第三章 第四节函数的单调性 与曲孩的凹凸性 Monotonicity of Function Concavity and Convexity of Curve) 一、函数单调性的判定法 二、函数的凹凸性及拐点 三、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性 第三章 三、小结与思考练习 二、 函数的凹凸性及拐点 一、函数单调性的判定法 （Monotonicity of Function & Concavity and Convexity of Curve）
一、函数单调性的判定法 y=f(x) y=f(x) B 0 f'(x)≥0 f'(x)≤0 定理1（函数单调性的判定法）设函数y=f(x)在 [a,b]上连续，在(a,b)内可导.（1)如果在(a,b)内， f'(x)≥0，则y=f(x)在[a,b]上单调增加；（2)如果在 (a,b)内，f'(x)≤0，则y=f(x)在[a,b]上单调减少. 说明：本定理可利用拉格朗日定理证明 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、函数单调性的判定法 定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y fx = ( ) 在 [,] a b 上连续,在 (,) a b 内可导．（1）如果在 ( ) a b, 内， f x ′() 0 ≥ ，则 y fx = ( ) 在[,] a b 上单调增加；（2）如果在 ( ) a b, 内， f x ′() 0 ≤ ，则 y fx = ( ) 在[,] a b 上单调减少． x y o = fy x)( x y o = fy x)( a b A B f ′ x ≥ 0)( f ′ x ≤ 0)( a b B A 说明：本定理可利用拉格朗日定理证明
1.利用导数来判定函数的单调性 例1讨论函数f(x)=x3-3x2-9x+5的单调性. (课本例2) 解：这个函数的定义域为(-0，+0). 而f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 在(-0，-1)和(3，+∞)内，f'(x)>0,所以函数f(x) 在(-0，-1]和[3，+0)内单调增加. 在(-1,3)内，f'(x)<0,所以函数f(x)在[-1,3]内 单调减少 2009年7月3日星期五 3 目录 上页( 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 例 1 讨论函数 3 2 fx x x x () 3 9 5 = − −+ 的单调性． （课本 例 2） 解： 这个函数的定义域为(,) 1. 利用导数来判定函数的单调性 −∞ +∞ ． 而 2 fx x x x x ′( ) 3 6 9 3( 1)( 3) = − −= + − 在( , 1) −∞ − 和(3, ) +∞ 内， f x ′() 0 > ，所以函数 f x( ) 在( , 1] −∞ − 和[3, ) +∞ 内单调增加． 在( 1,3) − 内， f x ′() 0 < ，所以函数 f ( ) x 在[ 1,3] − 内 单调减少．
例2讨论函数y=x2的单调性.（课本例3) 解：D:(-o,十∞). f'(x)= 2 3x’ (x≠0) y=Vx2 当x=0时，导数不存在. 当-o00,.[0,+o]上单调增加； 单调区间为(-0,0，[0，+o). 注意：学习课本例3与例4之间的一段话 2009年7月3日星期五 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 解：∵ D +∞−∞ ).,(: )0(, 3 2 )( 3 ′ = x ≠ x xf 3 2 = xy 例 2 讨论函数 3 2 y = x 的单调性．（课本 例 3） 当 x = 0 时，导数不存在． 当−∞ ，∴[0, ] +∞ 上单调增加； 单调区间为 −∞ ]0,( ， +∞).,0[ 注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例3确定函数f(x)=(2x-5)x2的单调区间. (课本例4) 基本步骤： (1)确定定义区间； (2)求函数f(x)的导数； (3)找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点； (4)以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分 成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符 号，进而确定单调区间。 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 例 3 确定函数 3 2 f ( ) (2 5) xx x = − 的单调区间． （课本 例 4） 基本步骤： （1）确定定义区间； （2）求函数f ( x )的导数； （3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点； （4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分 成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符 号，进而确定单调区间
