第一章 第四节无穷小量与无穷大量 到目前为止，我们已经阐明了数列与函数的极限 下面我们再来研究一类比较简单但十分重要的丞 数，即所谓的无穷小量. 一、无穷小量(Infinitely Small Quantity） 二、无穷大量(Infinitely Large Quantity) 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第四节 无穷小量与无穷大量 第一章 到目前为止，我们已经阐明了数列与函数的极限 下面我们再来研究一类比较简单 但十分重要的函 数，即所谓的无穷小量 ． 二、无穷大量 （Infinitely Large Quantity ） 一、无穷小量 （Infinitely Small Quantity ）
一、无穷小量 定义1若x→x时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x→0) 为x→x0时的无穷小。 (或x→0) 例如：lim(x-8)=0,函数x-8当x→8时为无穷小 1m=0,函数月当n→0时为无穷小， n-→on 需要指出的是， (1)不要认为无穷小量是一个很小很小的数； (2)除0以外任何很小的常数都不是无穷小！； (3)一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、无穷小量 当 定义 1 若 0 → xx 时 , 函数 f x → ,0)( 则称函数 f x)( 0 → xx 8 lim( 8 ) 0, x x 例如 → : − = 函数 x − 8 当 x → 8 时为无穷小 ; 1 lim 0, n→∞ n = 函数 1 n n → ∞ ) 时为无穷小 ; ( 或 x → ∞ 为 时的无穷小 . ( 或 x → ∞ ) 需要指出的是， （ 1）不要认为无穷小量是一个很小很小的数； （ 2）除 0 以外任何很小的常数 都不是无穷小 ! ； （ 3）一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势
定理1（无穷小与函数极限的关系） limf(x)=A=f(x)=A+a,其中a为x>xo x-→X0 时的无穷小量. 证：limf(x)=A=Vε>0,36>0， x-Xo 当0<x-x0<6时，有 注：对自变量的 f(x)-A<8 其它变化过程类 a(x)=f(x)-A 似可证. lim a(x)=0 X→x0 例如：1mx+=1,有fx)=x+1 x+1 1 =1+ x-→0X X 其中0(x)=f(x)-1=-→0(x→o) 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 其中 α 为 0 → xx 时的无穷小量 . Axf xx = → )(lim 0 )( = Axf + α , 证: Axf xx = → )(lim 0 ∀ ε > ∃ δ > ,0,0 当 0 xx 0 <−< δ 时,有 )( Axf <− ε α() () x = fx A − 0 lim ( ) 0 x x α x → = 注：对自变量的 其它变化过程 类 似可证 . 定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 例如： 1 lim , 1 x x →∞ x + = 有 1 1 () 1 x f x x x + = = + 其中 1 1 ( ) ( ) 0( ) x fx x x α = − = → →∞
二、无穷大量 定义2若任给M>0,总存在δ>0（正数X),使对 一切满足不等式0X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→xo(x→0)时为无穷大，记作 lim f(x)=co.(lim f(x)=o) x→X0 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M), 则记作limf(x)=+oo(limf(x)=-oo) x→x0 (x→0) (x-→0) 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 二、无穷大量 )( > Mxf 定义2 若任给 M > 0 , δ > 0 一切满足不等式 0 Mxf 则记作 = + ∞ ∞→ → )(lim )( 0 f x x xx ))(lim( )( 0 = − ∞ ∞→ → f x x xx > Xx )( x ∞→ )( = ∞ ))(lim( → ∞ f x x (正数 X ) , 记作 f x < − M ,))(( 总存在
注意： 1.按函数极限定义来说，无穷大的函数fx)的极限是不 存在的.但为方便起见，我们也说“函数的极限是无穷大” 2.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态. 3.函数为无穷大，必定无界.但反之不真！ 例如，函数f(x)=xC0Sx,x∈(-oo,+o) f(2nπ)=2nπ→o(当n->o) 但f(5+nπ)=0 所以X→0时，f(x)不是无穷大！ 2009年7月3日星期五 5 目录 、上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 注意 : 1. 按函数极限定义来说，无穷大的函数 f (x )的极限是不 存在的 . 但为方便起见，我们也说 “函数的极限是无穷大 ” 2. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态 . 3. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如 , 函数 = xxxxf ∈ − ∞ + ∞),(,cos)( nf π )2( = 2 n π → ∞ 当 n → ∞)( 但 0)( 2 π =+ π nf 所以 x ∞→ 时 , xf )( 不是无穷大 ! o x y = cos xxy
例1证明limx2=o. x>00 证：任给正数M,要使x2>M,即x>VM,只要取 X=VM>0,则对满足x>X的一切x,有x>M, 所以limx2=o. x→00 思考题 证明lim +3 =0. (习题1-41(3)) x→0 提示： 要使 1+3x >M,即 +3>M, 就要 3，即+ 1 只要取6= M+3 >0（其中M>3) 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 2 lim . x x →∞ = ∞ 证 : 任给正数 M , 要使 2 x > M , 即 x M > , 只要取 X M = > 0, 则对满足 x > X 的一切 x , 有 2 x > M , 2 lim . x x →∞ = ∞ 例1 证明 所以 思考题 证明 0 1 3 lim . x x → x + = ∞ 要使 （习题 1 －4 1 （ 3）） 提示： 1 3 , x M x + > 即 1 3 , M x + > 就要 1 3 , 1 3 x M x + > ≥ − 即 1 M 3, x > + 只要取 1 0 M 3 δ = > + （其中M >3 ）
定理2（无穷小与无穷大的关系) 在自变量的同一变化过程中， 若f(x)为无穷大，则 为无穷小； f(x) 若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则 为无穷大 f(x) (自学) 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 2009年7月3日星期五 7 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 定理 2 （无穷小与无穷大的关系 ） 若 f x)( 为无穷大 , )( 1 xf 为无穷小 ; 若 f x)( 为无穷小, 且 f x ≠ ,0)( 则 )( 1 xf 为无穷大 . 则 (自学 ) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 . 在自变量的同一变化过程中 , 说明 :
内容小结 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容：两个定义；两个定理. 2、几，点注意： (1)无穷小（大)是变量，不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数； (2)无穷多个无穷小的代数和（乘积)未必是无穷小. (3)无界变量未必是无穷大 2009年7月3日星期五 8 目录○ (上页下页 返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 内容小结 1、主要内容 : 两个定义;两个定理. 2、几点注意 : 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （ 1） 无穷小（ 大）是变量 ,不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数； （ 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小 . （ 3） 无界变量未必是无穷大
课后练习 习题1-41(2)2 思考与练习 证明：函数y=1cos上在区间(0,1川上无界，但这函数不是 x→0+时的无穷大。 提示：令1-1详见例题 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 思考与练习 课后练习 习 题 1-4 1 （ 2 ） 2 证明：函数 1 1 y cos x x = 在区间 (0,1] 上 无界，但这函数 不 是 x 0 → + 时的无穷大． 提示： 1 t x 令 = 详见例题