第四章 第四节儿种特殊类型岛数的积今 Integration of several kinds of Special Functions ·基本积分法：直接积分法；换元积分法； 分部积分法 求 ·初等函数 积分一初等函数（见本节第一段） 本节内容： 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第四节 几种特殊类型函数的积分 第四章 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 （见本节第一段） 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 本节内容: （Integration of several kinds of Special Functions ）
一、有理函数的积分 (Integration of Rational Function) 有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数， P(x)aox"+ax++anix+an 2(x)boxmx+bmx+bm 其中m、n都是非负整数；ao,41,.,4n及b,b1,.,bm 都是实数，并且a≠0，b≠0. 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、 有理函数的积分 (Integration of Rational Function) 两个多项式的商表示的函数 . m m m m n n n n bxbxbxb axaxaxa xQ xP ++++ + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 )( )( " " 其中 m 、 n都是非负整数； n , aaa 10 " 及 m , bbb 10 " 都是实数，并且 0 a 0 ≠ ， 0 b 0 ≠ . 有理函数的定义：
假定分子与分母之间没有公因式 (I)n<m,这有理函数是真分式； (2)n≥m,这有理函数是假分式； 有理函数有以下性质： 1)利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和. 例如，我们可将 x3+x+1 x2+1 化为多项式与真分式之和 x2+11 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 假定分子与分母之间没有公因式 < mn ,)1( 这有理函数是真分式 ； ≥ mn ,)2( 这有理函数是假分式 ； 有理函数有以下性质： 1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和 . 例如，我们可将 1 1 2 3 + ++ x xx . 1 1 2 + + x 化为多项式与真分式之和 x
2)在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和 最简分式是下面两种形式的分式 A Ax+B (x-a) (x2+px+g)9 其中A,B,4,P,9都是待定的常数 k为正整数，p2-4q<0 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 k ax A − )( 2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和 其中 , qpaBA 都是待定的常数 . 最简分式是下面两种形式的分式 ; ( ) k qpxx BAx ++ + 2 04 2 k为正整数 ， qp <−
3)有理函数化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式(x-),则分解后为 A A (x-0(c-++ x-0 其中A1,A2,.,A都是待定的常数. (2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 Mx+N M2x+N2 Mix+Nk 2+px++x2+m+++x+px+g 其中M,N,都是待定的常数(i=1,2,.,k) 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 （ 1 ）分母中若有因式 ，则分解后为 k − ax )( , )()( 1 1 2 ax A ax A ax A k k k − ++ − + − − " 其中 AAA k , 21 " 都是待定的常数 . 3）有理函数化为部分分式之和的一般规律： （ 2 ）分母中若有因式 ，其中 k ( qpxx ) 2 + + 04 则分解后为 2 − qp < qpxx M x N qpxx M x N qpxx M x N k k k k ++ + ++ ++ + + ++ + 2 − 1 2 2 2 2 1 1 ( () ) " 其中 M Nii , 都是待定的常数 i = " k),2,1(
为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之 和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待 定系数法 x+3 x+3 A 例1 B x2-5x+6-(x-2)(x-3)x-2 X-3 =4(c-3)+B(x-2)=(4+B)x-3A+2B) (x-2)(x-3) (x-2)(x-3) A+B=1, A=-5 -(3A+2B)=3,1 → B=6 x+3 -5 6 x2-5x+6x-2x-3 2009年7月3日星期五 6 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之 和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫 待 定系数法 65 3 2 − + + x x x )3)(2( 3 −− + = xx x , − 32 + − = x B x A ⎩ ⎨ ⎧ =+− + = ⇒ ,3)23( ,1 BA BA , 6 5 ⎩ ⎨ ⎧ = = − ⇒ B A 65 3 2 − + + ∴ x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例 1 )3)(2( )2()3( −− − + − = xx xBxA )3)(2( )23()( −− + − + = xx BAxBA
C (x-1)2xx-102 例2 通分以后比较分子得： 1=(A+C)x2+(B-2A-C)x+A A+C=0 B-2A-C=0→A=1,B=1,C=-1 A=1 1=1+,11 x(x-1)2x(x-1)2x-1 2009年7月3日星期五 7 目录○ 人上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 2)1( 1 xx − , 1)1( 2 − + − += x C x B x A )2()(1 +−−++= AxCABxCA 2 . 1 1 )1( 11 2 − − − += xxx 2)1( 1 − ∴ xx 例 2 通分以后比较分子得： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =−− + = 1 02 0 A CAB CA ⇒ A = B = C = −1,1,1
我们也可以用赋值法来得到最简分式，比 如前面的例2，两端去分母后得到 1=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1) 代入特殊的x值：令x=1→B=1; 令x=0→A=1; 令x=2→C=-1; 1 1+1 1 x(x-1)2x'(x-1)2x-1 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 11 )( 1)( 2 xCxBxxA −++−= 我们也可以用赋值法来得到最简分式，比 如前面的 例 2，两端去分母后得到 代入特殊的 x 值: 令 = ⇒ Bx = ;11 . 1 1 )1( 11 2 − − − += xxx 2)1( 1 − ∴ xx 令 ⇒= Ax = ;10 令 2 ⇒= Cx = − ;1
1 A Bx+C 例3 (1+2x)1+x2)1+2x1+x2’ 1=A(1+x2)+(Bx+C)1+2x), 整理得1=(A+2B)2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, 2 B+2C=0,→A=B=→ 1 5 A+C=1, 4 1 1 5 (1+2x)1+x2)-1+2x 1+x2 2009年7月3日星期五 9 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 例 3 . 1 5 1 5 2 21 5 4 2 x x x + +− + + = )1)(21( 1 2 ++ xx ),21)(()1(1 2 = + + + + xCBxxA ,)2()2(1 2 = + + + + + ACxCBxBA ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ + = ,1 ,02 ,02 CA CB BA , 5 1 , 5 2 , 5 4 CBA =−==⇒ , 121 2 x x CB x A + + + + = )1)(21( 1 2 ++ xx ∴ 整理得
桌积分-女中血 解x-2+在=j d 例2 =+川x- =lnlxI-_I-InIx-Hl+C. x-1 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 例 4 求积分 . 2 1 23 dx xxx ∫ +− dx xx ∫ − 2)1( 1 dx xxx ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − += 1 1 )1( 11 2 dx x dx x dx x ∫∫∫ − − − += 1 1 )1( 11 2 .|1|ln 1 1 ||ln Cx x x +−− − −= 解： = − + ∫ dx x x x 3 2 2 1 例 2