2.利用导数来证明不等式 例4当x>0时.试证x>ln(1+x)成立。 (补充题) 证明：令f(x)=x-ln(1+x),则f'(x)= 1+x 因为f(x)在[0，+0)上连续，且在(0，+0)内可导 f'(x)>0,所以f(x)在[0，+o)单调增加。 从而，当x>0时.有f(x)>f(0)成立。 即x-ln(1+x)>0成立，也即x>ln(1+x)成立。 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 2. 利用导数来证明不等式 例 4 当 x > 0 时．试证 x x > + ln(1 ) 成立。 （补充题） 证明： 令 f ( ) ln(1 ), xx x = − + 则 () . 1 x f x x ′ = + 因为 f ( ) x 在[0, ) +∞ 上连续，且在(0, ) +∞ 内可导 f x ′( ) 0, > 所以 f ( ) x 在[0, ) +∞ 单调增加。 从而，当 x > 0 时．有 f ( ) (0) x > f 成立。 即 x x − +> ln(1 ) 0 成立，也即 x > + ln(1 ) x 成立
3.利用导数来证明方程根的唯一性 例5设a2-3b<0,证明：实系数方程 x3+ax2+bx+c=0 的实根是唯一的. (课本例6) 提示：令f(x)=x3+ax2+bx+c (1)利用零，点定理证存在性。 (2)利用导数证明函数单调，从而证明根的唯一性 2009年7月3日星期五 7 目录 上页( 下 、返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 3. 利用导数来证明方程根的唯一性 例 5 设 2 a b − 3 0 < ，证明：实系数方程 3 2 x ax bx c + + += 0 的实根是唯一的． （课本 例 6） 提示： 令 3 2 f ( ) x x ax bx c = + ++ （1）利用零点定理证存在性。 （2）利用导数证明函数单调，从而证明根的唯一性
二、函数的凹凸性及拐，点(Inflection Point) 1、曲线凹凸的定义 B 显然，曲线AB与BC都是单调增加的，但它们单调 增加的变化方式却有所不同。这说明：仅靠单调性来 描述曲线的性态是不够的。 为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。 2009年7月3日星期五 8 目录 上页
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 二、函数的凹凸性及拐点（Inflection Point） 1、曲线凹凸的定义 显然，曲线AB与BC 都是单调增加的， x y o A B C 但它们单调 增加的变化方式却有所不同。 这说明：仅靠单调性来 描述曲线的性态是不够的。 为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题
y=f(x) B 弦AB的方程为： y=,）-f(x-)+f) X2-x1 0 所以曲线孤f(x)在弦AB的下 方可以用不等式来表示： 图形上任意孤段都 位于所张弦的下方 f)sf,)-f(-x)+1x) X2-X1 即fx)≤5-fx)+-fx)令=-x X2-X1 X2-X1 X2-X1 则0≤2≤1，且x=九x1+(1-)x2,于是上式变为 f[2x,+(1-)x2]≤f(x)+(1-2)f(x2) 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 x y o y = f x)( x1 2 x 图形上任意弧段都 位于所张弦的下方 A B 弦 AB 的方程为： 2 1 1 1 2 1 () () ( ) () fx fx y x x f x x x − = − + − 所以曲线弧 f ( ) x 在弦 AB 的下 方可以用不等式来表示： 2 1 1 1 2 1 () () ( ) ( ) ( ) fx fx f x x x f x x x − ≤ − + − 2 1 1 2 21 21 () ( ) ( ) x x xx f x f x f x xx xx − − ≤ + − − 即 令 2 2 1 x x x x λ − = − ， 则0 1 ≤ λ ≤ ，且 1 2 xx x = +− λ (1 ) λ ，于是上式变为 1 21 2 f [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) λ λλ λ x x +− ≤ +− f x f x x
定义设函数f(x)在区间I上连续，如果对I上任意 两，点x,x2(不妨设x<x2)及任意正数(0≤≤1)，恒 有 f[2x+(1-2)x2]≤2f(x)+(1-2)f(x2), 则称曲线y=f(x)在I上是凹的. 类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线y=f(x)在I上是凸的. 直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性. 2009年7月3日星期五 10 日录 上页 返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 定义 设函数 f x( ) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意 两点 1 2 x x, （不妨设 1 2 x x < ）及任意正数λ(0 1) ≤ λ ≤ ，恒 有 1 21 2 f [ (1 )) ] ( ) (1 ) ( ), λ λλ λ x x fx fx +− ≤ +− 则称曲线 y fx = ( ) 在 I 上是凹的． 类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y fx = ( ) 在 I 上是凸的． 直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．