新课引入(Introduction) 在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了 “换元积分法”。 但是，对于形如∫xe'd∫xInxdx,∫sinxdx,. 的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算。 注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点 都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分， 这就是另一个基本的积分方法：分部积分法 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 新课引入 (Introduction) 在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了 “换元积分法 ” 。 但是，对于形如 ed; x x x ∫ x xx ln d ; ∫ x xx sin d ; ∫ "" 的积分用直接积分法 或换元积分法都无法计算 . 注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点—— 都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分， 这就是另一个基本的积分方法：分部积分法
由导数乘法公式：(w)'=u'v+w' 积分得：w=∫uvdr+∫uw'dx →∫uw'dr=w-∫uvdx】 或∫dy=w-dM∫分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得； 2)∫vdr比∫uv'dr容易计算 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 )( ′ = ′ + vuvuuv ′ 积分得: = ′ + ′dd xvuxvuuv ∫ ∫ 分部积分公式 d dxvuuvxvu ∫ ∫ ′ −= ′ 或 d duvvuvu ∫ ∫ −= 1) v 容易求得 ; ′ ′ dd)2 xvuxvu ∫ 比 ∫ 容易计算 . 选取 ′ 或及 vvu 的原则:)d( 由导数乘法公式：
第四章 第三节分部积分法(Integration by Parts) 例1求xsinx dx. 解：令u=x,v'=Sinx, 则W'=1,v=-c0Sx ∴.原式=x(-cosx)-∫(-cosx)dr=-xCOSx+-sinx+C 另解：令u=snx,=x,则W=c0sxy= 小原成阳r皆j塔防 2 =. 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 第三节 分部积分法 第四章 （Integration by Parts ） x xx sin d . 例 ∫ 1 求 解 : 令 u = x , v x ′ = sin , 则 u′ = ,1 v x = −cos ∴ 原式 = − x x ( cos ) − −( cos ) d x x ∫ = − ++ x x xC cos sin 另解: 令 u x = sin , v x ′ = , 则 u x ′ = cos , 2 2 x v = ∴ 原式 2 sin 2 x = ⋅ x 2 cos d 2 x − x x ∫ =
例2求xInxdx.(课本例3) 解：令u=lnx,v'=x 则'=1 原式=血x-2xd i2mx-i.c 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 xxx .dln ∫ 解 : 令 = xu ,ln ′ = xv 则 , 1 x u′ = 2 2 1 = xv ∴ 原式 = ln xx 2 1 2 ∫ − dxx 2 1 +−= Cxxx2 2 4 1 ln 2 1 例2 求 （课本 例 3 ）
例3求xarctanxdx.(课本例4) 解：令u=arctanx,v'=x 则 1+r2v=x 2 .原式=x2 arctanx 2 arctan x- 2 arctanx- 2 (x-arctanx)+C 1 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 xxx .darctan ∫ 解 : 令 = xu ,arctan ′ = xv 则 , 1 1 2 x u + ′ = 2 2 1 = xv ∴ 原式 arctan xx 2 1 2 = ∫ + − x x x d 2 1 1 2 2 arctan xx 2 1 2 = ∫ + −− x x d) 1 1 1( 2 1 2 arctan xx 2 1 2 = )arctan( +−− Cxx 2 1 例3 求 （课本 例 4 ）
例4求e*sinxdx.(课本例7) 解：令u=sinx,v'=ex,则 u'=cosx,v=ex '原式=ex sinx-∫e*cosxdx 再令u=c0sx,v'=ex,则 u'=-sinx,v=ex =e*sinx-e*cosx-[e*sinxdx 故原式=e'(sinx-cosx)+C 说明：也可设w=e",v'为三角函数，但两次所设类型 必须一致 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 xxe .dsin x ∫ 解 : 令 = xu ,sin x ′ = ev , 则 ′ = xu ,cos x = ev ∴ 原式 xex = sin ∫ − xxex dcos 再令 = xu ,cos x ′ = ev xu ,sin , 则 ′ = − x = ev xex = sin ∫ −− xxexex x cos dsin 故 原式 = Cxxex )cos(sin +− 2 1 veu x 说明 : 也可设 = , ′ 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 例 4 求 （课本 例 7 ）
解题技巧：选取u及v的一般方法： 把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂指三”的 顺序，前者为u后者为v' 反：反三角函数 例5（补充题）求arccosx dx 对：对数函数 幂：幂函数 解：令u=arccosx,y'=1,则 指：指数函数 三：三角函数 =， V=x 原式=xacx+∫产dr =xarccosx-] 0-x2)d01-x2) =x arccosx-√1-x2+C(自学课本例5-6) 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 选取 及vu ′的一般方法: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三 ” 的 顺序, 前者为 后者为 u v′. 例 5（补充题） 求 xx .darccos ∫ 解 : 令 = xu ,arccos v′ = 1, 则 , 2 1 1 x u − ′ −= = xv 原式 = arccos xx ∫ − + x x x d 2 1 = arccos xx )1d()1( 2 2 2 1 2 1 ∫ −−− − xx = arccos xx − − + Cx2 1 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 解题技巧 : （自学课本 例 5 ～ 6 ）
例6（补充题）求∫ncosd. cos-x 02:则 解：令u=Incosx,y= u=-tanx,v=tanx 原式=tanx.Incosx+tan2xdx =tanx.Incosx+(sec2x-1)dx tanx.Incosx +tanx-x+C 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 .d cos cosln 2 x x x ∫ 解 : 令 = xu ,cosln x v 2 cos 1 ′ = , 则 ′ −= xu ,tan = tan xv 原式 = ⋅ coslntan xx ∫ + dtan xx 2 = ⋅ coslntan xx ∫ −+ d)1(sec xx 2 = ⋅ coslntan xx + tan − +Cxx 例 6（补充题） 求
例7（课本例10）求∫edx. 解：令x=t,则x=t2,dx=2tdt 原式=2iedt 令u=t,v'=e叫 =2(te'-e)+C =2ex(x-1)+C 2009年7月3日星期五 9 目录○ 、上页 下页→ 、返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 xe .d x ∫ 解 : 令 = tx ,则 , 2 = tx x = t d2d t 原式 tet t d2∫ = t = (2 et Cxe x = )1(2 +− u = t , t ′ = ev ) t − e + C 令 例 7（课本 例10 ） 求
dx (课本例9) 解：令u= 2+a2mV=l则 1 -2nx (x2+a2),=x n2a2+2m242p2&. r时 X x22nln-2na21 X 得递推公式L+l= 2na2(x2+a2)” 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 . )( d ∫ 22 + = n n ax x I 解 : 令 , )( 1 22 n ax u + = v′ = ,1 则 , )( 2 +122 + − ′ = n ax xn u = xv n ∴ I x ax x n n d )( 2 122 2 ∫ + + + n ax x )( 22 + = x ax n n d )( 2 ∫ +122 + + n ax x )( 22 + = n + 2 n I 1 2 2 − n + Ian 得递推公式 n n n I an n ax x an I 1 222 2 2 12 )(2 1 − + + + = 222 )( −+ aax n ax x )( 22 + = 例8 求 （课本 例 9 ）