为 1 dx x z e = 将 −1 z = y 1 ( ln ) dx x a x e − − dx +C 2 (ln ) 2 x a = x C − 代入, 得原方程通解:
本次课后习题 内容小结 EX10-31,2,3,4,5 1.一阶线性方程 +P(x)y=Q(x) dx 方法1先解齐次方程，再用常数变易法. 方法2用通解公式 y=eOx+C] 2.伯努利方程k+Pwy=Q(n0,1） 令u=y-”,化为线性方程求解
内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程, 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 ( ) d ( ) d ( ) d P x x P x x y e Q x e x C − = + , 1 n u y − 令 = 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 本次课后习题 EX10-3 1,2,3,4,5
思考与练习 判别下列方程类型： 提示： dy dx 可分离 (1)x y +y=xy dx x dy= 变量方程 1 (2)x y d dx =y(Iny-Inx) ny 齐次方程 dx (3)(y-x3)dx-2xdy=0 d 1 线性方程 dx 2x 2 (4)2ydx+(y3-x)dy=0 dx 1 y2 线性方程 X三 dy 2 2 (5)(yInx-2)ydx=xdy dy 2 伯努利 V= dx 方程 X
思考与练习 判别下列方程类型: x y y xy x y x d d d d (1) + = (ln ln ) d d (2) y y x x y x = − (3) ( )d 2 d 0 3 y − x x − x y = (4) 2 d ( )d 0 3 y x + y − x y = (5) (y ln x − 2) y dx = xdy 提示: x x y y y d d 1 = − 可分离 变量方程 x y x y x y ln d d = 齐次方程 2 2 1 d d 2 x y x x y − = − 线性方程 2 2 1 d d 2 y x y y x − = − 线性方程 2 sin 2 d d y x x y x x y + = 伯努利 方程
伯努利(1654-1705) 雅各布第一·伯努利)》 瑞士数学家，他家祖孙三代出过十多 位数学家.1694年他首次给出了直角坐 雅名布第一·伯努利 标和极坐标下的曲率半径公式，1695年 年提出了著名的伯努利方程，1713年出 版了他的巨著《猜度术》，这是组合数学与概率论史 上的一件大事，书中给出的伯努利数在很多地方有用， 而伯努利定理则是大数定律的最早形式。此外，他对 双纽线，悬链线和对数螺线都有深入的研究
( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究